2020-2021初中数学四边形难题汇编及解析

2020-2021初中数学四边形难题汇编及解析
一、选择题
1．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正
多边形的边数为x ，y ，z ，则111x y z ++的值为（ ） A ．1
B ．23
C ．12
D ．13
【答案】C
【解析】
分析：根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案．
详解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x 、y 、z ，那么这三个多边形的内角和可表示为：2180x x -⨯（）+2180y y -⨯（）+2180z z （）-⨯=360，两边都除以180得：1﹣2x
+1﹣2y +1﹣2z =2，两边都除以2得：1x +1y +1z =12
． 故选C ．
点睛：解决本题的关键是知道这3种多边形的3个内角之和为360度，据此进行整理分析得解．
2．如图，若OABC Y 的顶点O ，A ，C 的坐标分别为(0,0)，(4,0)，(1,3)，则顶点B 的坐标为（ ）
A ．(4,1)
B ．(5,3)
C ．(4,3)
D ．(5,4)
【答案】B
【解析】
【分析】 根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B 的坐标.
【详解】
解：∵四边形OABC 是平行四边形，
∴OC ∥AB ，OA ∥BC ，
∴点B 的纵坐标为3，
∵点O 向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点C ，
∴点A 向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点B ，
∴点B 的坐标为：（5，3）；
故选：B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题.
3．如图，11,,33
AB EF ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠∥，已知60FCD ∠=︒，则P ∠的度数为（ ）
A ．60︒
B ．80︒
C ．90︒
D ．100︒
【答案】B
【解析】
【分析】 延长BC 、EF 交于点G ，根据平行线的性质得180ABG BGE +=︒∠∠，再根据三角形外角的性质和平角的性质得
60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠，最后根据四边形内角和定理求解即可．
【详解】
延长BC 、EF 交于点G
∵//AB EF
∴180ABG BGE +=︒∠∠
∵60FCD ∠=︒
∴60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠ ∵11,33
ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠ ∴360P PBC BCF PFC =︒---∠∠∠∠
2236012033
ABG EFC =︒---︒∠∠ ()223606012033
ABG BGE =︒--︒+-︒∠∠ 223604012033
ABG BGE =︒--︒--︒∠∠ ()22003
ABG BGE =︒-+∠∠
22001803
=︒-⨯︒ 80=︒
故答案为：B ．
【点睛】
本题考查了平行线的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质、平角的性质、四边形内角和定理是解题的关键．
4．如图 ，矩形 ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥AN 于点 N .则 DM +CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )
A ．a
B ．45 a
C 2
D 3 【答案】C
【解析】
【分析】 根据“AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=DM CN DE CE
= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD ，AB=CD=a ，DM+CN 的值即可求出．
【详解】
∵AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ，
∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，
∴00cos 4545D CN
M cos +=CD ，
在矩形ABCD 中，AB=CD=a ，
∴DM+CN=acos45°=
22
a. 故选C.
【点睛】
此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°
=DM CN DE CE
=
5．如图，已知矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在BC边上，连接DE、AE，若EA平分∠BED，则ABE
CDE
S
S
V
V
的值为（）
A．
23
-
B．
233
-
C．
233
-
D．
23
-
【答案】C
【解析】
【分析】
过点A作AF⊥DE于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB，利用全等三角形的判定和性质以及矩形的性质解答即可．
【详解】
解：如图，过点A作AF⊥DE于F，
在矩形ABCD中，AB＝CD，
∵AE平分∠BED，
∴AF＝AB，
∵BC＝2AB，
∴BC＝2AF，
∴∠ADF＝30°，
在△AFD与△DCE中
∵∠C=∠AFD=90°,
∠ADF=∠DEC,
AF=DC,，
∴△AFD≌△DCE（AAS），
∴△CDE 的面积＝△AFD 的面积＝2113AF DF AF 3AF AB 222⨯
=⨯= ∵矩形ABCD 的面积＝AB •BC ＝2AB 2，
∴2△ABE 的面积＝矩形ABCD 的面积﹣2△CDE 的面积＝（2﹣3）AB 2，
∴△ABE 的面积＝
()2232AB -,
∴23
23323
ABE CDE S S --==V V ， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB ．
6．如图，菱形ABCD 中，点P 是CD 的中点，∠BCD=60°，射线AP 交BC 的延长线于点E ，射线BP 交DE 于点K ，点O 是线段BK 的中点，作BM ⊥AE 于点M ，作KN ⊥AE 于点N ，连结MO 、NO ，以下四个结论：①△OMN 是等腰三角形；②tan ∠OMN=
33
；③BP=4PK ；④PM•PA=3PD 2，其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】 根据菱形的性质得到AD ∥BC ，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP ≌△ECP ，由相似三角形的性质得到AD=CE ，作PI ∥CE 交DE 于I ，根据点P 是CD 的中点证明CE=2PI ，BE=4PI ，根据相似三角形的性质得到1=4
KP PI KB BE =，得到BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ，根据平行线等分线段定理得到MG=NG ，又OG ⊥MN ，证明△MON 是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠3②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD 2，故④正确．
【详解】
解：作PI ∥CE 交DE 于I ，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD ∥BC ，
∴∠DAP=∠CEP ，∠ADP=∠ECP ，
在△ADP 和△ECP 中，
DAP CEP ADP ECP DP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADP ≌△ECP ，
∴AD=CE ， 则
PI PD CE DC =，又点P 是CD 的中点， ∴1=2
PI CE ， ∵AD=CE ， ∴
1=4
KP PI KB BE =， ∴BP=3PK ，
故③错误；
作OG ⊥AE 于G ， ∵BM 丄AE 于M ，KN 丄AE 于N ，
∴BM ∥OG ∥KN ，
∵点O 是线段BK 的中点，
∴MG=NG ，又OG ⊥MN ，
∴OM=ON ，
即△MON 是等腰三角形，故①正确；
由题意得，△BPC ，△AMB ，△ABP 为直角三角形，
设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，
则
根据三角形面积公式，
BM=
7， ∵点O 是线段BK 的中点，
∴PB=3PO ，
∴OG=
13
BM=21， MG=23MP=27，
tan ∠OMN=3=3
OG MG ，故②正确； ∵∠ABP=90°，BM ⊥AP ，
∴PB 2=PM•PA ，
∵∠BCD=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠PBC=30°，
∴∠BPC=90°，
∴PB=3PC ，
∵PD=PC ，
∴PB 2=3PD ，
∴PM•PA=3PD 2，故④正确．
故选B ．
【点睛】
本题考查相似形综合题．
7．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 （ ）
A ．183π-
B ．183π
C ．32316π
D ．1839π-
【答案】C
【解析】
【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，
∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，
∵DF 是菱形的高，
∴DF ⊥AB ，
∴DF=AD•sin60°=
3
843
2
⨯=，
∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积
=
2
120(43)
84332316
360
π
π
⨯
⨯-=-．
故选：C.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．
【详解】
解：如图
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，
∴22
34
+，
作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，
∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，
∴E′在AD上，且E′是AD的中点，
∵AD=AB，
∴AE=AE ′，
∵F 是BC 的中点，
∴E ′F=AB=5．
故选C ．
9．如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF=3，那么菱形ABCD 的周长为（ ）
A ．24
B ．18
C ．12
D ．9
【答案】A
【解析】 【分析】易得BC 长为EF 长的2倍，那么菱形ABCD 的周长=4BC 问题得解．
【详解】∵E 是AC 中点，
∵EF ∥BC ，交AB 于点F ，
∴EF 是△ABC 的中位线，
∴BC=2EF=2×3=6，
∴菱形ABCD 的周长是4×6=24，
故选A ．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.
10．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E ⊥是BC 中点，AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则AE 的长度为（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．8cm
【答案】B
【解析】
【分析】 根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB V 的周长
多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ， ∴126132
AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，
∵AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，
∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，
∴5AB =，8AD =，
∴8BC AD ==，
∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点，
∴118422
AE BC =
=⨯=； 故选：B ．
【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．
11．如图，ABC V 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）
A ．2
B ．2.5
C ．3
D 5【答案】B
【解析】
【分析】 根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．
【详解】
解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，
∴AE ⊥BC ，
又∵点D 为AB 的中点， ∴1 2.52
DE AB =
=， 故选：B ．
【点睛】 本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．
12．如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．若四边形AECF 的面积为20，DE=2，则AE 的长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．26【答案】D
【解析】
【分析】 利用旋转的性质得出四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积，进而可求
出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【详解】
ADE ∆Q 绕点A 顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．
∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于20，
25AD DC ∴==
2DE =Q ，
Rt ADE ∴∆中，2226AE AD DE =+=故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应 边关系是解题关键．
13．如图，张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案不能铺满地面的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算各正多边形每个内角的度数，看是否能整除360°，即可判断．
【详解】
解：A ．正六边形每个内角为120°，能够整除360°，不合题意；
B ．正三角形每个内角为60°，能够整除360°，不合题意；
C ．正方形每个内角为90°，能够整除360°，不合题意；
D ．正五边形每个内角为108°，不能整除360°，符合题意．
故选：D ．
【点睛】
能够铺满地面的图形是看拼在同一顶点的几个角是否构成周角．
14．如图，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.则下列说法：①若AC BD =，则四边形EFGH 为矩形；②若AC BD ⊥，则四边形EFGH 为菱形；③若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分；④若四边形EFGH 是正方形，则AC 与BD 互相垂直且相等.其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】
【分析】 因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形.
【详解】
因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形，
故④选项正确，
故选A．
【点睛】
本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．
15．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝
60°，AB＝1
2
BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△AOE；
④OE＝1
4
BC,成立的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明
△ABE是等边三角形，然后推出AE=BE=1
2
BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三
线合一进行推理即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵AB=1
2 BC，
∴AE=BE=1
2 BC，
∴AE=CE，故①正确；
∴∠EAC=∠ACE=30°∴∠BAC=90°，
∴S△ABC=1
2
AB•AC，故②错误；
∵BE=EC，
∴E为BC中点，O为AC中点，∴S△ABE=S△ACE=2 S△AOE，故③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=CO，
∵AE=CE，
∴EO⊥AC，
∵∠ACE=30°，
∴EO=1
2 EC，
∵EC=1
2 AB，
∴OE=1
4
BC，故④正确；
故正确的个数为3个，
故选：C．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是解题关键．
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD 于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】D
【解析】
【分析】
先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF是菱形，得出AE
⊥BF，OA=OE，OB=OF=1
2
BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长．
【详解】如图所示：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠DAE=∠AEB ，
∵∠BAD 的平分线交BC 于点E ，
∴∠DAE=∠BAE ，
∴∠BAE=∠BEA ，
∴AB=BE ，同理可得AB=AF ，
∴AF=BE ，
∴四边形ABEF 是平行四边形，
∵AB=AF ，
∴四边形ABEF 是菱形，
∴AE ⊥BF ，OA=OE ，OB=OF=
12BF=6， ∴2222=106AB OB --=8，
∴AE=2OA=16.
故选D ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF 是菱形是解决问题的关键．
17．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A ．对边相等
B ．对角相等
C ．对角线相等
D ．对角线互相平分
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可.
【详解】
矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选C ．
【点睛】
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．
18．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD 上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】D
【解析】
分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解．
详解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，
∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，
又∵∠BAD=90°，
∴四边形ABEB1是正方形，
∴BE=AB=6cm，
∴CE=BC-BE=8-6=2cm．
故选：D．
点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．
19．下列结论正确的是（）
A．平行四边形是轴对称图形B．平行四边形的对角线相等
C．平行四边形的对边平行且相等D．平行四边形的对角互补，邻角相等
【答案】C
【解析】
【分析】
分别利用平行四边形的性质和判定逐项判断即可．
【详解】
A、平行四边形不一定是轴对称图形，故A错误；
B、平行四边形的对角线不相等，故B错误；
C、平行四边形的对边平行且相等，故C正确；
D、平行四边形的对角相等，邻角互补，故D错误．
故选：C．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，掌握特殊平行四边形与一般平行四边形的区别是解题的关键．
20．如图，菱形ABCD 中，对角线BD 与AC 交于点O ， BD =8cm ，AC =6cm ，过点O 作OH ⊥CB 于点H ，则OH 的长为( )
A ．5cm
B ．
52cm C ．125cm D ．245cm 【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB 、OC ，再利用勾股定理列式求出BC ，然后根据△BOC 的面积列式计算即可得解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，111163,842222
OC AC OB BD ==⨯===⨯= 在Rt △BOC 中，由勾股定理得，2222345BC OB OC ++=
∵OH ⊥BC ，
1122
BOC S OC OB CB OH ∴=⋅=⋅V ∴1143522
OH ⨯⨯=⨯ ∴125OH =
故选C ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于利用两种方法表示△BOC 的面积列出方程．。