2021学年苏科版数学七年级下册第七章《平面图形的认识(二)》易错题专练(四)有答案

2020-2021学年七年级下册第七章《平面图形的认识（二）》
易错题专练（四）
1．已知△ABC，
（1）如图1，若D点是△ABC内任一点、求证：∠D＝∠A+∠ABD+∠ACD．
（2）若D点是△ABC外一点，位置如图2所示．猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD有怎样的关系？请直接写出所满足的关系式．（不需要证明）
（3）若D点是△ABC外一点，位置如图3所示、猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD之间有怎样的关系，并证明你的结论．
2．在凸四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝∠C﹣∠D＞0，且四个内角中有一个角为84°，求其余各角的度数．
3．如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连结PA、PB．
猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为度．
探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关
系．
拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
4．如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°，（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？加以证明；
（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数．
5．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．（1）求证：AB∥CD；
（2）求∠C的度数．
6．推理填空，如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，试说明BD∥CE．
解：∵∠A＝∠F（），
∴AC∥DF（），
∴∠D＝∠1（），
又∵∠C＝∠D（），
∴∠1＝∠C（），
∴BD∥CE（）．
7．已知点F、G分别在直线AB、CD上，且知AB∥CD．
（1）如图1，请用等式表示∠GEF、∠BFE、∠CGE之间的数量关系并给出证明；
（2）如图2，∠BFE的平分线FQ所在的直线与∠CGE的平分线相交于点P，探究∠GPQ与∠GEF之间的数量关系，请直接写出你的结论：．
8．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究一：如图1，在△ABC中，已知O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+
∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A
（1）探究2：如图2中，已知O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？并说明理由．
（2）探究3：如图3，已知O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）结论：．
（3）拓展：在四边形ABCD中，已知O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）结论：．
9．在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边A以、BC上的点，点P是一动点，连接PD、PE，∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图1所示，若点P在线段AB上，且∠α＝40°，则∠1+∠2＝°；
（2）如图2所示，若点P在边AB上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为有何数量关系；猜想结论并说明理由；
（3）如图3所示，若点P运动到边AB的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何数量关系？猜想结论并说明理由．
10．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知AB∥CD，分别探讨下面三个图形中∠BAP与∠APC、∠DCP的关系，请任选一个加以说明．
参考答案
1．解：（1）证明：延长BD交AC于点E．
∵∠BDC是△CDE的外角，∴∠BDC＝∠2+∠CED，
∵∠CED是△ABE的外角，∴∠CED＝∠A+∠1．
∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2．即∠D＝∠A+∠ABD+∠ACD．
（2）∵∠D+∠A+∠ABD+∠ACD＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+∠DCB，即∠D+∠A+∠ABD+∠ACD＝180°+180°＝360°，
∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠D+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴∠D+∠A+∠ABD+∠ACD＝360°．
（3）证明：令BD、AC交于点E，
∵∠AED是△ABE的外角，
∴∠AED＝∠1+∠A，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED＝∠D+∠2．
∴∠A+∠1＝∠D+∠2即∠D+∠ACD＝∠A+∠ABD．
2．解：设∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝∠C﹣∠D＝x＞0，
则∠A＞∠B＞∠C＞∠D，∠C＝∠D+x，∠B＝∠D+2x，∠A＝∠D+3x，
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝6x+4∠D＝360°，
∴∠D+x＝90°．
1、∠D＝84°时，x＝4°，
∠A＝96°，∠B＝92°，∠C＝88°；
2、∠C＝84°时，2x+4∠C＝360°，x＝12°，
∠A＝108°，∠B＝96°，∠D＝72°；
3、∠B＝84°时，﹣2x+4∠B＝360°，x＝﹣12°，
∠A＝72°，∠C＝96°，∠D＝108°（舍去）；
4、∠A＝84°，﹣6x+4∠A＝360°，x＝﹣4，
∠D＝96°，∠C＝92°，∠B＝88°（舍去）．
3．解：猜想：如图①，过点P作PG∥l1，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°，
∴∠APB的大小为55度，
故答案为：55；
探究：如图①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD，理由如下：
∵l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD，
∴∠PAC＝∠APB﹣∠PBD；
拓展：∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由如下：如图，当点P在射线CE上时，
过点P作PG∥l1，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠BPG﹣∠APB，
∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB；
当点P在射线DF上时，
过点P作PG∥l1，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠APB+∠BPG，
∴∠PAC＝∠APB+∠PBD，
综上所述：当点P在射线CE上或在射线DF上时，∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC ＝∠APB+∠PBD．
4．解：（1）EF和AB的关系为平行关系．理由如下：
∵CD∥AB，∠DCB＝70°，
∴∠DCB＝∠ABC＝70°，
∵∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝50°，
∵∠EFB＝130°，
∴∠ABF+∠EFB＝50°+130°＝180°，
∴EF∥AB；
（2）∵EF∥AB，CD∥AB，
∴EF∥CD，
∵∠CEF＝70°，
∴∠ECD＝110°，
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACB＝∠ECD﹣∠DCB，
∴∠ACB＝40°．
5．（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥GF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠A，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，
∵∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°，
∴∠3＝25°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝25°．
6．解：∵∠A＝∠F（已知），
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠1（两直线平行，内错角相等），
又∵∠C＝∠D（已知），
∴∠1＝∠C（等量代换），
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）．
7．解：（1）∠GEF＝∠BFE+180°﹣∠CGE，证明如下：如图1，过E作EH∥AB，
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EH，
∴∠HEF＝∠BFE，∠HEG+∠CGE＝180°，
∴∠HEF+∠HEG＝∠BFE+180°﹣∠CGE，
∴∠GEF＝∠BFE+180°﹣∠CGE；
（2）∠GPQ+∠GEF＝90°，理由是：
∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，
∴∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，
△PMF中，∠GPQ＝∠GMF﹣∠PFM＝∠CGP﹣∠BFQ，
∴∠GPQ+∠GEF＝∠CGE﹣∠BFE+∠GEF＝×180°＝90°．
故答案为：∠GPQ+∠GEF＝90°．
8．解：（1）探究2结论：∠BOC＝∠A．
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠2＝∠ACD＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一个外角，
∴∠BOC＝∠2﹣∠1＝∠A+∠1﹣∠1＝∠A，
即∠BOC＝∠A；
（2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），
在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），
＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），
＝180°﹣（180°+∠A），
＝90°﹣∠A；
（3）∠OBC+∠OCB＝（360°﹣∠A﹣∠D），
在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）＝（∠A+∠D）．
9．解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP＝360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP＝360°，∴∠1+∠2＝∠C+∠α，
∵∠C＝90°，∠α＝40°，
∴∠1+∠2＝130°；
故答案为：130°；
（2）由（1）得出：
∠α+∠C＝∠1+∠2，
∴∠1+∠2＝90°+α
故答案为：∠1+∠2＝90°+α；
（3）∠1＝90°+∠2+α，
理由：∵∠2+∠α＝∠DME，∠DME+∠C＝∠1，
∴∠1＝∠C+∠2+α＝90°+∠2+α．
10．答：（1）∠BAP+∠DCP+∠APC＝360°．
证明：过P作PE∥AB，则AB∥CD，
∵AB∥PE，
∴∠PAB+∠APE＝180°，
∵PE∥CD，
∴∠DCP+∠CPE＝180°，
∴∠PAB+∠APE+∠DCP+∠CPE＝360°，
即∠BAP+∠DCP+∠APC＝360°；
（2）∠BAP+∠DCP＝∠APC，
证明：过P作PF∥AB，则PF∥CD．∵PF∥AB，
∴∠APF＝∠BAP，
同理∠CPF＝∠DCF，
又∵∠APC＝∠APF+∠CPF，
∴∠BAP+∠DCP＝∠APC；
（3）∠BAP﹣∠DCP＝∠APC，
证明：过P作PF∥AB，则PF∥CD．∵PF∥AB，
∴∠APF＝∠BAP，
同理∠CPF＝∠DCF，
又∵∠APC＝∠APF﹣∠CPF，
∴∠BAP﹣∠DCP＝∠APC．。