八年级数学 一元一次不等式(组) 冀教版

初二数学一元一次不等式（组）冀教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
1. 一元一次不等式（组）的概念．
2. 一元一次不等式（组）的解法．
3. 一元一次不等式（组）的应用．
二. 知识要点：
1. 一元一次不等式（组）的概念
（1）只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，这样的不等式叫做一元一次不等式．一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）我们把能够使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集．一个一元一次不等式组中的几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
（3）求不等式的解集的过程，叫做解不等式，求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．
2. 一元一次不等式（组）的解法
（1）一元一次不等式的解法：根据不等式的性质，通过去分母、去括号、移项、合并同类项，将未知数的系数化为1，得到不等式的解集，其解法和解一元一次方程式类似．所不同的是在不等式的两边同乘（或同除以）同一个负数时，不等号的方向要改变．
（2）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般是先分别求出每个不等式的解集，再借助数轴找出它们的公共部分，这样可以确定出不等式组的解集．
3. 在数轴上寻找两个不等式解集的公共部分是求不等式组解集的关键．若两个不等式的解集没有公共部分时，这个不等式组无解．
4. 用一元一次不等式组解决实际问题，应关注下列环节：
（1）用代数式表示现实情境中的相关各量；
（2）根据不等关系列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）对问题给出解答．
三. 重点难点：
本节重点是一元一次不等式（组）的解法，难点是不等式组解集的确定，正确确定不等式组的解集，首先要准确地求出每个不等式的解集，这是确定不等式组的解集的基础．
【典型例题】
例1. （1）下列各式中，是一元一次不等式的为（ ）
A ．5x ＝10
B ．5x ＋y ＞10
C ．5x 2＞10
D ．1x
＞2 E ．5x ＞10 （2）关于x 的某个不等式组的解集在数轴上表示为如图，则不等式组的解集为__________．
分析：（1）其中只有5x ＞10是一元一次不等式，故选E ．（2）－1画成实心圆圈，表示解集中包含－1；4画成空心圆圈，表示解集中不包含4．
解：（1）E （2）－1≤x ＜4
评析：学习一元一次不等式要注意与一元一次方程式相比较，弄清其区别与联系，从概念上来说，相同点：化简后，二者都含有一个未知数，且未知数的次数都是1，系数都不等于0，左右两边都是整式．不同点：一元一次不等式表示的是不等关系，而一元一次方程式表示的是相等关系．
例2. 解不等式3－4x ＜12
（3＋5x ）． 解：去分母：6－8x ＜3＋5x ，
移项合并同类项：－13x ＜－3，
系数化为1：x ＞313
． 评析：解不等式和解方程的步骤类似，一般地，如果有分母、有括号，通常先把分母、括号去掉，再移项合并同类项，最后系数化为1．
例3. 求不等式x ＋12≥2x －13
的非负整数解． 分析：首先解这个不等式，然后在不等式的解集中找出符合题意的解．
解：x ＋12≥2x －13
， 3（x ＋1）≥2（2x －1），
3x ＋3≥4x －2，
－x ≥－5，
x ≤5．
所以满足这个不等式的非负整数解为x ＝0，1，2，3，4，5．
评析：求不等式或不等式组的特殊解是一种常见的题型，解决这类问题既要正确求出不等式（组）的解集，又要注意特殊解特殊在什么地方，如“非负整数是指正整数和零”等．
例4. 解不等式组：
（1）⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＜03x ＋12＜0 ；（2）⎩⎪⎨⎪⎧2(x －3)＞3x －7，①12x ＋1＞3－32
x ． ② 解：（1）解不等式2x －4＜0得x ＜2，
解不等式3x ＋12＜0得x ＜－4，
在数轴上表示不等式组中两个不等式的解集是：
这两个不等式解集的公共部分是x ＜－4．
所以，不等式组的解集是x ＜－4．
（2）解不等式①得x ＜1，
解不等式②得x ＞1．
在数轴上表示不等式①、②的解集，如图所示．
从数轴上可以看出，这两个不等式的解集没有公共部分．
所以这个不等式组无解．
评析：确定不等式组的一般规律，设a ＜b ．（1）若x ＞a ，且x ＜b ，则不等式组的解集为a ＜x ＜b ；（2）若x ＞a ，且x ＞b 则不等式组的解集为x ＞b ；（3）若x ＜a ，且x ＜b ，则不等式组的解集为x ＜a ；（4）若x ＜a ，且x ＞b ，则不等式组无解．
例5. 王明同学期末考试中数学、英语的平均分数是90分，语文、英语、数学三科平均分不低于88分，问王明语文成绩至少考了多少分？
分析：题目中表示不等关系的语句是“语文、英语、数学三科平均分不低于88分”由
此可得：语文＋英语＋数学3
≥88． 解：设王明语文成绩至少考了x 分，根据题意得：
x ＋90×23
≥88， 解这个不等式得：x ≥84．
答：王明语文成绩至少考了84分．
例6. “六一”儿童节前夕，某消防队官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃，就特意购买了一些送给这个小学的小朋友作为节日礼物．如果每班分10套，那么余5套；如果前面的班级每个班分13套，那么最后一个班级虽然分有福娃，但不足4套．问：该小学有多少个班级？奥运福娃共有多少套？
分析：如果设该小学有x 个班级，那么福娃有（10x ＋5）套．每个班分13套的时候，最后一个班不足4套，则前面有（x －1）个班，用去福娃13（x －1）套，剩余福娃13（x －1）－（10x ＋5）套．剩余量不足4套，那么0＜13（x －1）－（10x ＋5）＜4，且x 只能取正整数．
解：设该小学有x 个班，则奥运福娃共有（10x ＋5）套．由题意得：
⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋5＜13（x －1）＋410x ＋5＞13（x －1）
解之，得143
＜x ＜6． 因为x 只能取整数，所以x ＝5，此时10x ＋5＝55．
答：该小学有5个班级，共有奥运福娃55套．
评析：列不等式解应用题和列方程解应用题一样，要根据题意确定数量之间的不等关系，本题的不等关系是“不足4套”．
【方法总结】
在确定不等式组解集的时候，要特别注意应变号的一定要变号，然后借助数轴找出它们的公共部分，这是确定不等式组解集的关键．要认识到，数轴上两个（或几个）不等式解集的重叠部分就是这个不等式组的解的公共部分，即不等式组的解集，最后用符号把不等式组的解集正确表示出来，这时要注意，对于公共部分在两点之间的解集，一般用小于号连接．
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一. 选择题
1. 解不等式2＋x 3＞2x －15
的下列过程中，错误的一步是（ ） A. 5（2＋x ）＞3（2x －1） B. 10＋5x ＞6x －3
C. 5x －6x ＞－3－10
D. x ＞13
2. 下列说法中，正确的有__________个．（ ）
①－2x ＜8的解集是x ＞－4；②－4是2x ＜－8的解；③x ＜8的整数解有无数个；④不等式x 2＞x 3－1的负整数解只有5个．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 四个连续的正整数的和小于34，则这样的自然数组有（ ）
A. 5组
B. 6组
C. 7组
D. 8组
4. 不等式2x －4≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A B C D
5. 把不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3＜－1
5－x ＜6 的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A B
C D
*6. 如图所示，天平向左倾斜，当天平中的x 取__________时天平会向右倾斜．（
） A. x ＞4 B. x ≥4 C. x ＜4 D. x ≤4
8g xg xg
*7. 若方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2
2x ＋y ＝a －1 的解都是正数，那么a 的取值范围是（ ）
A. －1＜a ＜5
B. a ＞－1
C. a ＞5
D. 无解
**8. 如图是测量一颗玻璃球体积的过程：
（1）将300ml 的水倒进一个容量为500ml 的杯子中；
（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再将一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．
(1)(2)(3)
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（ ）
A. 20cm 3以上，30cm 3以下
B. 30cm 3以上，40cm 3以下
C. 40cm 3以上，50cm 3以下
D. 50cm 3以上，60cm 3以下
二. 填空题
1. 不等式3x ＋1＜－2的解集是__________．
2. 代数式64－7x 的值不小于42，符合条件的正整数x 为__________．
3. 小于40的两位数，十位数字比个位数字大2，则这样的两位数为__________．
4. 不等式－3＜x －2＜2的正整数解为__________．
**5. 三角形的三边长分别为3，1－2a ，8，则a 的取值范围是__________．
三. 解答题
1. 解不等式3（x －2）－4（1－x ）＜1，并把它的解集在数轴上表示出来．
2. 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＞05x ＋12＋1≥2x －13
并把解集在数轴上表示出来．
3. 解不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋7≥1－x 6－3（1－x ）＞5x ，并求出所有整数解的和．
4. 已知方程3（x －2a ）＋2＝x －a ＋1的解使不等式2（x －5）≥8a 成立，求a 的取值范围．
5. 已知方程x ＋2m －3＝3x ＋7的解不小于2且不大于10，求m 的取值范围．
6. 某人带了100元人民币，先到商场买了一些饮料，用去60元，后来他又买了4千克梨，每千克3元，买了5千克苹果，付钱后还有剩余，如果他买6千克梨和6千克苹果，则所带款就不够用．问苹果的价格在什么范围内？
【试题答案】
一. 选择题
1. D
2. C
3. B
4. C
5. C
6. A
7. C
8. C
二. 填空题
1. x ＜－1
2. 1，2，3
3. 20、31
4. 1，2，3
5. －5＜a ＜－2
三. 解答题
1. 整理得7x ＜11，解得x ＜117
．在数轴上表示略． 2. －1≤x ＜2，在数轴上表示略． 3. 2
3x 2<≤-，－2 4. 解方程3（x －2a ）＋2＝x －a ＋1得，x ＝5a －12
． 根据题意有2（5a －12－5）≥8a 成立，解之得，a ≤－113
． 5. 解方程x ＋2m －3＝3x ＋7，得：x ＝m －5．
根据题意有⎩
⎪⎨⎪⎧m －5≥2m －5≤10 ，解得7≤m ≤15． 6. 设苹果的价格为每千克x 元，根据题意得：⎩
⎪⎨⎪⎧60＋3×4＋5x ＜10060＋3×6＋6x ＞100 ， 解不等式组得113＜x ＜285
． 答：苹果的价格在113元/千克～285元/千克之间．。