2018高考一轮数学浙江专版练习第8章 第1节 课时分层训

课时分层训练(四十三)
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
A 组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )
A ．x －y ＋1＝0
B ．x －y －1＝0
C ．x ＋y －1＝0
D ．x ＋y ＋1＝0
D [直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.]
2．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )
A ．a ＋b ＝1
B ．a －b ＝1
C ．a ＋b ＝0
D ．a －b ＝0
D [由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1.
又因为tan α＝－a b ，所以－a b ＝－1，则a ＝b .]
3．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( ) 【导学号：51062259】
A ．m ≠－32
B ．m ≠0
C ．m ≠0且m ≠1
D ．m ≠1
D [由⎩⎨⎧
2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1， 故m ≠1时方程表示一条直线．]
4．在等腰三角形AOB 中，OA ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )
A ．y －1＝3(x －3)
B ．y －1＝－3(x －3)
C ．y －3＝3(x －1)
D ．y －3＝－3(x －1)
D[设点B的坐标为(a,0)(a＞0)，
由OA＝AB，得12＋32＝(1－a)2＋(3－0)2，则a＝2，∴点B(2,0)，易得k AB＝－3，
由两点式，得AB的方程为y－3＝－3(x－1)．]
5．过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π
4的直线方程是() A．x＝2 B．y＝1
C．x＝1 D．y＝2
A[∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为3 4π.
依题意，所求直线的倾斜角为3π
4－
π
4＝
π
2，斜率不存在，
∴过点(2,1)的所求直线方程为x＝2.]
二、填空题
6．直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ中点是(1，－1)，则l的斜率是________. 【导学号：51062260】
－2
3[设P(m,1)，则Q(2－m，－3)，
∴(2－m)＋3－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2,1)，
∴k＝
1＋1
－2－1
＝－
2
3.]
7．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
[－2,2][b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，
如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)
时，b分别取得最小值和最大值，
∴b的取值范围是[－2,2]．]
8．直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l的方程为________．
4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0[由题意知，截距不为0，设直线l的方程为
x a ＋y 12－a ＝1.
又直线l 过点(－3,4)，
从而－3a ＋412－a
＝1， 解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.]
三、解答题
9．(2017·温州模拟)直线l 过点(－2,2)且与x 轴，y 轴分别交于点(a,0)，(0，b )，若|a |＝|b |，求l 的方程．
[解] 若a ＝b ＝0，则直线l 过点(0,0)与(－2,2)，2分
直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.6分
若a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋2b ＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎨⎧
a ＝－4，
b ＝4，12分 此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.
综上，直线l 的方程为x ＋y ＝0或x －y ＋4＝0.14分
10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．
(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；
(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围. 【导学号：51062261】
[解] (1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零，
∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.
当直线不过原点时，截距存在且均不为0，
∴a －2a ＋1
＝a －2，即a ＋1＝1，3分 ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.
因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.6分
(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，8分
∴⎩⎨⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎨⎧
－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.12分
综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.14分
B 组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )
A ．2x ＋y －7＝0
B ．x ＋y －5＝0
C ．2y －x －4＝0
D ．2x －y －1＝0
B [由条件得点A 的坐标为(－1,0)，点P 的坐标为(2,3)，因为|P A |＝|PB |，根据对称性可知，点B 的坐标为(5,0)，从而直线PB 的方程为
y －3－3＝x －25－2，整理得x ＋y －5＝0.]
2．(2017·浙江杭州第二次质检)设集合{(x ，y )|(x －1)2＋(y －2)2≤10}所表示的区域为A ，过原点O 的直线l 将A 分成两部分．当这两部分面积之差最大时，直线l 的方程为________，此时直线l 落在区域A 内的线段长为________．
y ＝－12x 25 [易知区域A 表示一个圆面，圆心为M (1,2)．若要两部分面
积差最大，则直线l 与直线MO 垂直，则l ：y ＝－12x ，由圆的半径为10，圆心
M 到原点O 的距离为22＋12＝5得l 落在区域A 内的线段长度为2(10)2－(5)2＝2 5.]
3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．
(1)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；
(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程. 【导学号：51062262】
[解] (1)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上
的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，
解得k
＞0；3分
当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.6分
(2)由l 的方程，得A ⎝
⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，
解得k ＞0.9分
∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，12分
∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.14分。