河南省信阳市2023-2024学年高三第一次教学质量检测数学试题

一、单选题
二、多选题
1. 若函数
的导函数是奇函数，则
的解析式可以是（ ）
A
．B
．C
．
D
．
2. 曲线
在点
处的切线平分圆
，则函数
的增区间为（ ）
A
．
B
．
C
．D
．
3. 已知
，且
，则
（ ）
A
．B
．C
．D
．
4. 将半径为6的半圆卷成一个无底圆锥（钢接处不重合），则该无底圆锥的体积为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
5.
函数
的图象可由函数
的图象（ ）
A
．向右平移个单位，再将所得图象上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到B
．向右平移个单位，再将所得图象上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到C
．向左平移个单位，再将所得图象上所有点纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到D
．向左平移个单位，再将所得图象上所有点纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到
6. 设复数，则的虚部为（ ）
A
．
B ．﹣1
C
．D
．
7. 函数
的部分图像如图所示，则
的最小正周期为（
）
A
．
B ．
C
．
D
．
8. 已知
，
，
，则，，的大小关系是（ ）
A
．B
．C
．
D
．
9. 已知函数，下列说法正确的有（ ）
A ．曲线
在
处的切线方程为B
．
的单调递减区间为C
．
的极大值为D
．方程有两个不同的解
10. 已知三棱锥
的四个顶点都在球上，
，
，平面
平面
，则（ ）
A ．直线
与直线垂直
B
．到平面
的距离的最大值为
河南省信阳市2023-2024学年高三第一次教学质量检测数学试题
河南省信阳市2023-2024学年高三第一次教学质量检测数学试题
三、填空题
四、解答题
C ．球
的表面积为D ．三棱锥
的体积为
11. 已知是抛物线
的焦点，过
的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，交准线
于
点，则下列说法正确的是（ ）
A ．以为直径的圆与轴相切B
．若抛物线上的点
到的距离为2
，则抛物线的方程为C
．D
．
的最小值为
12. 在直三棱柱
中，
，
，为
的中点，点是线段
上的点，则下列说法正确的是
（
）
A
．
B
．存在点，使得直线与
所成的角是C
．当点
是线段
的中点时，三棱锥
外接球的表面积是
D
．当点
是线段
的中点时，直线与平面
所成角的正切值为
．
13. 设双曲线
的半焦距为,直线经过双曲线的右顶点和虚轴的上端点.已知原点到直线
的距离为,双曲线的离心率
为_____.
14.
已知
的展开式中的系数为，
的展开式中的系数为，
，则非零常数的值为________．
15. 已知向量
，向量在向量方向上的投影为，且，则
__________．
16. 某市房管局为了了解该市市民
年月至
年
月期间买二手房情况，首先随机抽样其中名购房者，并对其购房面积（单位：
平方米，
）进行了一次调查统计，制成了如图
所示的频率分布直方图，接着调查了该市
年月至年月期间当月在售
二手房均价（单位：万元/平方米），制成了如图
所示的散点图（图中月份代码
分别对应
年
月至
年月）.
（1）试估计该市市民的购房面积的中位数；
（2）现采用分层抽样的方法从购房面积位于的位市民中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人的购房面积恰好
有一人在的概率；
（3）根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为和，并得到一些统计量的值如下表所示：
0.0005910.000164
0.006050
请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出年月份的二手房购房均价（精确到）
【参考数据】，，，，，，
【参考公式】
17. 已知函数，其中，为自然对数的底数.
(1)若，，证明：当时，；当时，
(2)若，函数在区间内不单调，求的取值范围
18. “黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”江南梅雨的点点滴滴都流润着浓洌的诗情每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q镇年梅雨季节的降雨量单位：的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：
Ⅰ“梅实初黄暮雨深”假设每年的梅雨天气相互独立，求Q镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率；
Ⅱ“江南梅雨无限愁”在Q镇承包了20亩土地种植杨梅的老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28万元而乙品种杨梅的亩产量亩与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为元，请你帮助老李排解忧
愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润万元的期望更大？需说明理由
降雨量
亩产量500700600400
19. 毕节市2020届高三年级第一次诊考结束后，随机抽取参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图(如图)：
（1）根据频率分布直方图，求x的值并估计全市数学成绩的中位数；
（2）从成绩在[70，80)和[120，130)的学生中根据分层抽样抽取3人，再从这3人中随机抽取两人作某项调查，求这两人中恰好有1人的成绩在[70，80)内的概率.
20. 已知等比数列的公比，且成等差数列．
（1）求及；
（2）设，求数列的前5项和．
21. 已知数列中，，，且．
（1）设，证明是等比数列；
（2）求数列的通项公式.。