2011华约文科试题汇总

2011华约
“华约”7校联考部分试题：
上午科目：“阅读与写作”
阅读部分（50分）
一、现代文阅读：杨福家的《哥本哈根精神》
二、现代文阅读：老舍的《五九》
三、古代诗文阅读
1.辛弃疾《清平乐校检山园，书所见》
2.《南齐书良政》断句
3.翻译《论语泰伯》《韩非子外储说右下》
写作部分（50分）
你对忧患意识是怎样认识的？请写一篇文章，谈谈你的思想和认识，角度自选，立意自定，标题自拟；不要编造虚假事实论据，不要套作，不得抄袭。

二、英文和中英文综合：
试卷总分100分，包括的题型有完形填空、英语(论坛)翻译与写作。

完形填空：一篇。

选词填空：6选5，在6个短句中选择5个，完成整篇文章。

英语翻译与写作：先将一篇中文材料，内容与理想的受教育者有关，先将中文翻译成英文，再一篇150字左右的短文。

下午清华7校自主招生进行了数学和“自然科学”或“人文与社会”的考试，高考(微博)网赴现场了解到了考生考试的一些情况。

下午科目：数学
数学总分100分，包括选择题和解答题，其中选择题10个，每个3分，解答题5个，涉及到的知识点包括概率、函数、三角函数、数列、解析几何等。

考生普遍反映题量大，时间紧，来不及做完。

题很难，相当于竞赛难度，前五道选择题和后五道选择题难度相差很大，前五道在课本内都可以找到，后五道来自课本之外。

一、选择题
(1) 设复数z满足|z|<1且
15
||
2
z
z
+=则|z| = ( )
4321 A B C D 5432
解：由
15
||
2
z
z
+=得2
5
||1||
2
z z
+=，已经转化为一个实数的方程。

解得|z| =2（舍
去），
1
2 。

(2) 在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面
DM与AN所成角的余弦为( )
1111
A B C D
36812
[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。

本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。

然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。

解法一：如图，设底面边长为2
A (1，-1，0)，
B (1，1，0)，
C (-1，1，0)，
D (-1，-1，0)，P (0，0
，
，则1111(,,),(,,)222222M N -
，3113(,,(,,)222222
DM AN =-=- 。

设所成的角为θ，则1cos 6DM AN DM AN
θ== 。

解法二：如图，设底面边长为2
DM 与AN 在一起。

即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q 。

于是QN = DM = AN 。

而P A = PB = AB = 2，所以
QN = AN =
AQ = ΔAQN 的顶角1cos 6ANQ ∠=。

解法三：也可以平移AN 与DM 在一起。

即A 移到M ，N 移到PN 的中点Q 。

以下
略。

(3)过点(-1, 1)的直线l 与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，则直线l 的斜率为 ( )
A 2B1C 1D 2 - -
此题有误，原题丢了，待重新找找。

(4)若222cos cos 3
A B A B π+=+，则的最小值和最大值分别为 ( )
3131A1,B ,C1D ,122222222
- -+ + [分析]首先尽可能化简结论中的表达式22cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：
把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。

解：221cos 21cos 21cos cos 1(cos 2cos 2)222
A B A B A B +++=+=++ 11cos()cos()1cos()2
A B A B A B =++-=--，可见答案是B
[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。

我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O 1 O 2边O 1 O 2上一点C ，O O 1、O O 2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A = O 1C ，O 2B = O 2C 。

解法一：连接12O O ，C 在12O O 上，则1221O O O O O O πα∠+∠=-，
111212O AC O CA OO O ∠=∠=∠，222112
O BC O CB OO O ∠=∠=∠，故 1212211()22
O CA O CB OO O OO O πα-∠+∠=∠+∠=， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2
αβ=。

解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则12212OO O OO O πα
-∠=∠=，
1212124
O CA O CB OO O πα-∠=∠=∠=， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2
αβ=。

(6) 已知异面直线a ，b 成60°角。

A 为空间一点则过A 与a ，b 都成45°角的平面 ( ) A 有且只有一个 B 有且只有两个 C 有且只有三个 D 有且只有四个
[分析]已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了。

因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a ，b 为相交直线也没关系。

于是原题简化为：已知两条相交直线a ，b 成60°角，求空间中过交点与a ，b 都成45°角的直线。

答案是4个。

(7) 已知向
量131(0,1),(,,(,),(1,1)
22a b c x a y b z c ==--++= 则222x y z ++ 的最小值为( ) 43
A1B C D 23
2
解：由(1,1)xa yb zc ++= 得
1)111222
y z y z y z y z x x ⎧⎧+=-=⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪--=-=⎪⎪⎩⎩， 由于22
2222
()()2y z y z x y z x ++-++=+，可以用换元法的思想，看成关于x ，y + z ，y - z
三个变量，变形2(1)y z y z x ⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩
，代入
22
2222
()()2y z y z x y z x ++-++=+ 222228242(1)343()3333
x x x x x =+-+=-+=-+，答案B (8)AB 为过抛物线y 2 = 4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠= ，C 为抛物线
准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为 (
)
A B C D 533
解法一：焦点F （1，0），C （-1，0），AB 方程y = x – 1，与抛物线方程y 2 = 4x 联立，
解得A B (3+ (3- ，，于是
22CA CB k k ==
，tan 1CA CB CA CB k k ACB k k -∠==+，答
案A
解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD 中，∠B AD = 45°，EF ∥DA ，EF = 2，AF = AD ，BF = BC ，求∠AEB 。

tan tan DE GF AEF EAD AD AF ∠=∠=== tan tan 2BEF EBC ∠=∠=
，2AEB AEF BEF AEF ∠=∠+∠=∠， tan tan 2AEB AEF ∠=∠= A
解：BDF BDE BDE DF S S zS DE ∆∆∆==，(1)BDE ABE ABE BD S S x S AB
∆∆∆==-， ABE ABC ABC AE S S yS AC
∆∆∆==，于是(1)2(1)BDF ABC S x yzS x yz ∆∆=-=-。

将11y z x y z x +-=+=+，变形为，暂时将x 看成常数，欲使yz 取得最大值必须
12x y z +==
，于是21(1)(1)2BDF S x x ∆=-+，解这个一元函数的极值问题，13
x =时取极大值1627。

(10) 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不
相交，则（ ）
A 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形
B 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形
C 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形
D 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形
解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。

如图，假设ΔABC 是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF (不妨设在AC 的另一边)的(其中的边EF 有可能与AC 重合)的∠D 一定是钝角。

事实上，∠D ≥ ∠ADC ，而四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠ADC = 180°-∠B ，所以∠D 为钝角。

这样就排除了B ，C 。

下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。

假设ΔABC 中∠B 是钝角，在AC 的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC 的另一侧的相邻(指有公共边AC ) ΔACD ，则∠D = 180°-∠B 是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。

所以答案是D 。

二、解答题
解：（I ）tan tan tan tan()tan tan 1
A B C A B A B +=-+=-，整理得 tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ （II ）
tan tan tan tan A C A B C =++，与（I ）
比较知tan 3B B π==。

又11222sin 2sin 2sin 2sin 3A C B π+===
，sin 2sin 2sin 2sin 2A C A C +=
，
sin()cos()cos 2()cos 2()A C A C A C A C +-=--+
sin()sin A C B +==，
1cos 2()cos 22
A C
B +==-，代入得2cos 2()13cos()A
C A C -+=-， 24cos ()3cos()10A C A C ----=，1cos()14A C -=-，
，cos 12A C -=
（12）已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。

质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处。

（I ）若b = 3a ，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （II ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？
解：不妨设水杯高为1。

（I ）这时，水杯质量 ：水的质量 = 2 ：3。

水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为12，水的重心位置为14，所以装入半杯水的水杯的重心位置为11237242320
+=+ (II) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上。

设装x 克水。

这时，水杯质量 ：水的质量 = a ：x 。

水杯的重心位置为12，水的重心位置为2x b
，水面位置为x b ，于是12
2x a x x b a x b
+=+
，解得x a =
（13）已知函数21()(1)1()2x f x f f ax b ===+2，，3。

令111()2
n n x x f x +==，。

(I)求数列{}n x 的通项公式；
(II)证明12112n x x x e
+>。

解：由12(1)1()1()21x f f a b f x x =====+2，得，3 (I)先求出123412482359x x x x ====，，，，猜想1
1221
n n n x --=+。

用数学归纳法证明。

当n = 1显然成立；假设n = k 显然成立，即1
1221
k k k x --=+，则122()121
k
k k k k k x x f x x +===++，得证。

(II) 我们证明121
12n e x x x +> 。

事实上，
12111112(1)(1)(1)242
n n x x x +=+++ 。

我们注意到 2212(1)12(1)n
n a a a a +<++<+ ，，，于是
122121212111112(1)2(1)2(1)2222
n n n n n n n e x x x -+++-+<+=+<+< （14）已知双曲线22
1222:1(0,0),,x y C a b F F a b
-=>>分别为C 的左右焦点。

P 为C 右
支上一点，且使21212=,3F PF F PF π
∠∆又的面积为。

（I ）求C 的离心率e ；
(II)设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立。

若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。

解：如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔP F 1 F 2中
，21212=3
F P F F P F a π∠∆，的面积为，E 为PF 1上一点，PE = PF 2，E F 1 =2a ，F 1 F 2 = 2c ，求c a。

设PE = PF 2 = EF 2 = x ，F F 2
= x ，
1221211(222F PF S PF FF x a ∆==+= ，224120x ax a +-=，2x a =。

ΔE F 1 F 2为等腰三角形，1223EF F π∠=
，于是2c =
，c e a ==。

(II)
（15）将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以p n 表示未出现连续3次正面的概率。

（I ）求p 1，p 2，p 3，p 4；
(II)探究数列{ p n }的递推公式，并给出证明；
(III)讨论数列{ p n }的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。

人文与社会
阅读资料，完成11-12题。

2009年以来，北冰洋海域永久性冰盖的范围大幅度退缩，浮冰平均厚度变薄。

11.分析北冰洋冰盖退缩对国际贸易产生的影响。

12.简述北冰洋海域冰情变化对生态环境的影响。

阅读材料，回答问题。

材料一“各级领导干部要自觉贯彻群众路线、切实转变作风，多做顺民意、解民忧、得民心的实事，坚决纠正损害群众利益的行为。

”胡锦涛。

材料二某地政府官员以破坏了政府办公楼的“风水”为由要强行拆除一座楼房，遭到抵制后说出了“跟政府作对就是恶”的话，在网络上被称为“最雷人官话”之一。

在现实生活中，政府的具体行为并非总是与民众的意愿一致，有时甚至会产生矛盾冲突。

从人民与政府的关系来看，为什么不能说“跟政府作对就是恶”?
11题参考答案：
1.随冰盖厚度变薄融化，北冰洋沿岸航线开通，将大大缩短北半球亚欧大陆和北美大陆中高纬度国家海上航线的的距离；
2.同时大大提高海上运输的通过能力。

苏伊士运河和巴拿马运河通过能力有限，北冰洋沿岸航线的开发将大大提高世界海上运输的通过能力，缓解通过两运河航线的压力。

3.在很大程度上改变世界海上运输线的分布格局，形成新航线和新的港口如奥斯陆、雷克雅未克、摩尔曼斯克将发育成跟高级的港口城市，美国和加拿大北冰洋岸的一些有海运条件的沿海城镇也会发育成港口城市。

4.随沿北冰洋沿岸航线的开发，北冰洋沿岸附近地区的资源将得到开发，形成新的工矿业区和北冰洋沿岸工业地带。

5.随航线开发，北半球资源、经济联系更加紧密，从而加剧南北半球的差距。

12题参考答案：
答出生态环境影响的方面即可，如海平面抬升淹没陆地沿海地区＼气候变暖＼农业影响＼经济结构变化＼海洋生态破坏＼生物种群变化＼人类生产生活生存影响等。