2008年湖南省高考数学试卷

湖南省2008年普通高等学校单独招生统一考试
数学试卷
时量150分钟，满分150分
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅
如果事件A 在1次实验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次的
概率k
n k k n n P P C k P --=)1()(
球的表面积公式24S R π=球，体积公式3
3
4R V π=
球， 其中R 表示球的半径
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．函数2
(x
2x 1)
2y log -+=(x>1)的反函数为y=1
()f
x -,则1(2)f -等于 ……………………（ ）
A ．3
B ．2
C ．0
D ．-2
2．设集合{}
x A (x,y)y 2==，{}B (x,y)y a,a R ==∈，则集合A
B 的子集个数最多有
（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
3． 从双曲线虚轴的一个端点看两个顶点的视角为直角，则双曲线的离心率为……… （ ）
A ．
1
2
B ．2
C D
4．过P （1，1）作圆2
2
4x y +=的弦AB ，若1
2
AP BA =-，则AB 的方程是………（ ）
A y=x+1 B.y=x +2 C.y= -x+2 D.y= -x-2
5．在310
(1x )(1x )-+展开式中，5x 的系数是 …………………………………………
（ ）
A ． 297-
B ． 252-
C ．297
D ．207
6．函数y 2si n(2x )
3
π
=-的单调递增区间是 ………………………………………… （ ）
A ．
5k ,k 1212ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦(k z)∈ B ． 511k ,k 1212ππ⎡
⎤π+π+⎢⎥⎣⎦
(k z)∈
C ．k ,k 36ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦(k z)∈
D ． 2k ,k 63ππ⎡
⎤π+π+⎢⎥⎣⎦(k z)∈
7．若n n b lim 1()1
1b →∞⎡
⎤-=⎢⎥-⎣⎦
，则b 的取值范围是 ………………………………………… （ ）
A ．1
b 2＜＜1
B ． 11
b 22-＜＜
C ．1
b 2＜
D ．1
0b 2
＜＜
8．设0x ＜＜1，则y=
49
x 1x
+
-的最小值为 ………………………………………… （ ） A ．24 B ．25 C ．26 D ．1
9．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法 ……………………………………………………………………………（ ）
A ．24种
B ．72种
C ．84种
D ．120种
10．平面α的一条斜线l 与平面α交于点P ，Q 是l 上一定点，过点Q 的动直线m 与l 垂直，那么m 与平面α交点的轨迹是……… （ ）
A ．直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线
（第9题图）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案
填在答题卡中对应题号后的横线上）
11．
3
(1i)(2i)
i --+= .
12．不等式11(sin x 2)0x 1x 1⎛⎫
+-< ⎪++⎝⎭
的解集为 ．
13．设M 是椭圆22
143
x y +=上的动点，1A 和2A 分别是椭圆的左、右顶点，则12MA MA ∙的
最小值等于 .
14.设f (x)是定义在R 上的奇函数，且f (x 3)f (x)1+=-，f (1)2-=，则f (2008)= ．
15．将一个钢球置于由6m 的钢管焊接成的正四面体的钢架内，那么，这个钢
球的最大体积为 3
（m ）.
三．解答题(本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．（本小题满分12分）
已知ABC
∆,内角A、B、C的对边分别为a、b、c，又向量
=--，n(sin A sin B)
m(sin A sin C,b a)
=+,且m n
⊥
（I）求角C;
（II）求三角形ABC的面积S的最大值．
17．（本小题满分12分）
湖南省某单位从5名男职工和3名女职工中任意选派3人参加省总工会组织的“迎奥运，争奉献”演讲比赛．
（I）求该单位所派3名选手都是男职工的概率;
（II）求该单位男职工、女职工都有选手参加比赛的概率；
（III）如果参加演讲比赛的每一位选手获奖的概率均为1
3
，则该单位至少有一名选手获
奖的概率是多少？
18. （本小题满分12分）
把边长为2的正三角形ABC沿BC上的高AD折成直二面角，设折叠后BC的中点为P.
（I）求异面直线AC，PD所成的角的余弦值;
（II）求二面角C—AB—D的大小;
（III）在AB上是否存在一点S，使得AC 面PSD？若存在，试确定S的位置，若不
存在，试说明理由.
19．（本小题满分12分）
设函数2f (x)x(x a)=-
（I ）证明： a 3<是函数f (x)在区间(1,2)上递减的必要而不充分的条件；
（II ）若x 0,a 1∈⎡+⎤⎣⎦时，2
f (x)2a ＜恒成立，且f (0)0=，求实数a 的取值范围．
20．（本小题满分13分）
已知曲线C 上的动点M 到y 轴的距离比到点F （1，0）的距离小1.
（I ）求曲线C 的方程;
（II ）过F 作弦PQ 、RS ，设PQ 、RS 的中点分别为A 、B ，若0PQ RS ∙=，求AB 最小时，弦PQ 、RS 所在直线的方程;
（III ）是否存在一定点T ，使得AF TB FT λ=-？若存在，求出P 的坐标，若不存在，试说明理由.
21．（本小题满分14分）数学社区提供
已知曲线C ：2f (x)3x 1=-，C 上的两点A 、n A 的横坐标分别为2与n a (n 1,2,3,)=…，1a 4=，数列{}n x 满足[]n 1n t x f (x 1)1
13+=-++（t 0＞且1
t 2
≠，t 1≠）．设区间[]
n n n D 1,a (a 1)=＞，当n x D ∈时，曲线C 上存在点n n n p (x ,f (x ))，使得点n p 处的切线与n
AA 平行．
（I ）建立n x 与n a 的关系式；
（II ）证明：{}
n (x 1)t log 1-+是等比数列；
（III ）当n 1D +n D ⊂≠对一切n N +∈恒成立时，求t 的范围．
参考答案
二．
填空题（每小题5分）
11．3i -
- 12。

{1}x x >- 13。

-1 14。

12 15。

6
π 三．
解答题
16.0
sin sin )sin sin ))sin 0
m n m n A C A C b a B ⊥⇒=∴-++-=解：(I)（（……………2分 且2R=22(
)())022a c b a R R --= 化简得： 2
2
2
c a b ab =+- ……………4分 由余弦定理：2
2
2
2cos c a b ab C =+-
12cos 1cos 520,63
C C C C π
π∴=⇒=<<∴=
分
分
2222
2
()
(2sin )6
62()
9II a b ab c R C a b ab ab ab ab +-===∴=+-
≥-=当且仅当
a=b 时取"="分
1sin 2S
ab C ab =
=≤……………11分 所以，max S ABC =
∆此时，为正三角形……………12分 17．解：（I ）记事件A=“该单位所派的选手都是男职工” ……………1分
则P （A ）=3
5385
28
C C = ……………3分
（II ）记事件B=“该单位男职工、女职工选手参加比赛” ……………4分
则P （B ）=2112
535333
8845
56
C C C C C C +=……………7分 （III ）设该单位至少有一名选手获奖的概率为P ，则
3332111191233327
P P P P =++=1
2233
3
33
（1）+（2）+（3）
9分
11=C （1-）C （1-）（）C （）分
33
或32
19
13
27
P P =-=0
3
3
（0）=1-C （）……………12分 18．（解法一）（I ）取AB 的中点为Q ，连接PQ ，则PQ AC ，所以，DPQ ∠为AC 与BD 所成角……………2分
A C D A
B D ⊥面面
C D B D ∴⊥
又CD=BD=1
，2
PD ∴=
，而PQ=1，DQ=1 222cos 24
PD PQ OQ DPQ PD PQ +-∴∠==
⋅……………4分
（II ）过D 作DR AB ⊥，连接CR ，
ACD ABD ⊥面面，CD ABD ∴⊥面CR AB ∴⊥
CRD C AB D ∴∠--就是二面角的平面角……………6分
在Rt ADB ∆中
，DR AB AD BD DR ⋅=⋅⇒=
tan CD CRD DR ∴∠=
=……………8分
C AB
D ∴--二面角的大小为arctan
3
……………9分 （解法二）（I ）如图，以D 为坐标原点，DB 、AD 、DC 所在直线分别为x,y,z 轴建立直角坐标系。

则A
（0,），C （0，0，1），B （1，0，0），P （11
,0,22
）
，D （0，0，0）
AC ∴=，11
(,0,)22
PD =……2分
2cos ,4
AC DP AC DP AC DP
∴<
>=
=所以，异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为
4
……………4分
（II ）面DAB 的一个法向量为1
(0,0,1)n =………5分 设面ABC 的一个法向量2(,,)n x y z =，则
1200
00n AC
z n AB x ⎧=+=⎪⇒⎨=+=⎪
⎪⎩⎩,取2(3,n =，……………7分 则
12
112
21
cos ,7
n n n n n ∴<>=
=
……………8分 C AB D ∴--二面角的大小为9分 （III ）不存在。

若存在S 使得AC PSD ⊥面，则AC PD ⊥，与（I ）矛盾。

故不存在…12分
19．解：（I ）
f （x ）在区间(1,2)上递减，其导函数22f (x)3x 4ax a '=-+……………1分
'2'2(1)0430(2)0812********f a a f a a a a a a ⎧⎧<-+<⎪⎪∴⇒⎨⎨<-+<⎪⎪⎩⎩<<⎧⇒⇒<<⇒<⎨<<⎩
……………4分
故a 3<是函数f (x)在区间(1,2)上递减的必要而不充分的条件……………5分 （II ）2()()f x x x a =-
a f (x )
3(x a )(x )3'=--……………6分 当a>0时，函数()y f x =在（,
3a -∞）上递增，在(,)3
a a 上递减，在(,)3a +∞上递增，故有 22()227132(1)2a f a a f a a ⎧<⎪⇒<<⎨⎪+<⎩
……………9分 当a 〈0
时，函数()y f x =在(,)3a +∞上递增，∴只要232(1)
246510f a a a a a -<⇒-+-> 令32()4651g a a a a =-+-，则'221()1212512()202g a a a a =-+=-+>…………11分 所以()g a 在(,0)-∞上递增，又(0)10g =-<
2(1)2f a a ∴-<不能恒成立。

故所求的a 的取值范围为2712
a <<……………12分 20．解：（I ）由条件，M 到F （1，0）的距离等于到直线 x= -1的距离,所以，曲线C 是以F 为焦点、直线 x= -1为准线的抛物线，其方程为24y x =……………3分
（II ）设:(1)PQ l y k x =-，代入24y x =得：22222(2)0k x k x k -++=……………5分 由韦达定理2122
12
2(2)1k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩ 212222212A x x k x k k ++∴===+，2(1)A A y k x k
=-= 222(1,)A k k
∴+……………6分
0,PQ RS PQ RS =∴⊥，只要将A 点坐标中的k 换成1k
-
，得2(12,2)B k k +-……7分
(14()AB ∴==≥±当且仅当k=1时取"="……………8分 所以，AB 最小时，弦PQ 、RS 所在直线的方程为(1)y x =±-，
即10x y +-=或10x y --=……………9分
（III ）AF TB FT AF FT TB AT TB λλλ=-⇒+=⇒=，即A 、T 、B 三点共线。

∴是否存在一定点T ，使得AF TB FT λ=-,即探求直线AB 是否过定点。

由（II ）知，直线AB 的方程为2222
22(21)221(1)k k y k x k k k --
+=--+-+………10分 即2
(1)(3)k y k x -=-，∴直线AB 过定点（3，0）．……………12分
故存在一定点T （3，0），使得AF TB FT λ=-……………13分
21．解：（I ）因为曲线在n p 处的切线与n AA 平行
231116222n n n n n a x x a a --∴=⇒=+-……………4分 12121()[(1)1]13
[3(1)11]163
(1)1n n n n n n t II x f x t x x x t x +++=-++∴=--++⇒=-+分 ，
11log (1)12log (1)
log (1)12[log (1)1]
{log (1)1}t n t n t n t n t n x x x x x ++-=+-⇒-+=-+∴-+从而是一个公比为2的等比数列
9分
（III ）。

由（II ）知：log (1)1t n x -+=1(log 21)2n t -+ 1211(2)n n x t t -∴=+，从而122222n n n a x t t
-=-=（）……………11分 n 1D +n D ⊂≠，
1122(2)(2)10210142n n n n a a t t t t -+∴<∴<∴<<⇒<<分。