精品K12学习高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程课后导练

2.2.1 双曲线及其标准方程
课后导练
基础达标
1.已知方程k
y k x --+112
2=1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A.-1<k <1
B.k >0
C.k ≥0
D.k >1或k <-1
解析：∵方程k
y k x --+112
2=1表示双曲线， ∴（1+k ）(1-k )>0.∴(k +1)(k -1)<0. ∴-1<k <1. 答案：A
2.已知双曲线8kx 2
-ky 2
=2的一个焦点为(0，-2
3
)，则k 的值等于( ) A.-2 B.1 C.-1
D.-2
3 解析：∵焦点(0,-
2
3
)在y 轴上，∴k <0. 将原方程变形得.14122
2=---k
x k y ∴a 2
=.)2
3
(49412,41,222222=-=--=+=-=-
k k k b a c k b k ∴k =-1. 答案：C
3.已知双曲线16
92
2y x -=1上的一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为( ) A.3 B.6 C.9
D.12
解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2， 则||PF 1|-|PF 2||=6.
设|PF 2|=3，由3<5知P 在右支上. ∴|PF 1|=6+3=9. 答案：C
4.在方程mx 2
-my 2
=n 中，若mn <0，则方程的曲线是( ) A.焦点在x 轴上的椭圆 B.焦点在x 轴上的双曲线 C.焦点在y 轴上的椭圆 D.焦点在y 轴上的双曲线
解析：把方程mx 2
-my 2
=n 写成标准方程
.12
2=-m
n y m n x ∵mn <0,∴
m n <0,-m
n
>0. ∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 答案：D
5.已知双曲线的方程为22
22b
y a x -=1，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右
焦点F 2，｜AB ｜=m ,F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )
A.2a +2m
B.4a +2m
C.a +m
D.2a +4m
解析：∵A、B 在双曲线的右支上， ∴|BF 1|-|BF 2|=2a ,|AF 1|-|AF 2|=2a . ∴|BF 1|+|AF 1|-(|BF 2|+|AF 2|)=4a . ∴|BF 1|+|AF 1|=4a +m .
∴△ABF 1的周长为4a +m +m =4a +2m . 答案：B
6.F 1、F 2是双曲线16
92
2y x -=1的两个焦点，P 在双曲线上且满足｜PF 1｜·｜PF 2｜=32，则∠F 1PF 2=__________.
解析：设∠F 1PF 2=α,|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2.
在△F 1PF 2中，由余弦定理得(2c )2
=r 21+r 2
2-2r 1r 2cos α,
∴cos α=.064
100
6436242)(21211221=-+=-+-r r c r r r r
∴α=90°. 答案：90°
7.过点(3，4)及双曲线3
62
2y x -=1的两个焦点的圆的标准方程是__________. 答案：x 2
+(y -2)2
=13
8.已知θ是三角形的一个内角，且s in θ-c o s θ＝2
1，则方程x 2s in θ-y 2
c o s θ=1可能表示下列曲线中的__________.(填上所有可能情况) ①焦点在x 轴上的椭圆 ②焦点在y 轴上的椭圆 ③焦点在x 轴上的双曲线 ④焦点在y 轴上的双曲线
解析：由sin θ-cos θ=
21
，得2sin(θ-4π)=2
1. ∴sin(θ-
4π
)=
.2
21 又∵θ为三角形的内角，∴0<θ<π. ∴-
4π<θ-4π<4
3π. 而sin(θ-
4π)=221<2
1
, ∴0<θ-
4π<6
π. ∴
4π<θ<12
5π. ∴sin θ>0,cos θ>0且sin θ≠cos θ.
∴方程x 2
sin θ-y 2
cos θ=1表示焦点在x 轴上的双曲线. 答案：③
9.根据下列条件，求双曲线方程：
(1)与双曲线1692
2y x -=1有共同的渐近线，且过点(-3，23)； (2)与双曲线4162
2y x -=1有公共焦点，且过点(32，2). 解：（1）设双曲线的方程为22
22b
y a x -=1,
由题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=2,1)32()3(,3
4
2
2
2b a a b
解得a 2
=
4
9,b 2
=4. 所以双曲线的方程为.14492
2=-y x (2)设双曲线方程为.122
22=-b
y a x
由题意易求c =25.
又双曲线过点(32,2),∴
.14
)23(222=-b
a 又∵a 2
+b 2
=(25)2
,∴a 2
=12,b 2
=8.
故所求双曲线的方程为8
1222y x -=1. 10.已知定点A (3，0)和定圆C ：(x +3)2
+y 2
=16,动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心
P 的轨迹方程.
解：设P 的坐标为(x ,y ). ∵圆C 与圆P 外切且过点A ， ∴|PC |-|PA |=4. ∵|AC |=6>4,
∴点P 的轨迹是以C 、A 为焦点，2a =4的双曲线的右支. ∵a =2,c =3, ∴b 2
=c 2
-a 2
=5.
∴5
42
2y x -=1(x >0)为动圆圆心P 的轨迹方程.
综合运用
11.过双曲线
125
1442
2=-y x 的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为多少？
解：∵双曲线方程为25
1442
2y x -=1, ∴c =25144+=13.
于是焦点坐标为F 1（-13，0）、F 2（13，0）.设过点F 1垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A （-13，
y ）(y >0).
∵
,144
25
1144132522=-=y ∴y =
12
25
, 即|AF 1|=
12
25. 又∵|AF 2|-|AF 1|=2a =24, ∴|AF 2|=24+|AF 1|=24+
.12
3131225= 故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为
.12
313,1225 12.经过双曲线x 2
-32y =1的左焦点F 1，作倾斜角为6
π
的弦A B. (1)求｜AB ｜；
(2)求△F 2AB 的周长l (其中F 2是双曲线的右焦点). 解：(1)F 1(-2,0),F 2(2,0).
直线AB 的方程为y =
3
3
(x +2),
将其代入双曲线方程，得8x 2
-4x -13=0. 设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2). ∴x 1+x 2=
21
,x 1·x 2=-8
13.
∴|AB |=.3)8
13
(4)21(3112=-⨯-+
(2)a =1,由双曲线的定义得|AF 2|-|AF 1|=2a =2 ①
|BF 2|-|BF 1|=2a =2
②
①+②,得
|AF 2|+|BF 2|-(|AF 1|+|BF 1|)=4. |AF 2|+|BF 2|-3=4, |AF 2|+|BF 2|=7,
∴△F 2AB 的周长l =|AF 2|+|BF 2|+|AB |=10.
13.A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东，相距6 km ，C 在B 的北偏西30°方向上，相距4 km ，P 为敌炮阵地.某时刻A 发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4秒后，B 、C 才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1 km ).若A 地炮兵炮击P 地，求炮击的方位角. 解：以AB 的中点为原点
2
1
，BA 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则A (3,0)、B （-3，0）、C （-5，23）.
∵|PB |-|PA |=4,
∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是5
42
2y x -=1(x ≥2)
①
又∵|PB |=|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上，该直线的方程为x -3y +7=0
②
将②代入①得11x 2
-56x -256=0,得x =8或x =-
11
32
(舍). 于是可得P (8,53).
又k PA =tan α=3,∴α=60°.
故点P 在点A 的北偏东30°方向上，即A 炮击P 地的方位角是北偏东30°. 拓展探究
14.(2006江苏高考，17)已知三点P (5，2)、F 1(-6，0)、F 2(6，0). (1)求以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；
(2)设点P 、F 1、F 2关于直线y =x 对称点分别为P ′、F 1′、F 2′，求以F 1′、F 2′为焦点且过点P ′的双曲线的标准方程.
解析：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22
22b
y a x +=1(a >b >0),
其半焦距c =6.
2a =||PF 1|+|PF 2||=56212112222=+++.
∴a =35,b 2=a 2-c 2
=45-36=9.
∴所求椭圆的标准方程为
.19
452
2y x + (2)点P （5，2）、F 1（-6，0）、F 2（6，0）关于直线y =x 的对称点分别为P ′(2,5)、F 1′(0,-6)、
F 2′(0,6).
设所求双曲线的标准方程为
21
2
2
12b x a y -=1(a 1>0,b 1>0). 由题意知，半焦距c 1=6,
2a 1=||P ′F 1′|-|P ′F 2′||=54|21211|2222=+-+.
∴a 1=25,b 21=c 21-a 2
1=36-20=16.
∴所求双曲线的标准方程为
16
202
2x y -=1.。