计算机图形学简明教程 第 章

4.3.1 基本变换－平移
❖点(x′,y′,z′)由点(x, y, z)在x, y和z轴方向分别 移动距离Δx, Δy和Δz得到。两点坐标间的关系
为
x′=x+Δx
y′=y+Δy (4.1)
z′=z+Δz 其矩阵形式为
x 1 0 0x x y 0 1 0yy z 0 0 1z z
4.3.1 基本变换－放大和缩小
▪ 先把整个图形沿x, y和z方向平移–xp, –yp和–zp, 由pivot规定的相似中心就移到了坐标原点.
(xp,yp,zp)
以图形中心为中心进行缩放的步骤
4.3.1 基本变换－放大和缩小
❖ 以图形中心为中心的缩放变换
▪ 然后再对每以一图点形按中照心式为中(4心.3的)作缩变放换. ▪ 最后再沿x, y和z方向平移xp, yp和zp,把经过缩
轴的方向(Ax,Ay,Az)。
▪ 首先建立一个新的坐标系Ouvw,Ow轴的指向和（Ax,Ay,Az)
的指向一致.
▪ 先把要作旋转变换的对象从坐
25 10 6 0
B
3
1 1 0
5 2 1 0
0
0 0 1
25106 01 2 4 0 1 0 0 0
BA
3
1 1 02 5 7 00 1 0 0
5 2 1 01 0 5 0 0 0 1 0
0
0 0 10 0 0 1 0 0 0 1
计算机图形学简明教程
4.2 图形显示中的基本概念
放的图形移回原处.
(xp,yp,zp)
以图形中心为中心进行缩放的步骤
4.3.1 基本变换－放大和缩小
❖这样做的综合效果是图形以(xp, yp, zp)为中心作 了缩放变换.
x' sx(x xp) xp y' sy(y yp) yp z' sz(z zp) zp
中心缩放公式
图4.8 以(xp,yp,zp)为中心的缩放变换
x 图4.1二维点的坐标
|p 1 p 2 |(x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2 (z 2 z 1 ) 2
4.1.2 矢量
定义:矢量是一个n元组，在坐标系中它对应于n维空 间的一个点，这个点 可以代表物体在空间的位置， 也可以代表其运动状态等。
★矢量和 ★矢量的数乘 ★矢量的模 ★单位矢量 ★矢量的点乘 ★矢量的叉乘
计算机处理图形的过程
❖ 计算机处理图形的过程一般分为三个阶段：
图形的数字化
图形操作
图形输出
❖ 1、图形数字化（图形数字建模）
▪ 为了使计算机处理几何图形，必须对图形进行数字 化，因为计算机只能处理数字，计算机图形也是以 数字的形式进行加工和处理的。
▪ 坐标建立了几何图形和数字之间的关系，为了使显 示的图形数字化，要为数字化的图形建立坐标系。
❖设点(x, y, z)经缩放变换后得点(x′,y′,z′)。两 点坐标间的关系为
x sx x y sy y z sz z
( 4.2)
x sx
y
0
z 0
0 0x sy 0 y 0 sz z
(4.3)
图4.7 放缩
4.3.1 基本变换－放大和缩小
❖ 以图形中心为中心的缩放变换
▪ 为了使缩放以变图换形后中心的为图中形心仍的在缩原放位置附近，可另 外定义一个相似中心点(xp,yp,zp).
k ux
k U
k
u
y
k u z
4.1.2 矢量-矢量的模、单位矢量
(3)矢量的模 设三维空间的一组基如：
1 0 0 e1 0,e2 1,e3 0
0 0 1
矢量u可表示为：
ux
U
uy
uxe1
uye2
uze3
uz
矢量的模指矢量的长度定义为： U ux2uy2uz2
(4)单位矢量
叉乘的图形如图4.4,性质如下: (1). UVUVsin
(2).矢量 U×V垂直于矢量U 和V, 三矢量的方向遵从右手系。
U×V V
θh U
图4.4 U×V的模
4.1.3 矩阵－矩阵定义和加法
★定义:m*n阶矩阵A定义为：
★矩阵A也记为Am*n或(aij)m*n,当 m=n时称为n阶矩阵或n阶方阵.
• 设备坐标系：在输出设备上建立的坐标系是设备坐标系， 输出设备如果是屏幕就是屏幕坐标系。有可能是三维的 如机械手运动轨迹的三维坐标系。我们常用的是屏幕坐 标系。
▪ 有些图形系统，对设备坐标系进行了规范化，将坐标
范围限定在区间{x,y,z | 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1}内，称为标准化设备坐标系
– 定理：矩阵A可逆的充分必要条件是其行列式不为0。
例如：
1 2 4 0
A
2
5
7
0
1 0 5 0
0
0
0
1
1 2 4 025106 0 1 0 0 0 AB 2 5 7 0 3 1 1 00 1 0 0
1 0 5 0 5 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
设u的单位矢量为 则：
U
UU U
4.1.2 矢量-矢量的点乘
(5)矢量的点乘
矢量 U和 V的点乘表示为 UV .定义如下：
U Vuxvxuyvyuzvz
夹角的余弦定义如下：
cos U V
U V
U
点乘的几何意义如图4.3所示
θ
U V0 U V
由以上可得点乘的如下性质:
V
图4.3 U·V即U在V上的投影源自以V 的模4.3.1 基本变换－旋转
❖设给定点的坐标为（x, y, z）= (rcos , rsin , z)， 它绕z轴旋转α角后，可得点(x′, y′, z′)
xrcos()xcosysin
Y
yrsin()xsinycos
zz
x cos sin 0x
ysin cos 0y
z 0
0 1z
X
旋转的图示 Z
▪ 1.观察角度的改变-取景变换 ▪ 2.物体位置的改变-模型变换(三维几何变换)
❖ 两种变换本质是相同的,取景变换是可以用模型变 换来实现的,不过有时用一种方法考虑比另一种方 法考虑更容易一些。这里只讨论模型变换。
❖ 复杂的图形变换都可以归结为对点的变换，后面 的变换都是针对空间中任意点的。
❖ 因为二维变换是三维变换的特例，下面仅讨论空 间中的三维变换。
4.1.2 矢量-矢量和、数乘
设有任意两个三维矢量 (1)矢量和见图4.2
u x
U
u
y
u z
vx
V
v
y
v z
V
U+V
ux vx
U
V
u y
v
y
θ
u z v z
(0,0,0)
U
(2)矢量的数乘
图4.2 矢量的加法
K是常数如k大于0,新矢量 与原矢量方向相同,否则相 反其关系式如下:
4.3.1 基本变换－旋转
同理： 绕y和x轴的旋转变换公式分别为
x cos 0 sinx
y 0 1 0 y
z sin 0 cos z
和
x 1 0 0 x
y0 cos siny z 0 sin cos z
4.3.1 基本变换－旋转
❖ 绕过原点的轴旋转
▪ 绕空间任一通过坐标原点的轴,做旋转变换，需给出这根
– 例如一个4*4阶矩阵B进行转置得到BT
– 矩阵的转置有如下的性质(AB)T=BTAT b11 b21 b31 b41
BT b12
b22
b32
b42
bb1143
b23 b24
b33 b34
b43 b44
4.1.3 矩阵－矩阵的逆
（6）矩阵的逆
– 对于n阶矩A，如果有一个n阶矩阵B，使得AB=BA=In,则B 为A的逆矩阵，记作B=A-1.
为了在屏幕或绘图纸 上指定显示图形的位 置，需要在其上定义 一个矩形，该矩形称 为视口。
投影平面 V′ U′窗口
X′
Y′
Z
XY
视口 屏幕
图4.5 视见体、窗口和视口
远平面 近平面
视点
计算机处理图形的过程
❖ 3、图形输出：
▪ 计算机对数量化的显示图形在图形显示器上绘制，也 就是把投影平面中的投影图形输出在输出设备上，需 要在输出设备上建立一个坐标系。
计算机处理图形的过程
▪ 模型坐标系：为了方便建立图形的数字模型，常常 根据它的几何形状选择坐标系，因此在图形的处理 过程中，每个图形模型都有自己的坐标系，这个坐 标系称为模型坐标系或局部坐标系
▪ 世界坐标系：一个图形场景往往有多个图形组成， 为了描述它们之间的关系，需要把它们置于一个统 一的坐标系中，该坐标系称为世界坐标系。
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
am1
am2
amn
★设有两个4*4矩阵:A=(aij)4*4,B=(bij)4*4
（1）矩阵的加法
– 两个矩阵的阶数(行数和列数)相同时，矩阵对应位置的 元素相加得到的矩阵称为矩阵的和,记作A+B。
a11b11 a12b12 a13b13 a14b14
计算机图形学简明教程
第四章 变换和裁剪
综述
本章的目的：
1、用数学的方法推导出物体的几何形状在不同观察方 式下所呈现的视图之间的几何关系，即几何变换，如 平移、放缩、旋转等。
2、如何求出图形在窗口内的部分进行显示，或者说显 示图形时如何把窗口外的部分裁剪掉
主要章节
4.1 变换的数学基础 4.2 图形显示中的基本概念 4.3 几何变换 4.4 裁剪