反比例函数中的等腰直角三角形(解析版)九年级数学下册常考点微专题提分精练(人教版)

专题05 反比例函数中的等腰直角三角形
1．如图，在平面直角坐标系中，将直线3
y x
=-向上平移3个单位，与y轴、x轴分别交于
点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数
k
y
x
=(0)
x>
的图象经过点C，则k的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质可证出
⊥ACF⊥⊥BCE（AAS），从而得出S
矩形OECF＝S
四形
OBCA＝S
△
AOB＋S
△
ABC，根据直线AB
的表达式利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，结合勾股定理可得出AB 的长度，再根据三角形的面积结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出k值，此题得解．【详解】解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示，
⊥CE⊥x轴，CF⊥y轴，
⊥⊥ECF＝90°．
⊥⊥ABC为等腰直角三角形，
⊥⊥ACF＋⊥FCB＝⊥FCB＋⊥BCE＝90°，AC＝BC，
⊥⊥ACF＝⊥BCE．
在⊥ACF和⊥BCE中，
90AFC BEC ACF BCE
AC BC ∠∠︒⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝＝， ⊥⊥ACF ⊥⊥BCE （AAS ）， ⊥S △ACF ＝S △BCE ， ⊥S 矩形OECF ＝S 四
形
OBCA ＝S △AOB ＋S △ABC ．
⊥将直线y ＝−3x 向上平移3个单位可得出直线AB ， ⊥直线AB 的表达式为y ＝−3x ＋3，
⊥点A （0，3），点B （1，0）， ⊥2210AB OA OB =＝＋， ⊥⊥ABC 为等腰直角三角形， ⊥2
52
AC BC AB ==
=， ⊥S 矩形OECF ＝S △AOB ＋S △ABC ＝12
×1×3＋1552
⨯⨯＝4． ⊥反比例函数k
y x
=（x ＞0）的图象经过点C ，
⊥k ＝4， 故选C ．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、等腰直角三角形以及三角形的面积，根据等腰直角三角形的性质结合角的计算，证出⊥ACF ⊥⊥BCE （AAS ）是解题的关键． 2．如图，OAC 和BAD 都是等腰直角三角形，90ACO ADB ∠=∠=︒，反比例函数16
y x
=在第一象限的图象经过点B ，则OAC 与BAD 的面积差为（ ）．
A ．32
B ．16
C ．8
D ．4
【答案】C
【分析】已知反比例函数的解析式为16
y x
=
，根据系数k 的代数意义，设函数图象上点B 的坐标为(m ，16
m
)再结合已知条件求解即可；
【详解】解：如图，设点C (n ，0)，因为点B 在反比例函数16
y x
=的图象上，所以设点B (m ，
16m
)．
⊥⊥OAC 和⊥BAD 都是等腰直角三角形，
⊥点A 的坐标为(n ，n )，点D 的坐标为(n ，16
m )，
由AD =BD ，得n −16
m
=m −n ，化简整理得m 2−2mn =−16．
⊥S △OAC −S △BAD =12
n 2−12
(m −n )2=−12
m 2+mn =−12
(m 2−2mn )，
即S △OAC −S △BAD =8． 故选C
【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是掌握反比例函数系数k 的几何意义．
3．如图，11
1
2
2
2
3
3
,,,OA B A A B A A B △△△…是分别以1
2
3
,,,A A A …为直角顶点，一条直角边在x
轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点111222333(,),(,),(,),C x y C x y C x y …均在反比例函数4
y x
=
（x ＞0）的图象上，则12100
y y y
+++的值为（ ）
A ．210
B ．20
C ．42
D ．27
【答案】B
【分析】作辅助线如图，根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特点依次求出1234C C C C 、、、点的纵坐标，找到规律，再求和即可．
【详解】解：过123C C C 、、……分别作x 轴的垂线，垂足分别为123D D D 、、……
其斜边的中点1C 在反比例函数4
y x
=上 ⊥1
2,2C （），即1
2y =
⊥1
11
2OD D A ==
设12A D a =，则22C D a =，此时2(4,)C a a +，带入4
y x
=
解得：222a =-，2
222y =-
同理3
2322y =-
4
2423y =-
……
100
2100299y
=-
1
2
100
=2+2222322+2100299=2100=20y y y ++
+（-）+（-）……（-）
故选：B ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等腰直角三角形的性质以及一元二次方程的解法等知识，熟练掌握相关知识、找到规律是解题的关键． 4．如图，一次函数1
15
y x =
-与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，⊥ABC 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，其中，直角顶点C 在反比例函数(0)k y x x
=>的图象上，则k 的值是（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．9
【答案】A
【分析】作CD OB ⊥于D ，AE CD ⊥于E ，根据一次函数性质求出A、B ，证明ACE CBD ∆≅∆，
得到CD ＝OD ，即可得到结果．
【详解】
解：作CD OB ⊥于D ，AE CD ⊥于E ，
⊥一次函数1
15
y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为B 、A ，
⊥B （5，0），A （0，﹣1）， ⊥5OB =，1OA =，
⊥ABC ∆是以AB 为斜边的等腰直角三角形， ⊥BC AC =，90ACB ∠=︒， ⊥BCD ACE BCD CBD ∠+∠=∠+∠， ⊥ACE CBD ∠=∠， ⊥90BDC CEA ∠∠︒＝＝， ⊥ACE CBD ∆≅∆， ⊥AE CD =，CE BD =， ⊥CD OD =，
设C （m ，m ），则5BD m =-，514CD m m =--=-， ⊥4m m =-， ⊥2m =， ⊥C （2，2），
⊥直角顶点C 在反比例函数y ＝k
x
（x ＞0）的图象上，
⊥k ＝2×2＝4， 故选：A ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，求得C 的坐标是解题的关键．
5．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，⊥ABC =90°，A 点坐标（－2，0），B 点坐标为（1，
1），点C 在反比例函数k
y x
=上，则k 的值为（ ）
A ．2
2
B ．2-
C ．4-
D ．2-
【答案】C
【分析】作CF y ⊥轴于F ，BD y ⊥轴于D ，BE CF ⊥于E ，交x 轴于G ，通过证得
ABG BCE ∆≅∆，求得C 的坐标，即可求得k 的值．
【详解】解：作CF y ⊥轴于F ，BD y ⊥轴于D ，BE CF ⊥于E ，交x 轴于G ，
A 点坐标(2,0)-，
B 点坐标为(1,1)，
1BD OG ∴==，1BG =，2OA =，
3AG ∴=，
90ABC ∠=︒，
90ABG CBE ∴∠+∠=︒， 90ABG BAG ∠+∠=︒， CBE BAG ∴∠=∠，
在ABG ∆和BCE ∆中，
90CBE BAG BEC AGB BC AB ∠=∠⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪=⎩
， ()ABG BCE AAS ∴∆≅∆，
1CE BG ∴==，3BE AG ==， 312EG ∴=-=，112FC =+=， (2,2)C ∴-，
点C 在反比例函数k
y x
=上，
2(2)4k ∴=⨯-=-，
故选：C ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，利用了数形结合思想．求得点C 的坐标是解题的关键．
6．如图，⊥OA 1B 1，⊥A 1A 2B 2，⊥A 2A 3B 3，…是分别以B 1，B 2，B 3，…为直角顶点，斜边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其直角顶点B 1（x 1，y 1）
，B 2（x 2，y 2），B 3（x 3，y 3），…均在反比例函数y ＝4
x
（x ＞0）的图象上，则y 1+y 2+y 3+…+y 10的值为（ ）
A ．210
B ．6
C ．42
D ．27
【答案】A
【分析】根据点1B 的坐标，确定1y ，可求反比例函数关系式，由点1B 是等腰直角三角形的直角顶点，可以得到1OA 的长，然后再设未知数，表示点2C 的坐标，确定2y ，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点3
C 的坐标，确定3y ，⋯⋯然后再求和．
【详解】解：如图，过1B 、2B 、3
B ⋯分别作x 轴的垂线，垂足分别为1D 、2D 、3
D ⋯
则1
1
2
2
3
3
90OD B OD B OD B ∠=∠=∠=︒，
⊥
11OA B 是等腰直角三角形，
1
1
45A B O ∴∠=︒，
1
1
45OB D ∴∠=︒，
1
1
1
OD B D ∴=，
直角顶点1B 在反比例函数4y x
=
， 1
(2,2)B ∴，即1
2y =，
1
1
1
2OD D A ∴==，
1
1
24OA OD ∴==，
设1
2
A D a =，则2
2
C D a = 此时2
(4,)B a a +，代入4
y x
=
得：(4)4a a +=， 解得：222a =-，即：2
222y =-，
同理：3
2322y =-，
4
2423y =-，
⋯⋯
1
2
10
2222232221029210y y y ∴++⋯+=+-+-+⋯⋯-=，
故选：A ．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．
7．如图，点A 在反比例函数(
)20=>y x x
的图像上，以OA 为一边作等腰直角三角形OAB ，
其中⊥OAB =90°，AO AB =，则线段OB 长的最小值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．22
D ．4
【答案】C
【分析】如图，过A 作AM x ∥轴，交y 轴于M ，过B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，交MA 于H ，则90,OMA AHB 证明,AOM BAH ≌ 可得,,OM AH AM
BH 设2
,,A m m
则
2
22
,,,,AM
m OM
MH m BD
m m
m
m
可得 22,,B m
m m m 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案．
【详解】解：如图，过A 作AM x ∥轴，交y 轴于M ，过B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，交MA
于H ，则90,OMA AHB
90,MOA MAO
,,AO
AB
AO
AB 90,MAO
BAH
,MOA
BAH
,AOM BAH ≌
,,OM AH AM
BH
设2
,,A m m
则2
22
,,,,AM m OM
MH m BD
m m
m
m
∴ 22,,B m
m m m
2
2
2
2
22
82,OB
m
m m m
m
m 0,m > 而当0,0a b >>时，则2,a b ab +≥
2
2
2
2
882228,m m m m
⊥2
2
8
2m
m 的最小值是8， ⊥OB 的最小值是82 2.= 故选：C ．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“222a b ab +≥的变形公式”是解本题的关键．
8．如图，OAB 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B 在反比例函数
1
(0)y x x
=>的图象上，则经过点A 的反比例函数表达式为____________．
【答案】1
y x
=-
【分析】如图所示，过点A 作AC ⊥x 轴于C ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，证明△ACO ⊥△ODB 得到AC =OD ，OC =BD ，设点B 的坐标为（a ，b ），则点A 的坐标为（-b ，a ），再由点B 在反比例函数1
y x
=，推出1a b -=-，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A 作AC ⊥x 轴于C ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，则⊥ACO =⊥ODB =90°， 由题意得OA =OB ，⊥AOB =90°， ⊥⊥CAO +⊥COA =⊥AOC +⊥BOD =90°， ⊥⊥CAO =⊥DOB ， ⊥⊥ACO ⊥⊥ODB （AAS ）， ⊥AC =OD ，OC =BD ，
设点B 的坐标为（a ，b ），则AC =OD =a ，OC =BD =b ， ⊥点A 的坐标为（-b ，a ）， ⊥点B 在反比例函数1y x
=， ⊥1ab =， ⊥1ab -=-， ⊥1
a b
-=
-， ⊥经过点A 的反比例函数表达式为1y x =-，
故答案为：1y x
=-．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A 、点B 关于原点O 对称，以线段AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，点C 在第四象限，反比例函数(0)k y x x
=>的图象经过点C ，若点B 的坐标为(－1，－3)，则k 的值为___．
【答案】-3
【分析】利用等腰直角三角形，构造全等三角形，如图，ACD CBE ≌，然后得到对应边
相等，而直角边的长度可以用点的横纵坐标来表示，31k DC BE a a
=-=+，，13k AD a CE a
=-=+，，然后根据对应边相等，建立方程组，即可求解． 【详解】解：过点C 作x 轴的垂线，与过点A 作y 轴的垂线交于点D ，与过点B 作y 轴的垂线交于点E ，如图，
ABC 是等腰直角三角形ABC ，
90ACB ∴∠=︒，AC BC =，
90ACD BCE ∴∠+∠=︒，
AD DE BE DE ⊥⊥，，
9090ACD CAD ADC CEB ∴∠+∠=︒∠=∠=︒，，
CAD BCE ∴∠=∠，
在ACD △和CBE △中，
ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD CBE AAS ∴≌，
AD CE CD BE ∴==，，
设()k C a a
，， (13)B --，，点A 、点B 关于原点O 对称，
(13)A ∴，，
3113k k DC BE a AD a CE a a
∴=-=+=-=+，，，， 3131k a a k a a
⎧+=-⎪⎪∴⎨⎪-=+⎪⎩，
解得33
a k =⎧⎨=-⎩． 故答案为：-3．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、点的坐标特征以及用点的坐标来表示长度．
10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，D 是BC 的中点，过点D 的反比例函数()0k y x x
=>的图象交AB 于点E ，连接DE ．若5OD =，3cos 5
COD ∠=．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P 在x 轴上，且以P ，A ，E 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出P 点坐标．
【答案】(1)12y x
= (2)P 点坐标1319,0,,022⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【解析】（1）
⊥四边形OABC 是矩形
⊥90OCB ∠=︒，
在Rt OCD △中5OD =，
⊥3cos 5
OC COD OD ∠== ⊥3OC =，
⊥22534CD =-=，
⊥()4,3D
把()4,3D 代人k y x
=得， ⊥12k =
⊥反比例函数的解析式为12y x
=； （2）
⊥点D 是CB 中点，
⊥B （8,3）
当x =8时
1232
y x == ⊥E （8，32
） 当AEP 构成等腰三角形时，只能是P A =EA =32
P 点可位于E 点左边或右边
当P 点位于E 点左边时：
P 的横坐标x =8-32=132
当P 点位于E 点右边时：
P 的横坐标为x =8+32=192
故P 点坐标1319,0,022⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
或 【点睛】本题考查待定系数法确定反比例函数表达式、矩形性质在求坐标中的应用，等腰三
角形性质，掌握这些才能解出此题．
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x +b 的图象经过点A （0，1），与反比例函数
y ＝k x
（x ＞0）的图象交于B （m ，2）． （1）求k 和b 的值；
（2）在双曲线y ＝k x
（x ＞0）上是否存在点C ，使得△ABC 为等腰直角三角形？若存在，求出点C 坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）k ＝2，b ＝1；（2）C （2，1）．
【分析】（1）将点A 坐标代入直线y=x+b 中求出b ，进而求出点B 坐标，最后代入反比例函数解析式中，求出k ；
（2）先求出AB 的长，再分三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出点C 的坐标，判断即可得出结论．
【详解】（1）将A（0，1）代入y＝x+b中得，0+b＝1 ⊥b＝1
将B（m，2）代入y＝x+1中得，m+1＝2
⊥m＝1
⊥B（1，2）
将B（1，2）代入y＝k
x
中得，k＝1×2＝2
⊥k＝2，b＝1；
（2）⊥A（0，1），B（1，2），⊥AB＝2，
由（1）知，b＝1，
⊥直线AB的解析式为y＝x+1，分情况讨论：
△ABC是等腰直角三角形
①当⊥CAB＝90°时，AC＝AB，⊥直线AC的解析式为y＝﹣x+1，设C（c，﹣c+1），
⊥AC＝222
c c
+=，
⊥c＝±1，
⊥C为（﹣1，2）或（1，0），
将点C代入
2
y
x
=中判断出都不在双曲线上，．
②当⊥ABC＝90°时，同①的方法得，C为（2，1）或（0，3），
将点C坐标代入
2
y
x
=中得，判断出点C（2，1）在双曲线上，
③当⊥ACB＝90°时，
⊥A（0，1），B（1，2），
易知，C为（1，1）或（0，2），
将点C坐标代入
2
y
x
=中判断出都不在双曲线上，
⊥C（2，1）．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，等腰直角三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
12．如图，反比例y=4
x
的图象与一次函数y=kx﹣3的图象在第一象限内交于A（4，a）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若直线x=n（0＜n＜4）与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，连接AB，若⊥ABC是等腰直角三角形，求n的值．
【答案】（1）y=x﹣3（2）1
【分析】（1）由已知先求出a，得出点A的坐标，再把A的坐标代入一次函数y=kx-3求出k 的值即可求出一次函数的解析式；
（2）易求点B、C的坐标分别为（n，4
n
），（n，n-3）．设直线y=x-3与x轴、y轴分别交于
点D、E，易得OD=OE=3，那么⊥OED=45°．根据平行线的性质得到⊥BCA=⊥OED=45°，所以当△ABC是等腰直角三角形时只有AB=AC一种情况．过点A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形三
线合一的性质得出BF=FC，依此得出方程4
n
-1=1-（n-3），解方程即可．
【详解】解：（1）⊥反比例y=4
x
的图象过点A（4，a），
⊥a=4
4
=1，
⊥A（4，1），
把A（4，1）代入一次函数y=kx﹣3，得4k﹣3=1，⊥k=1，
⊥一次函数的解析式为y=x﹣3；
（2）由题意可知，点B、C的坐标分别为（n，4
n
），（n，n﹣3）．
设直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，如图，
当x=0时，y=﹣3；当y=0时，x=3，
⊥OD=OE ，
⊥⊥OED=45°．
⊥直线x=n 平行于y 轴，
⊥⊥BCA=⊥OED=45°，
⊥⊥ABC 是等腰直角三角形，且0＜n ＜4，
⊥只有AB=AC 一种情况，
过点A 作AF⊥BC 于F ，则BF=FC ，F （n ，1），
⊥4n
﹣1=1﹣（n ﹣3）， 解得n 1=1，n 2=4，
⊥0＜n ＜4，
⊥n 2=4舍去，
⊥n 的值是1．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，难度适中．
13．如图，已知反比例函数y ＝1k x
的图象与一次函数y ＝k 2x ＋b 的图象交于A ，B 两点，A 点横坐标为1，B(－12
，－2)．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)在x 轴上是否存在点P ，使⊥AOP 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）反比例函数解析式为y=1x
；一次函数解析式为
y=2x-1
．（2）（2，0），（-2，0），（2，0），（1，0）．
【详解】试题分析：（1）先把B 点坐标代入12k y x
可求得k 1=2，则可得到反比例函数解析式为y=1x ；再把A （1，n ）代入y=1x
求得n=1，得到A 点坐标为（1，1），然后利用待定系数法确定一次函数解析式．
（2）以O 为圆心，OA 为半径，交x 轴于两点，这两点均符合点P 的要求．以A 为圆心，
AO为半径，交x轴于一点，作AO的垂直平分线，交x轴于一点，因此共有4个符合要求的点．
试题解析：（1）把B（-1
2，-2）代入1
2
k
y
x
=得k
1
=2×（-1
2
）×（-2）=2，
所以反比例函数解析式为y=
21
2x x
=；
把A（1，n）代入y=1
x
得n=1，
所以A点坐标为（1，1），
把A（1，1）、B（-1
2，-2）代入y=k
2
x+b
得
2
2
1
{1
2
2
k b
k b
+=
-+=-
，解得2
2
{
1
k
b
=
=-
，
所以一次函数解析式为y=2x-1．
（2）存在符合条件的点P．
若OA=OP，则P（2，0）或（-2，0），
若AP=OA，则P（2，0），
若OP=AP，则（1，0），
可求出点P的坐标为（2，0），（-2，0），（2，0），（1，0）．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
14．如图，过点()
1,3
A作//
AB x轴、交反比例的数
k
y
x
=()0
x>的图象于点B，连接OA，以A为顶点，OA为直角边作等腰直角三角形OAC．点C恰好落在反比例函数图象上．
（1）求反比例函数()0
k
y x
x
=>的解析式；
（2）连接BC，求ABC
∆的面积．
【答案】（1）反比例函数的解析式为
8
y=
x
；（2）
ΔABC
5
S=
6
．
【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥AD于点E，求证AOD⊥CAE，可
得CE=AD ，故C 点的坐标为(4,2)
，且C 点在反比例函数上，所以反比例函数的k 值可求得；
（2）过点C 作CF ⊥AB 交AB 延长线于点F ，因为AB //x 轴，A 点坐标已知，所以B 点的纵坐标与A 点纵坐标相同，且B 在反比例函数上，则B 点坐标可求得，线段AB 的长度可通过A 、B 两点横坐标之差求得，且由（1）可知C 的纵坐标，CF 的长度也可求得，ABC 的面积
即为1AB CF 2
⨯⨯． 【详解】解：（1）如图所示，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，
⊥A 点坐标为(1,3)，
⊥OD=1，CD=3，
又⊥AOC 为等腰直角三角形，
⊥AO=AC ，⊥OAC=90°，
⊥⊥OAD+⊥EAC=⊥EAC+⊥ACE=90°
⊥⊥OAD=⊥ACE ，
在AOD 和CAE 中，
OAD=ACE ADO=CEA=90AO=CA ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩
⊥AOD⊥CAE （AAS ），
⊥AE=OD=1，CE=AD=3，
⊥C 点坐标为(4,2)，
⊥k=4⨯2=8，
⊥反比例函数的解析式为：8y=x
． （2）⊥A 点坐标为(1,3)，AB //x 轴
⊥B 点纵坐标为3，
又⊥点B 在反比例函数8y=x
的图像上，
⊥B 点横坐标为83， ⊥85AB 133
=-=， 过点C 作CF ⊥AB 交AB 延长线于点F ，F 点的纵坐标为3，
⊥C 点坐标为(4,2)，
⊥CF=3-2=1，
⊥ΔABC 1155S AB CF 12236
=⨯⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题考察了全等三角形的证明、反比例函数比例系数的求解，根据图形对应求出各点坐标是解题的关键，并根据反比例函数的性质，推得其余未知点的坐标．
15．如图，AOB 为等腰直角三角形，斜边OB 在x 轴上，一次函数34y x =-的图像经过点
A ，交y 轴于点C ，反比例函数k y x
=（0x >）的图像也经过点A ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过O 点作OD AC ⊥于D 点，求22CD AD -的值；
（3）若点P 是x 轴上的动点，点Q 在反比例函数的图像上使得PAQ △为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．
【答案】（1）4y x
=；（2）8；（3）1(4,1)
Q ，2(51,51)Q +-，3(222,222)Q +-． 【分析】（1）根据题意AOB 为等腰直角三角形，过点A 分别作AM y ⊥轴于M ，AN x ⊥轴于N ，则设(,)A a a ，根据一次函数34y x =-的图像经过点A ,求得a 的值，进而求得A 的坐标,即可求得反比例函数解析式；
（2）根据在Rt COD 中，222CD OC OD =-①，在Rt AOD △中，222AD OA OD =-②，①－②即可求得；
（3）分三种情况讨论①若90PAQ ∠=︒，AP AQ =，如图，连接BQ ，证明AOP ABQ △≌△，
进而求得QB OB ⊥，从而求得B 的坐标，即可求得Q 点的坐标；
②若90,AQP AQ PQ ∠=︒=，如图，过点A 作AC x ⊥轴于C ，过Q 分别作,QD AC QE x ⊥⊥轴，垂足分别为,D E ，证明
Rt ADQ ≌Rt PEQ ，设4(,)Q m m ，由OC CE OE +=，可得42m m
+=，解方程即可求得Q 点坐标；③若90,APQ PA PQ ∠=︒=，如图，过点A 作AC x ⊥轴于C ，过Q 作QD x ⊥轴于D ，证明Rt ACP ≌Rt PDQ ，设4
(,)Q n n ，则4,,2OD n CP DQ PD AC n
=====，由OC CP PD OD ++=，可得422n n
++=，解方程即可求得Q 点坐标；综合①②③即可求得所有Q 的坐标．
【详解】（1）过点A 分别作AM y ⊥轴于M ，AN x ⊥轴于N ，如图，
∴四边形AMON 是矩形，
△AOB 是等腰直角三角形，
45AON NOA ∴∠=∠=︒
ON NA ∴=，
∴四边形AMON 是正方形，
AM AN ∴=，
∴设(,)A a a ，
点
A 在直线34y x =-上，
34a a ∴=-，
解得2a =，
(2,2)A ∴，
反比例函数k y
x
=（0x >）的图像经过点A ， 22
k ∴=， 4k ∴=，
∴反比例函数的解析式为4y x
=； （2）(2,2)A
222228AO ∴=+=,
把0x =代入34y x =-，解得4y =-，
(0,4)C ∴-，
4OC ∴=，
在Rt COD 中，222CD OC OD =-①，
在Rt AOD △中，222AD OA OD =-②，
①-②,得22221688CD AD OC OA -=-=-=，
（3）①若90PAQ ∠=︒，AP AQ =，如图，连接BQ ，
在AOP 与ABQ △中，
,90,AO AB OAP BAQ PAB AP AQ =∠=∠=︒-∠=，
AOP ABQ ∴△≌△，
45ABQ AOP ∴∠=∠=︒，
又45ABO ∠=︒，
90OBQ ∴∠=︒，
即QB OB ⊥，
(2,2)A ，
(4,0)B ∴，
把4x =代入4y x
=，得1y =， 1
(4,1)Q ∴， ②若90,AQP AQ PQ ∠=︒=，如图，过点A 作AC x ⊥轴于C ，过Q 分别作,QD AC QE x ⊥⊥轴，垂足分别为,D E ，
在Rt ADQ 与Rt PEQ ，
,90AQ PQ AQD PQE DQP =∠=∠=︒-∠，
∴Rt ADQ ≌Rt PEQ ，
,AD PE DQ EQ ∴==，
设4(,)Q m m ，则4,OE m CE DQ EQ m
====， 由OC CE OE +=，
可得42m m
+=， 解得15m =±，
经检验，m 是原方程的解，
0m >，
15m ∴=+，
2
(51,51)Q ∴+-， ③若90,APQ PA PQ ∠=︒=，如图，过点A 作AC x ⊥轴于C ，过Q 作QD x ⊥轴于D ，
在Rt ACP 与Rt PDQ 中，
,90PA PQ APC PQD DPQ =∠=∠=︒-∠，
∴Rt ACP ≌Rt PDQ ，
,AC PD CP DQ ∴==，
设4(,)Q n n
，则4,,2OD n CP DQ PD AC n =====，
由OC CP PD OD ++=，
可得422n n
++=， 解得222n =±，
经检验，m 是原方程的解，
0n >，
222n ∴=+，
3
(222,222)Q ∴+-， 综上所述，存在Q 点符合题意，其坐标为1(4,1)Q ，2(51,51)Q +-，3
(222,222)Q +-． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，解可化为一元二次方程的分式方程，掌握以上知识是解题的关键． 16．如图，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数12y x
=-
的图象交于(2,)A m -、(6,)B n 两点，与x 轴交于D 点，且C 、D 两点关于y 轴对称．
（1）求一次函数的解析式以及点C 的坐标．
（2）在x 轴上是否存在点P ，使得2PD PA +的值最小？若存在，求出点P 的坐标，并求出最小值；若不存在，请说明理由．
（3）将ADC ∠沿x 轴左右平移，顶点D 的对应点为D '．在平移过程中，将该角绕点D '旋转，使它的一边始终经过点A ，另一边与直线AC 交于点C '，若AD C ''∆为等腰直角三角形，求此时点C '的坐标．
【答案】（1）y ＝−x ＋4，C （−4，0）；（2）PD+2PA 的最小值为663，P 点坐标为（232-，
0）；（3）点C′坐标为（72-，32
）或（−8，−12）或（4，24）或（−5，−3）． 【分析】（1）根据反比例函数解析式可求出点A ，B 的坐标，然后利用待定系数法可求出一次函数的解析式，令y=0可得D 点坐标，然后根据轴对称的性质可得点C 的坐标； （2）作直线DE 与x 轴夹角为30°，过点P 作PN⊥DE ，连接AP ，则PN=12
PD ，将求PD+2PA 的最小值转化为求12
PD+PA 的最小值，即PN+PA 的最小值，进而得到所求的是A 、P 、N 三点共线时PN+PA 的值，过点A 作AM⊥x 轴于点M ，根据点A 和点D 坐标，分别在Rt △AMP 和Rt △DPN 中，解直角三角形求出MP 、DP 、PA 以及PN 即可；
（3）当边AD经过点A时有两种情形：
①如图，将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接AF交x轴于点D′，则F（2，−2）．由⊥AD′C′＝45°，可知当D′C′⊥AC时，△AC′D′是等腰直角三角形；
②如图，当D′A⊥AC时，△AD′C′是等腰直角三角形，分别求解即可；
当边AC经过点A时，有两种情形：
③当△AD′C′是等腰直角三角形时，作AF⊥x轴于F，C′⊥AF交FA的延长线于E；
④当AC′＝C′D′，△AD′C′是等腰直角三角形时，作C′F⊥x轴于F，C′E⊥x轴，AE⊥A′E，则△C′FD′⊥⊥C′EA，分别求解即可.
【详解】解：（1）⊥A（−2，m）、B（6，n）两点在
12
y
x
=-的图象上，
⊥m＝6，n＝−2，
⊥A（−2，6），B（6，−2），
把A（−2，6），B（6，−2）代入y＝kx＋b，
则有
26 62
k b
k b
-+=
⎧
⎨
+=-
⎩
，
解得：
1
4
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
⊥一次函数的解析式为y＝−x＋4，
令y＝0，得到x＝4，
⊥D（4，0），
⊥C，D关于y轴对称，
⊥C（−4，0）；
（2）作直线DE与x轴夹角为30°，过点P作PN⊥DE，连接AP，则PN=1
2
PD，而求PD+2PA
的最小值可转化为求1
2
PD+PA的最小值，即PN+PA的最小值，
⊥当A、P、N三点共线时PN+PA取最小值，
过点A作AM⊥x轴于点M，
⊥A（−2，6），D（4，0），
⊥AM=6，AD=6，
⊥⊥PDN=30°，
⊥⊥MAP=30°，
⊥MP=323
3
AM，
⊥DP=6-23，PA=43，
⊥PN=1
33
2
DP ，
⊥PN+PA=3343333，即1
2
PD+PA的最小值为333
+，
⊥PD+2PA的最小值为663，P点坐标为（232
-，0）；
；
（3）当边AD经过点A时有两种情形：
①如图，将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接AF交x轴于点D′，则F（2，−2）．
⊥⊥AD′C′＝45°，
⊥当D′C′⊥AC时，⊥AC′D′是等腰直角三角形，
⊥A（−2，6），C（−4，0），
⊥直线AC的解析式为y＝3x＋12，直线AF的解析式为y＝−2x＋2，
⊥D′（1，0），
⊥直线D′C′的解析式为y＝−
1
3
x＋
1
3
，
由
312
11
33
y x
y x
=+
⎧
⎪
⎨
=-+
⎪⎩
，解得
7
2
3
2
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
⊥C′（
7
2
-，
3
2
）；
②如图，当D′A⊥AC时，⊥AD′C′是等腰三角形．
⊥直线AC的解析式为y＝3x＋12，
⊥直线AD′的解析式为y＝−1
3x+
16
3
，
⊥D′（16，0），
设C′（m，3m＋12），
⊥AC′＝AD′，
⊥（m＋2）2＋（3m＋12−6）2＝（16＋2）2＋62，
解得m＝−8或−4（舍弃），
⊥C′（−8，−12），
当边AC经过点A时，有两种情形：
③当⊥AD′C′是等腰直角三角形时，作AF⊥x轴于F，C′E⊥AF交FA的延长线于E．
⊥D′（16，0），
⊥OD′＝18，OA＝6，
⊥⊥AFD′⊥C′EA，
⊥EC′＝6，AE＝FD′＝18，
⊥C′（4，24）；
④当AC′＝C′D′时，作C′F⊥x轴于F，C′E⊥x轴，AE⊥A′E，则⊥C′FD′⊥⊥C′EA．
设C′（m ，3m ＋12），
⊥C′F ＝C′E ，
⊥−3m−12＝−2−m ，
⊥m ＝−5，
⊥C′（−5，−3），
综上所述，满足条件的点C′坐标为（72 ，32
）或（−8，−12）或（4，24）或（−5，−3）． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了待定系数法、锐角三角函数、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
17．如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形ABO 的底边OA 在x 轴上，顶点B 在反比例
函数y= 12x
（x ＞0）的图象上．当底边OA 上的点A 在x 的正半轴上自左向右移动时，顶点B 也随之在反比例函数y= 12x
（x ＞0）的图象上滑动，但点O 始终位于原点．
① ②
（1）如图①，若点A 的坐标为（6，0）时，求点B 的坐标；
（2）当点A 移动到什么位置时，三角形ABO 变成等腰直角三角形，请说明理由；
（3）在（2）中，如图②，△PA 1A 是等腰直角三角形，点P 在反比例函数y= 12x
（x ＞0）的图象上，斜边A 1A 都在x 轴上，求点A 1的坐标
【答案】（1）（3，4）（2）点A 移动到（43，0）时，△ABO 变成等腰直角三角形（3）（46，
0）
【详解】试题分析：（1）过点B作BC⊥x轴于点C，由等腰三角形的三线合一，可得OC=AC=3，
然后由顶点B在反比例函数y= 12
x
（x＞0）的图象上，即可求得点B的坐标；（2）点A移
动到（43，0）时，△ABO变成等腰直角三角形，过点B作BC⊥x轴于点C，由等腰直角三
角形的性质，可得OC=BC，设点B（a，a），然后由顶点B在反比例函数y= 12
x
（x＞0）的
图象上，求得点B的坐标，继而求得点A的坐标；（3）首先过点P作PD⊥x轴于点D，易得
AD=PD，则可设AD=b，则点P（43+b，b），又由点P在反比例函数y= 12
x
（x＞0）的图
象上，求得b的值，继而求得答案．试题解析：
（1）过点B作BC⊥OA于C，则OC=1
2
OA=3．
⊥B的横坐标是3，把x=3代入y=12 x
得：y=4．
则B的坐标是（3，4）．
（2）点A移动到（43，0）时，△ABO变成等腰直角三角形．理由：如图②，过点B作BC⊥x轴于点C，
⊥⊥AOB是等腰直角三角形，
⊥BC=OC=1
2 OA,
设点B（a，a），
⊥顶点B在反比例函数y=12
x
（x＞0）的图象上，
⊥a=12
a
，
解得：a=±23（负值舍去），
⊥OC=23，
⊥OA=2OC=43，
⊥点A移动到（43，0）时，△ABO变成等腰直角三角形；（3）如图②，过点P作PD⊥x轴于点D，
⊥⊥PA
1
A是等腰直角三角形，
⊥PD=AD，
设AD=b，则点P
()
43,b b
+
⊥点P在反比例函数
12
y
x
=
（x＞0）的图象上，
()
4312
b b
+=
解得：
12
2623,2623
b b
=-=--(负的舍去)
⊥
1
24643
AA b
==-
⊥OA
1
=OA+AA
1
= 46
⊥点A
1
的坐标是（46，0）
点睛：本题属于反比例函数综合题，考查了点与图象的关系、等腰三角形的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
18．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A
顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．
(1)求点A和点C的坐标；
(2)如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的
值；
(3)在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F 四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A（1，0），C（3，-4）
(2)t=2s
(3)存在，点Q的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（6，1）或（6
，1）或Q（7
3
，5）．
【分析】（1）过点C作CH⊥y轴于点H，利用AAS证明△AOB⊥⊥BHC，得BH=AO=1，CH=BO，设OB=a，则OH=a+1，从而得出点C的坐标，代入直线解析式即可；
（2）根据平移的性质表示出D、F的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标的特征得出方程即可；
（3）由（2）知E（0，3），F（3，2），设P（b，0），根据对角线进行分类，利用两点之间的距离公式列出方程，解方程可得答案．
（1）
解：⊥y=-2x+2与x轴交于点A，
⊥0=-2x+2，得x=1，
⊥点A（1，0）；
过点C作CH⊥y轴于点H，
⊥⊥CHB=⊥BOA=90°，
⊥将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，
⊥⊥BAC=45°，
又⊥BC⊥AB，
⊥⊥BAC=⊥ACB=45°，
⊥AB=BC，
⊥⊥OBA+⊥OAB=90°，⊥OBA+⊥CBH=90°，
⊥⊥OAB=⊥CBH
，
在△AOB和△BHC中
AOB BHC
OAB HBC
AB BC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
⊥⊥AOB⊥⊥BHC（AAS），
⊥BH=AO=1，CH=BO，
设OB=a，则OH=a+1，
⊥点C（a，-a-1），
⊥点C在直线l上，
⊥-a-1=-2a+2，
⊥a=3，
⊥C（3，-4）；
（2）
解：将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，
A（1，0），B（0，-3），C（3，-4），
⊥点D（1，3t），点E（0，-3+3t），点F（3，-4+3t），
⊥点A、C两点的对应点D、F正好落在某反比例函数的图象上，⊥1×3t=3×（-4+3t），
⊥t=2；
（3）
解：由（2）知E（0，3），F（3，2），
设P（b，0），
则222
(30)(23)10
EF=-+-=，222
(3)2
PF b
=-+，2223
PE b
=+，当EF为对角线时，则PE=PF，即22
PE PF
=，
⊥2222
(3)23
b b
-+=+，
解得：b=2
3
，
⊥P（2
3
，0），
点P（2
3
，0）向左平移
2
3
个单位、向上平移3个单位到E（0，3），
⊥点F（3，2）向左平移2
3
个单位、向上平移3个单位到Q（3-
2
3
，2+3），
⊥Q（7
3
，5）；
当EP为对角线时，则EF=PF，即22
EF PF
=，⊥2210
(3)2
b
-+=，
解得：b=6+3或6
-+3，
⊥P（6+3，0）或（6
-+3，0），
当P（6+3，0）时，同理得Q（6，1）；
当P（6
-+3，0）时，同理得Q（6
-，1）；
当EQ为对角线时，则EF=PF，即22
EF PE
=，⊥2210
3
b+=，
解得：b=1或-1，
⊥P（1，0）或（-1，0），
当P（1，0）时，同理得Q（4，-1）；
当P（-1，0）时，同理得Q（2，-1）；
综上所述：点Q的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（6，1）或（6
，1）或Q（7
3
，5）．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，菱形的性质等知识，运用方程思想是解题的关键．。