6.1 任意角的正弦、余弦、正切、余切(第3课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)

第 6 章 三角
6.1 任意角的正弦、余弦、正切、余切（第3课时）
学习目标
1.借助单位圆理解任意角 (正弦、余弦、正切)的定义．
(重点、难点)
2．掌握任意角 (正弦、余弦、正切)在各象限的符号．
(易错点)
情境导入
在初中,我们通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切这三个三角函数,如图所示.
所以角所在的象限是第三象限.
).
【变式】(1)若三角形的两内角，满足 ∙ < 0,则此三角形必为(
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
).
D.以上三种情况都有可能
答案：B.三角形的两内角，的终边一定落在第一、第二象限或轴正半轴上，
∙ < 0，所以 > 0， < 0 ，


例7. 已知角 α 的终边经过点 P（ １ ， －２ ）， 求角 α 的
正弦 、余弦 、 正切及余切值
解 ： 由 x 1, y 2 , 有 r =
12 ( 2 ) 2
y
2 5
x
5
s in a

, cos a

,
r
5
r
5
y
x
1
ta n a
2, cot a
．




【解析】解：由题意可得，x=4

故答案为：- ．
3.已知角α的终边经过点P(3，4)，则cosa=
．
【解析】解：由题意得角α的终边经过点P(3，4)，则|OP|=5，
所以cosa=

||




= ，
故答案为： ．
4.若θ满足cosθ＜0，tanθ＞0，则θ为第 ____
x
由于角 α 的正弦 、 余弦 、 正切及余切值可以由其终边上一点
P的坐标求出 ， 因此不难根据点 P 的坐标来判断角 α 的正弦 、
余弦 、 正切及余切的符号 ， 如表 ６-３ 所示 ．
上表的结果可用图 ６-１-８ 直观表示 ．
例9.若角 α 满足 ｓｉｎ α ＞０ ， 且 ｔａｎ α ＜０ ， 则角 α
就可以对任意给定的角 α ， 定义其相应的正弦 、 余弦 、 正切及余切 ．
如图 ６-１-７ ， 在任意角 α 的终边上任取异于原点的一点 P ，设其坐标为 （ x ， y）， 并
令 ｜ OP ｜＝ r ， 必有 r
x 2 y 2 ＞ 0 ． 这样 ， 就可以分别定义 角 α 的正弦 、 余弦 、
3 10
，
10
= 3，则 + =
3 10+30
.
10
= −3，则 + =
3 10−30
.
10
【变式】已知角的终边落在直线 3 + = 0上，求 、 ， 的值.
解：直线 3 + = 0，即y = − 3经过第二、四象限.
.
x
y
2
5,从 而
例8. 已知角 α 的终边经过点 P （ －２ ， ０ ）， 求角 α 的正
弦 、余弦 、 正切及余切值 ．
解：由x=-2,y=0,有r= (2) 2 02 2, 从而
y
x
sin a 0, cos a 1,
r
r
y
tan a 0, cot a不存在。
为 y ． 根据锐角的正弦 、 余弦 、 正切及余切的定义 ， 有
MP
om x
y
sin a
, cos a
.
op r
OP r
MP
OM x
y
tan a
, cot a
.
OM x
MP y
这说明锐角 α 的正弦 、 余弦 、 正切及余切可以用角 α 的终边上点的坐标来义 ． 这样 ，
【变式】.已知点( , )位于第二象限，那么角 所在的象限是(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：C.
由点( , )位于第二象限，
可得 < 0, > 0，可得 < 0, < 0.
属于第几象限？
解
由 ｓｉｎ α ＞０ ， 知角 α 属于第一象限或第二象限或
其终边位于 y 轴的正半轴上 ． 又由 ｔａｎ α ＜０ ， 知 α 属
于第二象限或第四象限 ．
因此 ， 角 α 属于第二象限 ．
课本练习
１． 已知角 α 的终边过点P （ ２ a， －３ a ）（ a ＜０ ）， 求角 α
三 象限角．
【解析】解：θ满足cosθ＜0，故θ的终边所在的位置在第二或第三象限
或在x轴的负半轴上；
tanθ＞0，故θ所在的终边的位置在第一或第三象限内；
由于cosθ＜0，tanθ＞0，
所以θ为第三象限角．
故答案为：三．
5.角α始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(-2，1)，则tanα=
．
【解析】解：∵角α始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(-2，1)，
所以角为钝角，此三角形为钝角三角形.
【变式】(2) 4 ∙ 2 ∙

答案：负.∵
2
23
(−
)的符号为_______(填“正”或“负”).
4
<2<<4<
3
23
，−
2
4
= −6 +
第一象限角，∴ 4 > 0， 2 < 0，(−
∴ 4 ∙ 2 ∙ (−
正切 、 余切 为
y
x
, cos a ,
r
r
y
x
tan a ( x 0), cot a ( y 0).
x
y
sin a

应当注意的是 ：当a k (k Z ), 即角 α 的终边位于 y轴上时 ， ｔａｎ α ＝ 无意义 ；
2

而当 α ＝ k ( k Z ) ,即角 α 的终边位于 x轴上时 ， ｃｏｔ α ＝ 无意义 ．
轴的正半轴重合 ， 那么它的终边必在第一象限 ． 如图 ６-１-６ ， 在角 α 的终边上
任取异于原点的一点P （ x ， y ）， 它与原点的距离 r
x2 y2＞0. 过点 P 作 x轴的
垂线 ， 设垂足为 M， 则线段 OM 的长度 ｜ OM ｜ 为 x ， 而线段 MP 的长度 ｜ MP ｜
解：∵ =
2
+ 9, =

10
,∴

10
=

2 +9
10
，求
10
+ 的值.
.
又 ≠ 0，∴ = ±1，∴ = 10.又 = 3 > 0，
∴是第一或第二象限角.
当是第一象限角时， =
3 10
，
10
当是第二象限角时， =
【思考1】该定义中的三个三角函数,对于同样大的一个锐角来说,如果三角形的大小发生了改变,
其三角函数值是否也改变呢?
【提示】不变.
【思考2】对于一个任意角，如何求得该角的正弦、余弦、正切值？
【提示】我们需要将三角函数的定义推广到任意角
我们将锐角 α 置于平面直角坐标系中 ， 使角 α 的顶点与坐标原点 o重合 ， 始边与 x
解：（1）由sin ＜0且 cos ＜0知，角 属于第三象限；
（2）由sin ＜0知，角 在第三或四象限，由tan＞0知，
角 在第一或三象限，所以角 属于第三象限；
（1）三；（2）三；
题型分类讲解
题型一：三角函数的定义与应用
【例1】已知角的终边上有一点(, 3)( ≠ 0)，且 =


∴tanα=- ．


故答案为：- ．
6.若点P(-3，y)是角α终边上的一点，且 =
4
−
5
【解析】解：∵点P(-3，y)是角α终边上的一点，
且 =

−

=
则y=-4，
故答案为：-4．

+
，
，则y= ____
-4 ．
23
)的符号为负.
4

23
，∴4，2，, −
分别为第三、第二、
4
4
23
)
4
> 0，
随堂检测
1.若sinα＜0，cosα＞0，则α是第( D )象限角．
A.一
B.二
C.三
D.四
【解析】解：sinα＜0，cosα＞0，
则α是第四象限．
故选：D．
2.已知角α的终边过点P(4，-3)，则sinα的值是
（
）
Ａ．ｓｉｎ α ； Ｂ．ｃｏｓ α ；
Ｃ．ｔａｎ α ； Ｄ．ｃｏｔ α ．
解：角a的终边过点（
P 0，
3），P在y轴上，
所以 tan a没有意义，
故选：C。
３． 根据下列条件 ， 分别判断角 θ 属于第几象限 ：
1
3
（1）
sin 且 cos
；
2
2
（ ２ ） ｓｉｎ θ ＜０ 且 ｔａｎ θ ＞０．
的正弦 、 余弦 、 正切及余切值 ．
解：角a的终边过点
P(2a,-3a )( a＜0），可知P在第二象限，
所以
sina
cos a
3a
4a 2 9a 2
2a

13a 2
3a
3
tan a
.
2a
2
2
cot a .
3
3 13

,
13
2 13
,
13
２． 已知角 α 的终边过点 P（ ０ ， －３ ）， 则下列值不存在的是
在第二象限取直线上的点(−1, 3),则 =
∴ =
3
，
2
=
1
− ，
2
= − 3；
在第四象限取直线上的点(1, − 3), 则 =
∴ = −
3
，
2
1
2
12 + ( 3)2 = 2，
12 + ( 3)2 = 2，
= ， = − 3.
题型二：三角函数值符号的运用