数学：1.1.1《变化率与导数 变化率问题》课件

例1、分别就自变量x 趋向于 和 的情况，讨论下列函
数的变化趋势：
（1）
y
1x
2
解：当
x
时，y
1 无x 限趋近于0， 2
即
lim
1x
0;
x 2
当x
时，
y
1
x
趋近于
.
2
结论：当0 a 1时，都有 lim ax 0 x 第十页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
函数的极限
1 ( x 0时) （2） f ( x) 0 ( x 0时)
k (1 x )3 13 3 3x (x )2 3 3 0.1 0.12 3.31 (1 x ) x
第二十四页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
第二十五页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数 f ( x) 无限趋近于一个常数a ， 就说当x 趋向于负无穷大时， 函数 f ( x)的极限是a ，记作
lim f ( x) a
x
也可记作: 当 x 时，f ( x) a
第七页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
函数的极限
如果 lim x
f ( x) a且 lim x
h
o
t
第十八页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x1)表示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
f (x) a
那就是说当x 趋向于
无穷大时，函数 f ( x的) 极限是a ，记作
lim f ( x) a
x
也可记作: 当 x 时，f ( x) a
对于常数函数
f (x) C(x R) 也有
lim f (x) C
x
第八页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
函数的极限
自变量x的变化趋势 x取正值并且无限增大 x取负值并且绝对值无限增大
y 1 的极限是0，记作 lim 1 0
x
x x
x 1 10 100 1000 10000 100000 ··· y 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 ···
第五页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
函数的极限
y
O
x
当x 趋向于负无穷大时，函数 lim 1 0 x x
f ( x)值的变 化趋势 f ( x)无限趋
近于常数a
f ( x)无限趋 近于常数a
x取正值并且无限增大，x取 f ( x)无限趋
负值并且绝对值无限增大
近于常数a
极限表示 lim f ( x) a
x
lim f ( x) a
x
lim f ( x) a
x
第九页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
函数的极限
f(x1)
O
A
x2-x1=△xx
x1
x2
第二十页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
做两个题吧!
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则
Δy/Δx=( ) D
A3
B 3Δx-(Δx)2
C 3-(Δx)2 D 3-Δx
• 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
h
如何用运动员在某些时
间段内的平均速度粗略
地描述其运动状态?
请计算
o
tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
第十七页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
请计算0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
小结：
• 1.函数的平均变化率
f (x) f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
第二十三页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
练习：
• 过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当 Δx=0.1时割线的斜率.
3
• 如果将半径r表示为体积V的函数,那么
r(V ) 3 3V
4
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我们来分 析一下:
r(V ) 3 3V
4
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球 的过程,可以发现,随着气球内空气容量 的增加,气球的半径增加越来越慢.从数 学角度,如何描述这种现象呢?
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-2
第一页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
1.1.1《变化率与导数 －变化率问题》
第二页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
教学目标
• 了解函数的平均变化率 • 教学重点：
• 函数的平均变化率
第三页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
观察函数y
1 x
的图象,当x
第二十一页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
练习：
1.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+t)中
相应的平均速度为( A )
A. 6+t C.3+t
B. 6+t+ 9 t
D.9+t
• 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线 运动,求在4s附近的平均变化率.
25 3t
第二十二页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
第十三页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
1.1.1变化率问题
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的 过程,可以发现,随着气球内空气容量的增 加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度, 如何描述这种现象呢?
• 气球的体积V(单位:L)与半径r
(单位:dm)之间的函数关系是 V (r)
4 r3
y 1 的极限是0，记作 x
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函数的极限
一般地，当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数
f ( x) 无限趋近于一个常数a ， 就说当x 趋向于正无穷大时，
函数 f ( x)的极限是a ，记作 lim f ( x) a
x
也可记作:当 x 时，f ( x) a
1 ( x 0时)
解：当 x 时，f ( x)的值保持为1．即 lim f ( x) 1; x
当 x 时， f ( x) 的值保持为-1，即
lim f ( x) 1;
x
第十一页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
1.1.1变化率问题
导数研究的问题 变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化
第十五页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均 膨胀率是多少?
r(V2 ) r(V1) V2 V1
第十六页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位： 秒）存在函数关系
时的变化趋势。
无论x+ 或x-
函数y
1 x
的值无限趋近于0.
即 当x 时，x1 0.
第四页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
函数的极限
考察函数 y
y
1 x当x
无限增大时的变化趋势．
当自变量x 取正值并无限增
O
x
大时，函数 y 1的值无限趋近 x
于0，即|y-0|可以变得任意小．
当x 趋向于正无穷大时，函数
同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
第十九页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
思考?
• 观察函数f(x)的图象
平均变化率
y x
f(x2 ) x2
f (x1) x1
y
表示什么?
f(x2)
f(x2)-f(x1)=△y
Y=f(x) B
直线AB的 斜率
的快慢程度．
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微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等;
• 二、求曲线的切线;
• 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、 变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有 效的工具。
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了
r(1) r(0) 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L) 1 0
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r(2) r(1) 0.16(dm)
气球的平均膨胀率为
r(2) 2
r(1) 1
0.16(dm
/
显0L.)6然2>0.16