3.4基本不等式第2课时精品教案

3.4
基本不等式
2
a b
+≤
【课题】3.4.2
2
a b
+≤
的应用 【教学目标】：
知识与技能: 使学生掌握“和定积最大”、“积定和最小”两个定理（命题）在解决数学最值问题方面的应用
过程与方法: 通过例题和练习，让学生掌握这两个定理（命题）成立的前提条件：“一正二定三相等”
情态与价值：使学生准确掌握这两个定理（命题）及其成立的前提条件，并会运用它们解决一些与最值有关的数学问题与实际问题 【教学重点】：“和定积最大”、“积定和最小”两个定理（命题）在解决数学最值问题方面的应用；
【教学难点】：两个定理（命题）成立的前提条件：“一正二定三相等” 【教学方法】：探究启发式分层次教学
【教学突破点】：从例题出发，强调两个定理（命题）成立的前提条件：“一正二定三相等”的重要性及应用过程中的注意事项。

【教学过程设计】：
练习：
1.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y 万元与营运年数x （x ∈N ）的关系为y =－x 2+12x －25，则每辆客车营运______________年可使其营运年平均利润最大.
A.2
B.4
C.5
D.6
解析：设年平均利润为g （x ），则g （x ）=x x x 25122-+-=12－（x +x 25）.∵x +x
25≥
2x x 25⋅
=10，∴当x =x
25
，即x =5时，g （x ）max =2. 答案：C
2.建筑一个容积为8000 m 3、深6 m 的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a 元／米2，池底造价为2a 元／米2，把总造价y 元表示为底的一边长x m 的函数，其解析式为___________，定义域为___________.底边长为___________ m 时总造价最低是___________元.
解析：设池底一边长x （m ），则其邻边长为x 68000（m ），池壁面积为2·6·x ＋2·6·x
68000
＝12（x ＋x 68000）（m 2），池底面积为x ·x 68000＝6
8000
（m 2），根据题意可知蓄水池的总造
价y （元）与池底一边长x （m ）之间的函数关系式为y ＝12a （x ＋x 68000）＋3
8000
a .
定义域为（0，＋∞）.
x ＋
x 68000≥2x x 68000⋅＝
3
40
30（当且仅当x =
x 68000即x =3
20
30时取“=”）.
∴当底边长为
3
20
30 m 时造价最低，最低造价为（16030a ＋
3
8000
a ）元. 答案：y =12a （x +x 68000）+38000a （0，+∞） 3
20
30 16030a +3
8000
a
3一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
解析：法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜
2
1
，其面积S ＝x （Ｌ－2x ）＝21·2x （Ｌ－2x ）≤2
18)222(2
2L x L x =-+
当且仅当2x ＝Ｌ－2x ，即x ＝
4L 时菜园面积最大，即菜园长2L m ，宽为4
L
m 时菜园面积最大为8
2L m 2
法二：设矩形的长为x m ，则宽为
2
x
L -m ，面积 S ＝2)(2)(2
x L x x L x -⋅=-≤8
2)2(22L x L x =-+（m 2）当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L （m ）时，矩形的面积最大也就是菜园的长为2
L
m ，宽为
4
L
m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 2
答案：菜园的长为2L
m ，宽为4
L m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 2
4.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m 2，问x 、y 分别为多少时用料最省？（精确到0.001 m ）
x
y
解析：由题意得x ·y +
21·x ·2
x
=8， ∴y =
x
x 482
-
=x 8－4x （0＜x ＜42）. 于是，框架用料长度为
L =2x +2y +2（
22x ）=（23
+2）x +x
16≥2)223(16+=4246+.
当且仅当（
23
+2）x =x
16，即x =22
3
4+=8－42时，等号成立.
此时，x ≈2.343，y =22≈2.828.
故当x 为2.343 m ，y 为2.828 m 时，用料最省. 答案：当x 为2.343 m ，y 为2.828 m 时，用料最省.
5.（2005年春季北京，19）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流
量y （千辆/时）与汽车的平均速度v （km/h ）之间的函数关系为y =1600
39202++v v v
（v ＞0）.
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
解析：（1）依题意，y =
)1600(3920v
v ++≤160023920+=83920， 当且仅当v =v
1600，即v =40时，上式等号成立，所以y max =83920
≈11.1（千辆/时）.
（2）由条件得1600
39202++v v v
＞10，
整理得v 2－89v +1600＜0， 即（v －25）（v －64）＜0.解得25＜v ＜64.
∴当v =40 km/h 时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25 km/h 且小于64 km/h. 6如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a 、b 的乘积ab 成反比现有制箱材料60平方米，问a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A 、B 孔面积忽略不计)
解析：法一：设y 为流出的水中杂质的质量份数，根据题意可知：y ＝ab
k
，其中k ＞0且k 是比例系数依题意要使y 最小，只需求ab 的最大值 由题设得：4b ＋2ab ＋2a ＝６0 （a ＞0，b ＞0） 即a ＋2b ＋ab ＝30 （a ＞0，b ＞0)
∵a ＋2b ≥2ab 2 ∴2ab ⋅2＋ab ≤30 当且仅当a ＝2b 时取“＝”号，ab 有最大值∴当a ＝2b 时有2ab ⋅2＋ab ＝30,即b 2
＋2b －1５＝0
解之得：b 1＝3，b 2＝－５（舍去)∴a ＝2b ＝６
故当a ＝６米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少法二：设y 为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b ＋2ab ＋2a ＝６0（a ＞0，
b
＞0）
∴a ＋2b ＋ab ＝30 （a ＞0，b ＞0）,∴b ＝a
a
+-230 （0＜a ＜30） 由题设：y ＝
ab
k
，其中k ＞0且k 是比例系数，依题只需ab 取最大值 ∴y ＝
264322302
+-+-=+-=a a k
a a a k a
b k ＝⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++-264)2(34a a k ≥
18
2
64)2(234k a a k
=+⨯
+- ∴当且仅当a ＋2＝
2
64
+a 时取“＝”号，即a ＝６，b ＝3时ab 有最大值18 故当a ＝６米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少 答案：当a ＝６米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少。