高考数学压轴专题人教版备战高考《空间向量与立体几何》全集汇编附答案解析

新单元《空间向量与立体几何》专题解析
一、选择题
1．已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是
（ ）
A ．,,m l m l βα⊥⊂⊥
B ．,,m l l m αβα⊥⋂=⊂
C ．//,,m l m l αβ⊥⊥
D ．,//,//l m l m αβ⊥
【答案】D 【解析】 【分析】
A ，有可能出现α，β平行这种情况.
B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况.
C ，根据面面平行的性质定理判断.
D ，根据面面垂直的判定定理判断. 【详解】
对于A ，m l ⊥，m β⊂，若l β⊥，则//αβ，故A 错误； 对于B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误；
对于C ，因为//m l ，m α⊥，则l α⊥，又因为l βαβ⊥⇒∥，故C 错误； 对于D ，l α⊥，m l m α⇒⊥∥，又由m βαβ⇒⊥∥，故D 正确. 故选：D 【点睛】
本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
2．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒
∠=∠=，则异
面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）
A ．
33
B ．
66
C ．
34
D 3 【答案】B 【解析】 【分析】
设1AA c =u u u v v
，AB a =u u u v
v
，AC b =u u u v v
，根据向量线性运算法则可表示出1AB u u u v 和1BC u u u u v
；分别求解
出11AB BC ⋅u u u v u u u u v 和1AB u u u v ，1BC u u u u v ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>u u u v u u u u v
，即可得所
求角的余弦值. 【详解】
设棱长为1，1AA c =u u u v v ，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v
由题意得：12a b ⋅=v v ，12b c ⋅=v v ，12
a c ⋅=v v
1AB a c =+u u u v v v Q ，11BC BC BB b a c =+=-+u u u u v u u u v u u u v v v v
()()
221111
11122
AB BC a c b a c a b a a c b c a c c ∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++=u u u v u u u u v v v v v v v v v v v v v v v v
又
1AB ===u u u v
1BC =
==u u u u v
111111
cos ,AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>===⋅u u u v u u u u v
u u u v u u u u v u u u v u u u u v
即异面直线1AB 与1
BC 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.
3．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且ABC ∆为等边三角形，2AP AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．
272
π B ．
283
π C ．
263
π D ．
252
π 【答案】B 【解析】 【分析】
计算出ABC ∆的外接圆半径
r ，利用公式R =可得出外接球的半径，进而可
得出三棱锥P ABC -的外接球的表面积. 【详解】
ABC ∆
的外接圆半径为
2sin
3
AB r π
=
=
PA ⊥Q 底面ABC ，所以，三棱锥P ABC -的外接球半径为
2
2
22
23211233PA R r ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 因此，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2
2
21284433R πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
. 故选：B. 【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.
4．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存
在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）
A 7
B ．3
C ．3
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就 是最小值． 【详解】
把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值，
Q ||||3AB AD ==1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==．
所以11=90+60=150MA D ∠o o o
221111111113
2cos 13223()72
MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠+-⨯⨯-
⋅⨯
故选A ． 【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．
5．已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）. A 10 B ．3:1
C ．2:1
D 102
【答案】A 【解析】 【分析】
设圆锥SC 的底面半径为r ，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆锥体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧面积，从而求得比值. 【详解】
设圆锥SC 的底面半径为r ，则高为3r ，∴圆锥SC 的母线长22910l r r r =+=，
∴圆锥SC 的侧面积为210rl r ππ=；
圆柱OM 的底面半径为2r ，高为h ， 又圆锥的体积23133V r r r ππ=
⋅=，234r h r ππ∴=，4
r h ∴=， ∴圆柱OM 的侧面积为2224rh rh r πππ⋅==，
∴圆锥SC 与圆柱OM 2210:10r r ππ=.
故选：A . 【点睛】
本题考查圆锥和圆柱侧面积的求解问题，涉及到圆锥和圆柱体积公式的应用，属于基础题.
6．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng ，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于( )
A ．3
B ．5
C ．6
D ．12
【答案】B 【解析】 【分析】
首先由三视图还原几何体，再将刍甍分为三部分求解体积，最后计算求得刍甍的体积. 【详解】
由三视图换元为如图所示的几何体，该几何体分为三部分，中间一部分是直棱柱，两侧是相同的三棱锥，
并且三棱锥的体积113113
⨯⨯⨯=， 中间棱柱的体积1
31232
V =
⨯⨯⨯= , 所以该刍甍的体积是1235⨯+=. 故选：B 【点睛】
本题考查组合体的体积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型.
7．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点12,P P 分别是线段1,AB BD （不包括端点）上的动点,且线段12PP 平行于平面11A ADD ,则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A ．
1
24
B ．
112
C ．
16
D ．
12
【答案】A 【解析】
由题意在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点12,P P 分别是线段1,AB BD 上的动点，
且线段12PP 平行于平面11121,A
ADD PP B AD B ∆~∆， 设1,(0,1)PB x x =∈，即122
2,PP x P =到平面11AA B B 的距离为x ， 所以四棱锥121PP AB 的体积为2111
(1)1()326
V x x x x =⨯⨯-⨯⨯=-， 当1
2x =
时，体积取得最大值124
，故选A ．
点睛：本题考查了空间几何体的结构特征，及几何体的体积的计算，其中解答中找出所求四面体的底面面积和四面体的高是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于空间几何体的体积与表面积的计算时，要正确把握几何体的结构特征和线面位置关系在解答中的应用．
8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 分别是AB 、11B C 的中点，则异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值为（ ）
A 3
B ．
13
C 58
D 387
【答案】C 【解析】
【分析】
取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF ，推导出四边形BDFE 为平行四边形，可得出
//BE DF ，可得出异面直线BE 与CD 所成的角为CDF ∠，通过解CDF V ，利用余弦定理可求得异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值. 【详解】
取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF .
易知EF 是111A B C △的中位线，所以11//EF A B 且111
2
EF A B =
. 又11//AB A B 且11AB A B =，D 为AB 的中点，所以11//BD A B 且111
2
BD A B =
，所以//EF BD 且EF BD =.
所以四边形BDFE 是平行四边形，所以//DF BE ，所以CDF ∠就是异面直线BE 与CD 所成的角.
因为4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 、F 分别是AB 、11B C 、11A C 的中点， 所以111122C F AC =
=，111122
B E B
C ==且C
D AB ⊥. 由勾股定理得2
2
442AB =
+=2242
AC BC CD AB ⋅=
== 由勾股定理得2222115229CF CC C F =+=+=
2222115229DF BE BB B E ==+=+=.
在CDF V 中，由余弦定理得(
(
2
2
2
29
2229
58cos 22922
CDF +-∠==
⨯⨯.
故选：C. 【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，一般利用平移直线法找出异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.
9．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．
643
π B ．8316π
π+
C ．28π
D ．82163
π
π+
【答案】B 【解析】 【分析】
结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可． 【详解】
结合三视图，还原直观图，得到
故体积22221183242231633V r h r l πππππ=⋅+⋅=⋅+
⋅⋅=+，故选B ．
【点睛】
本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等．
10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P P 平面1A BM ，则1C P 的最小值是（ ）
A ．30
B ．230
C ．
27
D ．
47
【答案】B 【解析】 【分析】
在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值. 【详解】
如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD
//DN BM Q ，1//DQ A M 且DN DQ D =I ，1BM A M M =I
∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）
又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值
此时，22512CP ==+ 2
212230255C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.
11．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶5 D ．3∶2
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】
设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ．∴S 侧＝πrl ＝
πr 2，S 底＝πr 故选
C ． 【点睛】
本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．
12．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =
，BD CD ⊥，将其
沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．3π
B 3
C ．4π
D 3 【答案】A 【解析】 【分析】
设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′­BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径. 【详解】
设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E ， 因为AB ＝AD ＝1，BD 2 由勾股定理得：BA ⊥AD
又因为BD ⊥CD ，即三角形BCD 为直角三角形 所以DE 为球体的半径
32DE = 234(
)32
S ππ== 故选A
【点睛】 求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.
13．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”.题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示（单位：尺），问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有（取整数）（ ）
A ．441斛
B ．431斛
C ．426斛
D ．412斛
【答案】A
【解析】
【分析】 由三视图可知：上面是一个横放的三棱柱，下面是一个长方体．由体积计算公式即可得出．
【详解】
解：由三视图可知：上面是一个横放的三棱柱，下面是一个长方体．
∴体积1
171278127142V =⨯⨯⨯+⨯⨯=，
∴粮仓可以储存的粟米7144411.62
=≈斛．
故选：A ．
14．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π,43BAC AP ∠==
，23AB AC ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．32π
B ．48π
C ．64π
D ．72π 【答案】C
【解析】
【分析】
先求出ABC V 的外接圆的半径，然后取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122
GO AP =
=，由于PA ⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，OA 为外接球半径，求解即可.
【详解】 在ABC V 中，23AB AC ==，23BAC π∠=，可得6
ACB π∠=， 则ABC V 的外接圆的半径2323π2sin 2sin 6
AB r ACB ===，取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122
GO AP ==， 因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，
则222OA OG AG =+，即外接球半径()222234R =+=，
则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =⨯=.
故选C.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
15．如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -的底面边长为a ，侧棱长
为2a，则1
AC与侧面
11
ABB A所成的角是( )
A．30°B．45︒C．60︒D．90︒
【答案】A
【解析】
【分析】
以C为原点，在平面ABC中，过点C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，1
CC为z轴，建
立空间直角坐标系，利用向量法能求出
1
AC与侧面
11
ABB A所成的角．
【详解】
解：以C为原点，在平面ABC中，过点C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，1
CC为z 轴，建立空间直角坐标系，
则
3
(
a
A，
2
a
，0)，1(0
C，02)a，
1
3
(
a
A
2
a
2)a，(0
B，a，0)，1
3
(
a
AC=
u u u u r
，
2
a
-2)a，3
(
a
AB=
u u u r
，
2
a
，0)，
1
(0
AA=
u u u r
，02)a，
设平面11
ABB A的法向量(
n x
=
r
，y，)z，
则
1
3
·0
22
·20
a a
n AB x y
n AA az
⎧
=-+=
⎪
⎨
⎪==
⎩
u u u v
v
u u u v
v
，取1
x=，得(1
n=
r
3，0)，
设
1
AC与侧面
11
ABB A所成的角为θ，
则1
1
1
||31
sin|cos,|
2
||||23
n AC a
n AC
n AC a
θ=<>===
r u u u u r
r u u u u r g
r u u u u r
g
，
30
θ
∴=︒，
1
AC
∴与侧面
11
ABB A所成的角为30°．
故选：A．
【点睛】
本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
16．在空间中，下列命题正确的是
A ．如果一个角的两边和另一角的两边分别平行,那么这两个角相等
B ．两条异面直线所成的有的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
D ．如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两个角可能互补判断A ；根据两条异面直线所成的角不能是零度,判断B ；根据根据两个平面平行的性质定理知判断C ；利用直线与这个平面平行或在这个平面内判断D.
【详解】
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,这两个角相等或互补,故A 不正确； 两条异面直线所成的角不能是零度,故B 不正确；
根据两个平面平行的性质定理知C 正确；
如果一条直线和一个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行或在这个平面内,故D 不正确,综上可知只有C 的说法是正确的,故选C.
【点睛】
本题考查平面的基本性质及推论,考查等角定理,考查两个平面平行的性质定理,考查异面直线所成的角的取值范围,考查直线与平面平行的判断定理,意在考查对基础知识的掌握情况，本题是一个概念辨析问题.
17．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA u u u v ，OB uuu v ，OC u u u v 表示向量OG u u u v
是
（）
A．
22
33 OG OA OB OC =++
u u u v u u u v u u
u v u u u v
B．
122
233
OG OA OB OC
u u u v u u u v u u u v u u u v
=++
C．
111
633
OG OA OB OC
=++
u u u v u u u v u u u v u u u v
D．
112
633
OG OA OB OC
=++
u u u v u u u v u u u v u u u v
【答案】C
【解析】
【分析】
根据所给的图形和一组基底，从起点O出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论．
【详解】
2
OG OM MG OM MN
3
=+=+
u u u r u u u u r u u
Q
u u r u u u u r u u u u r
,
()()
2121111
OM MO OC CN OM OC OB OC OA OB OC 3333633
u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
=+++=++-=++
111
OG OA OB OC
633
u u u r u u u r u u u r u u u r
∴=++ ,
故选：C．
【点睛】
本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．
18．如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，
C1D1上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为
A．2 B．1
C ．32
D ．52
【答案】C
【解析】
【分析】
判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可．
【详解】
由正视图可知：M 是1AD 的中点，N 在1B 处，Q 在11C D 的中点，
俯视图如图所示：
可得其面积为：1113222111122222
⨯-
⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选C ． 【点睛】 本题主要考查三视图求解几何体的面积与体积，判断它的形状是解题的关键，属于中档题.
19．已知,αβ是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，条件:p a 与b 没有公共点，条件://q αβ，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
∵a 与b 没有公共点时，a 与b 所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b 上）
∴命题p ：a 与b 没有公共点⇒命题q ：α∥β，为假命题
又∵α∥β时，a 与b 平行或异面，即a 与b 没有公共点
∴命题q ：α∥β⇒命题p ：a 与b 没有公共点，为真命题；
故p 是q 的必要不充分条件
故选B
20．如图所示，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中1AB =，2AD =，3AA '=，90BCD ∠=︒，60BAA DAA ''∠=∠=︒，则AC '的长为（ ）
A 13
B 23
C 33
D 43【答案】B
【解析】
【分析】 由向量AC AB BC CC ''=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r 得：()()
22AC AB BC CC ''=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，展开化简，再利用向量的数量积，便可得出答案.
【详解】 AC AB BC CC ''=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r Q ，
()(
)()()()222222()AC AB BC CC AB BC CC AB BC AB CC BC CC '''''∴=++=+++⋅+⋅+⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r uu u r u u u u r u u u r u u u u r ()
222291232(013cos6023cos60)142232
AC ︒︒'∴=+++⨯+⨯+⨯=+⨯=u u u u r . 23AC '∴=u u u u r ，即AC '23
故选：B.
【点睛】 本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，掌握向量法求线段长的方法是解题关键，属于中档题目.。