2019-2020学年浙江省宁波市海曙区八年级(上)期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年浙江省宁波市海曙区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（3分）下列是世界各国银行的图标，其中不是轴对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（3分）一个正比例函数的图象过点(2,3)-，它的表达式为( )
A ．32y x =-
B ．23y x =
C ．32y x =
D ．23
y x =- 3．（3分）已知等腰三角形ABC ∆中，腰8AB =，底5BC =，则这个三角形的周长为( )
A ．21
B ．20
C ．19
D ．18
4．（3分）已知关于x 的不等式23x m ->-的解集如图，则m 的值为( )
A ．2
B ．1
C ．0
D ．1- 5．（3分）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、C
E 相交于点D ，则BDC ∠的度数为( )
A ．60︒
B ．45︒
C ．75︒
D ．90︒
6．（3分）如图，ABC AEF ∆≅∆且点F 在BC 上，若AB AE =，B E ∠=∠，则下列结论错误的是( )
A ．AC AF =
B ．AFE BFE ∠=∠
C ．EF BC =
D ．EAB FAC ∠=∠
7．（3分）能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假
命题的两个角是( )
A ．120︒，60︒
B ．75︒，105︒
C ．30︒，150︒
D ．90︒，90︒
8．（3分）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．10
9．（3分）如图的ABC ∆中，AB AC BC >>，且D 为BC 上一点．今打算在AB 上找一点P ，在AC 上找一点Q ，使得APQ ∆与PDQ ∆全等，以下是甲、乙两人的作法：
（甲)连接AD ，作AD 的中垂线分别交AB 、AC 于P 点、Q 点，则P 、Q 两点即为所求 （乙)过D 作与AC 平行的直线交AB 于P 点，过D 作与AB 平行的直线交AC 于Q 点，则P 、Q 两点即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？( )
A ．两人皆正确
B ．两人皆错误
C ．甲正确，乙错误
D ．甲错误，乙正确
10．（3分）如图，直线1y kx b =+过点(0,3)A ，且与直线2y mx =交于点(1,)P m ，则不等式
组2mx kx b mx >+>-的解集是( )
A．
5
1
4
x
<<B．
4
1
3
x
<<C．
5
1
3
x
<<D．12
x
<<
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）6与x的2倍的和是负数，用不等式表示为．
12．（3分）将点(1,2)
P-向左平移2个单位，再向上平移1个单位所得的对应点的坐标为．13．（3分）已知CD是Rt ABC
∆的斜边AB上的中线，若35
A
∠=︒，则BCD
∠=．
14．（3分）已知点(3,)
A m
-与点(2,)
B n是直线
2
3
y x b
=-+上的两点，则m n（填“>”、
“<”或“=”)．
15．（3分）如图，直线//
m n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m，n于点B、C，连接AC、BC，若130
∠=︒，则2
∠=．
16．（3分）已知点(4,3)
A，//
AB y轴，且3
AB=，则B点的坐标为．
17．（3分）一次生活常识知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对了道题．
18．（3分）如图，10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过(1,0)
A点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为．
三、解答题（本题有6小题，共46分）
19．（6分）解不等式组
532,
31
20
4
x x
x
+
⎧
⎪
⎨-
-<
⎪⎩
，并把它的解集在数轴上表示出来．
20．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，ABC
∆的三个顶点都在格点（即这些小正方形的顶点）上，且它们的坐标分别是(2,3)
A-，(5,1)
B-，(1,3)
C，结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题：
（1）请在如图坐标系中画出ABC
∆；
（2）画出ABC ∆关于y 轴对称的△A B C '''，并写出△A B C '''各顶点坐标．
21．（8分）已知，如图，点A 、D 、B 、E 在同一直线上，AC EF =，AD BE =，A E ∠=∠，
（1）求证：ABC EDF ∆≅∆；
（2）当120CHD ∠=︒，求HBD ∠的度数．
22．（8分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A ，B 两种树苗共17棵，已知A 种树苗每棵80元，B 种树苗每棵60元．设购进A 种树苗x 棵，购买两种树苗的总费用为w 元．
（1）写出w （元)关于x （棵)的函数关系式；
（2）若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点(3,0)A -，与y 轴交于点B ，且与正比例函数43
y x =的图象交点为(,4)C m ． （1）求一次函数y kx b =+的解析式；
（2）求BOC ∆的面积；
（3）若点D 在第二象限，DAB ∆为等腰直角三角形，则点D 的坐标为 ．
24．（10分）问题背景：如图1，在正方形ABCD的内部，作DAE ABF BCG CDH
∠=∠=∠=∠，根据三角形全等的条件，易得DAE ABF BCG CDH
∆≅∆≅∆≅∆，从而得四边形EFGH是正方形．
类比探究：如图2，在正ABC
∠=∠=∠，AD，BE，CF两两相交于D，
∆的内部，作123
E，F三点(D，E，F三点不重合）．
（1）ABD
∆，BCE
∆，CAF
∆是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；
（2）DEF
∆是否为正三角形？请说明理由；
（3）如图3，进一步探究发现，ABD
∆的三边存在一定的等量关系，设BD a
=，
=，AD b =，请探索a，b，c满足的等量关系．
AB c
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列是世界各国银行的图标，其中不是轴对称图形的是()
A．B．C．D．解：A、B、C都是轴对称图形，故选D．
2．（3分）一个正比例函数的图象过点(2,3)
-，它的表达式为()
A．
3
2
y x
=-B．
2
3
y x
=C．
3
2
y x
=D．
2
3
y x
=-
解：设函数的解析式是y kx
=．根据题意得：23
k=-．
解得：
3
2
k=-．
故函数的解析式是：
3
2
y x =-．
故选：A．
3．（3分）已知等腰三角形ABC
∆中，腰8
AB=，底5
BC=，则这个三角形的周长为( )
A．21B．20C．19D．18
解：885
++
165
=+
21
=．
故这个三角形的周长为21．
故选：A．
4．（3分）已知关于x的不等式23
x m
->-的解集如图，则m的值为( )
A．2B．1C．0D．1-
解：23
x m
>-，
解得32m x ->， 在数轴上的不等式的解集为：2x >-，
∴322
m -=-， 解得1m =-；
故选：D ．
5．（3分）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、CE 相交于点D ，则BDC ∠的度数为( )
A ．60︒
B ．45︒
C ．75︒
D ．90︒
解：90CAE ∠=︒，45BAE ∠=︒，
45CAB ∴∠=︒，
75BDC CAB C ∴∠=∠+∠=︒，
故选：C ．
6．（3分）如图，ABC AEF ∆≅∆且点F 在BC 上，若AB AE =，B E ∠=∠，则下列结论错误的是( )
A ．AC AF =
B ．AFE BFE ∠=∠
C ．EF BC =
D ．EAB FAC ∠=∠
解：ABC AEF ∆≅∆，
AC AF ∴=，EF BC =，故A ，C 正确；
EAF BAC ∠=∠，
FAC EAB ∴∠=∠，故D 正确；
AFE C ∠=∠，故B 错误； 故选：B ．
7．（3分）能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是()
A．120︒，60︒B．75︒，105︒C．30︒，150︒D．90︒，90︒
解：当两个角都是90︒时，满足两个角互补，不满足这两个角一个是锐角，另一个是钝角．故选：D．
8．（3分）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为()
A．5B．6C．7D．10
解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；
①选23
-<<+，能构成三角形，此时+、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；54654
两个螺丝间的最长距离为6；
②选34
-<<+，能构成三角形，此时+、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；62762
两个螺丝间的最大距离为7；
③选46
+、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2310
+<，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选62
+、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而348
+<，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．
故选：C．
9．（3分）如图的ABC
>>，且D为BC上一点．今打算在AB上找一点P，∆中，AB AC BC
在AC上找一点Q，使得APQ
∆全等，以下是甲、乙两人的作法：
∆与PDQ
（甲)连接AD，作AD的中垂线分别交AB、AC于P点、Q点，则P、Q两点即为所求（乙)过D作与AC平行的直线交AB于P点，过D作与AB平行的直线交AC于Q点，则P、Q两点即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？( )
A ．两人皆正确
B ．两人皆错误
C ．甲正确，乙错误
D ．甲错误，乙正确
解：如图1，PQ 垂直平分AD ，
PA PD ∴=，QA QD =， 而PQ PQ =，
()APQ DPQ SSS ∴∆≅∆，所以甲正确；
如图2，//PD AQ ，//DQ AP ，
∴四边形APDQ 为平行四边形，
PA DQ ∴=，PD AQ =，
而PQ QP =，
()APQ DQP SSS ∴∆≅∆，所以乙正确．
故选：A ．
10．（3分）如图，直线1y kx b =+过点(0,3)A ，且与直线2y mx =交于点(1,)P m ，则不等式
组2mx kx b mx >+>-的解集是( )
A ．514x <<
B ．413x <<
C ．513x <<
D ．12x << 解：直线1y kx b =+过点(0,3)A ，
3b ∴=，
把(1,)P m 代入3y kx =+得3k m +=，解得3k m =-，
解(3)32m x mx -+>-得53
x <， 所以不等式组2mx kx b mx >+>-的解集是513x <<
． 故选：C ．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）6与x 的2倍的和是负数，用不等式表示为 620x +< ． 解：x 的2倍为2x ，
6与x 的2倍的和写为62x +，
和是负数，
620x ∴+<，
故答案为620x +<．
12．（3分）将点(1,2)P -向左平移2个单位，再向上平移1个单位所得的对应点的坐标为 (3,3)- ．
解：点(1,2)P -向左平移2个单位，再向上平移1个单位所得的对应点的坐标为(12,21)--+，即对应点的坐标是(3,3)-．
故答案填：(3,3)-．
13．（3分）已知CD 是Rt ABC ∆的斜边AB 上的中线，若35A ∠=︒，则BCD ∠= 55︒ ． 解：90ACB ∠=︒，35A ∠=︒，
55B ∴∠=︒， CD 是Rt ABC ∆的斜边AB 上的中线，
CD BD ∴=，
55BCD B ∴∠=∠=︒，
故答案为：55︒．
14．（3分）已知点(3,)A m -与点(2,)B n 是直线23y x b =-+上的两点，则m > n （填“>”、“ <”或“=” )． 解：直线23y x b =-+中，203
k =-<， y ∴随x 的增大而减小．
32-<，
m n ∴>．
故答案为：>．
15．（3分）如图，直线//m n ，以直线m 上的点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m ，n 于点B 、C ，连接AC 、BC ，若130∠=︒，则2∠= 75︒ ．
解：直线//m n ，
130BAC ∴∠=∠=︒，
AB AC =，
1(180)752
ABC BAC ∴∠=︒-∠=︒， 275ABC ∴∠=∠=︒，
故答案为：75︒．
16．（3分）已知点(4,3)A ，//AB y 轴，且3AB =，则B 点的坐标为 (4,0)或(4,6) ． 解：(4,3)A ，//AB y 轴，
∴点B 的横坐标为4，
3AB =，
∴点B 的纵坐标为336+=或330-=，
B ∴点的坐标为(4,0)或(4,6)．故填(4,0)或(4,6)．
17．（3分）一次生活常识知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对了 17 道题． 解：设小聪答对了x 道题，则答错了(201)x --道题，
依题意，得：52(201)80x x --->，
解得：6167
x >， x 为正整数，
x ∴的最小值为17．
故答案为：17．
18．（3分）如图，10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过(1,0)A 点的一条直线l 将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为 9988
y x =- ．
解：将由图中1补到2的位置， 10个正方形的面积之和是10，
∴梯形ABCD 的面积只要等于5即可，
∴设4BC x =-，则[(4)3]325x -+⨯÷=，
解得，113
x =， ∴点B 的坐标为11(3
，3)， 设过点A 和点B 的直线的解析式为y kx b =+，
01133
k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得，989
8k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
即过点A 和点B 的直线的解析式为9988y x =
-， 故答案为：9988y x =-．
三、解答题（本题有6小题，共46分）
19．（6分）解不等式组532,31204
x x x +⎧⎪⎨--<⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：53231204
x x x +⎧⎪⎨--<⎪⎩①②， 解不等式①，得1x -，
解不等式②，得3x <．
所以不等式组的解集：13x -<，
在数轴上表示为：
20．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，ABC ∆的三个顶点都在格点（即这些小正方形的顶点）上，且它们的坐标分别是(2,3)A -，(5,1)B -，(1,3)C ，结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题：
（1）请在如图坐标系中画出ABC ∆；
（2）画出ABC ∆关于y 轴对称的△A B C '''，并写出△A B C '''各顶点坐标．
解：（1）如图所示，ABC ∆即为所求；
（2）如图所示，△A B C '''即为所求；(2,3)A '--，(5,1)B '--，(1,3)C '-．
21．（8分）已知，如图，点A 、D 、B 、E 在同一直线上，AC EF =，AD BE =，A E ∠=∠，
（1）求证：ABC EDF ∆≅∆；
（2）当120CHD ∠=︒，求HBD ∠的度数．
【解答】（1）证明：
AD BE =，
AB ED ∴=，
在ABC ∆和EDF ∆中，
AC EF A E AB ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABC EDF SAS ∴∆≅∆；
（2）ABC EDF ∆≅∆，
HDB HBD ∴∠=∠，
120CHD HDB HBD ∠=∠+∠=︒，
60HBD ∴∠=︒．
22．（8分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A ，B 两种树苗共17棵，已知A 种树苗每棵80元，B 种树苗每棵60元．设购进A 种树苗x 棵，购买两种树苗的总费用为w 元．
（1）写出w （元)关于x （棵)的函数关系式；
（2）若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
解：（1）8060(17)201020w x x x =+-=+；
（2）200k =>，w 随着x 的增大而增大，
又17x x -<，解得8x >，
8.517x ∴<<，且x 为整数
∴当9x =时，w 有最小值20910201200⨯+=（元)，
答：费用最省方案为：购进A 种树苗9棵，B 种树苗8棵，所需费用为1200元．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点(3,0)A -，与y 轴交于点B ，且与正比例函数43y x =的图象交点为(,4)C m ． （1）求一次函数y kx b =+的解析式；
（2）求BOC ∆的面积；
（3）若点D 在第二象限，DAB ∆为等腰直角三角形，则点D 的坐标为 (2,5)-或(5,3)-或5(2-，5)2
．
解：（1）点C 在正比例函数图象上，
∴443
m =，解得：3m =， 点(3,4)C 、(3,0)A -在一次函数图象上，
∴代入一次函数解析式可得3034k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解这个方程组得232
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数的解析式为223
y x =+； （2）在223
y x =
+中，令0x =，解得2y =， (0,2)B ∴ 233BOC S ∆∴=⨯⨯=；
（3）过点1D 作1D E y ⊥轴于点E ，过点2D 作2D F x ⊥轴于点F ，如图， 点D 在第二象限，DAB ∆是以AB 为直角边的等腰直角三角形， 2AB BD ∴=，
190D BE ABO ∠+∠=︒，90ABO BAO ∠+∠=︒，
1BAO EBD ∴∠=∠，
在1BED ∆和AOB ∆中，111
D EB BOA EBD BAO D B BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ 1()BED AOB AAS ∴∆≅∆，
3BE AO ∴==，12D E BO ==，
即可得出点D 的坐标为(2,5)-；
同理可得出：2AFD AOB ∆≅∆，
2FA BO ∴==，23D F AO ==，
∴点D 的坐标为(5,3)-，
1245D AB D BA ∠=∠=︒，
390AD B ∴∠=︒，
35(2D ∴-，5)2
， 综上可知点D 的坐标为(2,5)-或(5,3)-或5(2-，5)2
．
故答案为：(2,5)-或(5,3)-或5(2-，5)2
．
24．（10分）问题背景：如图1，在正方形ABCD 的内部，作DAE ABF BCG CDH ∠=∠=∠=∠，根据三角形全等的条件，易得DAE ABF BCG CDH ∆≅∆≅∆≅∆，从而得四边形EFGH 是正方形．
类比探究：如图2，在正ABC ∆的内部，作123∠=∠=∠，AD ，BE ，CF 两两相交于D ，
E ，
F 三点(D ，E ，F 三点不重合）
． （1）ABD ∆，BCE ∆，CAF ∆是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；
（2）DEF ∆是否为正三角形？请说明理由；
（3）如图3，进一步探究发现，ABD ∆的三边存在一定的等量关系，设BD a =，AD b =，AB c =，请探索a ，b ，c 满足的等量关系．
【解答】（1）ABD BCE CAF ∆≅∆≅∆；理由如下： ABC ∆是正三角形，
60CAB ABC BCA ∴∠=∠=∠=︒，AB BC AC ==， 又123∠=∠=∠，
ABD BCE CAF ∴∠=∠=∠，
在ABD ∆、BCE ∆和CAF ∆中，123ABD BCE CAF AB BC CA ∠=∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=∠⎩
，
()ABD BCE CAF ASA ∴∆≅∆≅∆；
（2）DEF ∆是正三角形；理由如下：
ABD BCE CAF ∆≅∆≅∆， ADB BEC CFA ∴∠=∠=∠， FDE DEF EFD ∴∠=∠=∠， DEF ∴∆是正三角形；
（3）222c a ab b =++．作AG BD ⊥于G ，如图所示： DEF ∆是正三角形， 60ADG ∴∠=︒，
在Rt ADG ∆中，12DG b =，32AG b =， 在Rt ABG ∆中，22213()()22
c a b b =++， 222c a ab b ∴=++．。