压缩映射原理1

数学与计算机建模
部分度量空间的广义原理
论文信息
论文历史：
论文出版于2011.5.16
论文修订版出版于2011.11.1
论文发表于2011.11.1
关键字：
定点定理
部分度量空间
一般收缩映射
摘要
在这篇论文中，我们证明了部分度量空间的一般压缩映射的不动点定理,代表定理是归纳由d .IlićV.Pavlović,和Rakocević近期提出的固定点定理得出来的。

下面一个例子说明了我们的结果是扩展定理。

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1.介绍与初步了解
部分度量空间的概念是由马修斯引入的(见[1、2])。

部分度量空间来源于度量空间，对于所有x,y，通过把定义度量平等的d(x,x)= 0替换成定义度量不平等的d((x,x)≤d(x,y)。

这一概念有一个广泛的应用，不仅在数学的许多分支,而且在计算机领域和语义。

最近,许多作者都从度量空间的类到部分度量空间的类(见[3-16]和定理引用)集中注意力在局部度量空间和它的拓扑性质,和广义度量空间的不动点定理。

这项工作的目的是为了证明一些局部度量空间的广义收缩映射中不动点结果。

给出定理中归纳出来的最近的不动点定理由于Ilićet al。

(见[7])。

给一个例子表明,给出的结果是真实的概括。

我们首先需要回想一些定义：
定义1.1(见例如[7,1])。

让X是一个非空的集合。

映射p:×××→[0,∞)是X部分度量指标，如果下列条件满足:
(P1)当且仅当p(x,x)= p(y,y)= p(x,y),x = y，
(P2)p(x,x)≤p(x,y),
(P3)p(x,y)= p(y、x),
（P4)p(x,z)≤p(x,y)+ p(y,z)−p(y,y),
对于任何x,y,z∈x。

两个(X,p)部分度量空间(总之PMS)。

让(X,p)是部分度量空间，并且函数dp、dm :×××→[0,∞)被给出dp(x,y)= 2 p(x,y)−−p(x,x)−−p(y,y)
和Dm(x,y)= max { p(x,y)−p(x,x)、p(x,y)−p(y,y)}
是有名的在X上的度量。

很容易检查dP 和dm是等价的。

注意,每个在X上的部分度量p生成具有家族基地开放p-balls { B p(x,ε):x∈x,ε> 0 }的T0-topologyτP ,即Bp(x,ε)={y∈x:p(x,y)< p(x,x)+ε}。

定义1.2(见例如[5、7])，让(X,p)成为部分度量空间。

(1)序列{ x n }在X∈X X收敛当且仅当p(X,X)=limn→∞p(Xn,x)。

(2)序列{ x n }在X称为柯西序列当且仅当limn→∞p(Xn,x m)存在(有限)。

(3)如果每个柯西序列{ X n }在X X∈X收敛，则(X,p)是完全的。

(4)如果每ε> 0,存在δ> 0, f(B p(x 0,δ)⊂B p(f(x ε0))，则映射f:X→X 在X 0∈X是连续的。

例1.3。

让X =(0,+∞)和定义p(X,y)= max { X,y },X,y∈X。

且(X,p)是一个完整的部分度量空间。

很明显,p不是(通常)度量指标。

命题1.4(见例如[5、7])。

让(X,p)部分度量空间。

（1)当且仅当{ X n }是一个柯西序列(X,d p)，序列{ x n }是一个柯西序列(X,p)。

(2)当且仅当(X,d p)是完全的，则(X,p)也是完全的。

此外,
limn→∞dp(xn, x) = 0 ⇔ p(x, x) = limn→∞p(xn, x) = limn,m→∞p(xm , xn).
下面的前题在我们的主要结果证明中扮演重要的角色。

引理1.5(见例如[5])。

假设在PMS(X,p)，xn →z，n→∞,所有p(z,z)= 0。

即
对于每一个y∈X，limn→∞p(x n, y)=p(z,y) 。

引理1.6(见例如[5、9、10])。

让(X,p)是一个完全的...且
(A)如果p(x,y)= 0且x = y。

(B)如果x= y,那么p(x,y)> 0
评论 1.7，让{ x n }收敛到x(x,p)。

且对于每一个y∈X，Lim n→∞p(x n,y)≤p(x,y)y∈x。

证明，假设,{ x n }收敛x,那就是所有y∈x，p(x,x)=Lim n→∞p(xn,x)。

有关(p 4),一个获得p(x n,y)≤p(x x)+ n,p(x,y)−p(x,x)。

让n→∞,。

一个获得 limn→∞p(xn, y) ≤ limn→∞p(xn, x) + p(x, y) − p(x, x).
因此一个获得limn→∞ p(xn, y) ≤ p(x, y).
2主要的结果
下面是这项工作的主要成果之一。

这是主要结果[7]的一个适当的延长。

定理2.1让(X,p)是一个完全的的部分度量空间和T:X→X 自映射，这样对于所有x, y ∈ Xp(Tx, Ty) ≤ max{ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x), p(y, y)} （1）对于一些a, b, c ∈ [0, 1) 和d ∈ [0,1]满足
即
（1)X P =x∈x:p(x,x)= inf { p(y,y):x y∈} 非空的。

(2)有一个唯一的u∈X P因此Tu = u。

证明：设K = max { a,b,c,2 d }。

让x 0∈X和定义{ X n }序列对所有n = 1,2....满足x n = Tx n−1,
我们首先证明(1)对于每一个n,由于(1)和(P4)被定义为pms,我们有
p(xn+1, xn)
= p(Txn, Txn−1)
≤ max{ap(xn−1, xn), bp(xn, Txn), cp(xn−1, Txn−1),d[p(xn, Txn−1) + p(Txn, xn−1)], p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)}
= max{ap(xn, xn−1), bp(xn, xn+1), cp(xn, xn−1), d[p(xn, xn) + p(xn−1, x
n+1)], p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)}
≤ max{ap(xn, xn−1), bp(xn, xn+1), cp(x
n, xn−1), d[p(xn−1, xn) + p(xn, xn+1)], p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)} ≤ max{ap(xn, xn−1), bp(xn, xn+1), cp(xn, xn−1), 2dp(xn−1, xn), 2dp(xn, x
n+1), p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)}
≤ max{Kp(xn, xn−1), Kp(xn, xn+1), p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)}.
（2）如果对任何n 都满足,max{Kp(xn, xn−1), Kp(xn, xn+1), p(xn, xn),p(xn−1, xn−1)} = Kp(xn, xn+1) ，且p(xn, xn+1)≤ Kp(xn, xn+1).
因为K∈[0,1),我们得出这样的结论:p(x n,x n + 1)= 0。

通过引理 1.6,我们获得Tx n = x N 。

由于p(x n,x n≤p(x) n,Tx n)我们有p(x n,x n)= 0。

这意味着X P = x{∈x:p(x,x)= inf { p(y,y):x y∈} }是非空的,(1)证明完成。

接下来,我们声称, limn→∞ p(xn+1, xn) = limn→∞ p(xn, xn) = r ≥0 因此,我们归纳为
max{ Kp(x n,x n−1)、Kp(x n,x n + 1)、p(x n,x n),p(x n−1,x n−1)}= Kp(x n,x n + 1) 且对于所有n,从(2),我们获得
p(xn+1, xn) ≤ max{Kp(xn, xn−1), p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)} ≤ p(xn, x
n−1).
因此{ p(x n + 1,x n)}是一个减小的非负实数序列。

由此可见,存在r≥0,
例如：limn→∞p(xn+1, xn) = r .
如果r = 0,那么它遵循从对于所有，p(x n,x n）≤p(xn,xn + 1)，limn→∞ p(xn, xn) = 0。

还有待考虑r > 0。

要做到这一点,我们设
rn = max { Kp(x n,x n−1)、p(x n,x n),p(x n−1,x n−1)}
对于每一个n = 1、2、……它遵循从(2)和lim n→∞p(x n + 1,x n)= r那就是Lim n→∞ rn = r。

我们将证明rn = Kp(x n,x −1)有限n。

如果rn = Kp(x n,x −1)无穷n且存在正整数序列{ n k } 这样RNK = Kp(x nk ,x nk −1)
让n k→∞,我们得出,r = Kr。

这是一个与K∈(0,1)和r > 0的矛盾。

因此对于有限nrn = Kp(x n,x n−1)。

结合这个事实和rn的定义,我们可以推断, limn→∞ p(xn, xn) = r
现在,对于每一个n = 1、2。

,(P4)部分度量指标的定义,我们有p(x n,x n≤p(x) n,x n + 2)≤p (x n,x n + 1)+ p(x n + 1,x n + 2)−p(x n + 1,x n + 1)
它遵循从上面的不平等和limn→∞ p(xn, xn+1) = limn→∞ p(xn, xn) = r 且
limn→∞p(xn, xn+2) = r
通过感应,我们推断
limn→∞p(xn, xn+s ) = r
对于每一个正整数,相当于说limn→∞p(x n,x m)= r。

因此,{ x n }是一个柯西序列(X,p)。

因为(X,p)完全,存在u∈X,{ X n }收敛到u n→∞,也就是说, r = p(u，u)= lim n→∞ p(x n,u)= lim m,n→∞ p(x n,x m)。

让我们证明
p(u, u) = p(u, Tu).
为每个n = 1、2。

,我们有
p(u, u) ≤ p(u, Tu) ≤ p(u, xn) + p(Tu, xn) − p(xn, xn) （3）
现在,我们需要一些计算p(Tu,Tx n−1)。

我们有
p(Tu, Txn−1) ≤ max{ap(u, xn−1), bp(u, Tu), cp(xn−1, Txn−1), d[p(u, Txn−1) + p(xn−1, Tu)], p(u, u), p(xn−1, xn−1)}
≤ max{ap(u, xn−1), bp(u, Tu), cp(xn−1, xn), d[p(u, xn) + p(xn−1, Tu)], p(u, u), p(xn−1, xn−1)} （4）很容易看到,{ p(Tu,Tx n−1)} = { p(Tu,x n)}是一个有界序列。

因此,它有一个收敛后继{ p(Tu,x NK )}。

以限制(4)为n k→∞并保持引理1.5和1.7的话,我们得到的
limnk→∞p(Tu, xnk) ≤ max{p(u, u), Kp(u, Tu)}.
让n k→∞(3),结合上述事实,我们得到
p(u, u) = p(u, Tu
接下来,我们声称
Xp =x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X }是
非空的。

设ρ p = inf { p(y,y):X y∈}。

我们遵循线，对于每个k = 1、2、、、证明[7]的主要结果。

我们可以解决x K ∈X,这样p(x K ,X K )≤ρ p + 1 K 。

我们已经证明,对于每个k = 1,2,。

,我们可以寻求uk 这样,Tnxk→ uk随着n→∞ 和ruk := p(uk, uk) = p(Tuk, uk)
我们表明,
m,n→∞p(um, un) = ρp.
鉴于ε> 0,把n 0:= 3 ε(1−K) + 1。

如果k ≥ n0且使用(1),我们有
ρp ≤ p(Tuk, Tuk) ≤ max{ap(uk, uk), bp(uk, Tuk), cp(uk, Tuk), 2dp(uk, Tuk), p(uk, uk)}≤ max{Kp(uk, uk), p(uk, uk)}
= p(uk, uk)= ruk ≤ p(xk, xk) ≤ρp +1k
≤ρp +1n0
< ρp +(1 − K )ε 3.
这意味着
Uk := p(xk, xk) −p(Txk, Txk) <(1 −K )ε 3
另外,如果k≥n 0 且
p(uk, uk) = ruk ≤ p(xk, xk) < ρp +1k< ρp +1n0,
意味着
p(uk, uk< ρp +(1 − K )ε 3.
现在,对于每个m,n≥n 0,它遵循从 p(uk, Tuk) = p(uk, uk)所有k = 1、2。

那
p(um, un) ≤ p(um, Tum) + p(Tun, un) + p(Tum, Tun) − p(Tum, Tum) −(Tun, Tun)= Um + Un + p(Tum, Tun)
≤ 2(1 − K )ε3+ p(Tum, Tun). （6）
另一方面,我们有
p(Tum, Tun) ≤ max{ap(um, un), bp(Tum, um), cp(Tun, un), d[p(Tu n, um) + p(un, Tum)], p(um, um), p(un, un)}
= max{ap(um, un), d[p(Tun, um) + p(un, Tum)], p(um, um),
p(un, un)}
此外,它遵循
p(Tun, um) ≤ p(Tun, un) + p(um, un) − p(un, un) = p(um, u
n
和
p(un, Tum) ≤ p(Tum, um) + p(um, un) − p(um, um) = p(um, un)
那
p(Tum, un) + p(um, Tun) ≤ 2p(um, un)
因此
max{ap(um, un), d(p(Tun, um) + p(un, Tum)), p(um, um), p(un, u
n)}≤ max{ap(um, un), 2dp(um, un), p(um, um), p(un, un)} ≤ max{Kp(um, un), p(um, um), p(un, un)} （7）从(6)和(7),我们获得
p(Tum, Tun) ≤ max{Kp(um, un), p(um, um), p(un, un)}
结合上面的不平等和（5）,我们得到
p(um, un≤ 21 − K )ε3+ max{Kp(um, un), p(um, um), p(un, u)}.
这意味着
p(um, un) ≤ maxKp(um, un) +2(1 − K )ε3, p(um, um) +2(1 − K )ε
3
, p(un, un) +2(1 − K )ε 3
ρp = p(um, un) ≤ max2ε3, p(um, um) +2(1 − K )ε3, p(un, un+2(1 − K )ε 3 ≤ max2ε3, ρp + (1 − K )ε
≤ max2ε3, ρp + ε= ρp + ε.
因此lim n→∞p(um, un) = ρp。

因此{un}是一个柯西序列。

因为(X,p)是完全的,存在y∈Xun →y为n→∞，那是
p(y, y) = limn→∞p(un, y) = limm,n→∞p(un, um) = ρp
因此X y∈ p或X P =∅。

现在,如果y∈X p然后存在u∈X,这样ry := p(u,u)= p(Tu,u),有u = limn→∞ Tny。

我们有
ρp ≤ p(Tu, Tu) ≤ p(Tu, u) = p(u, u) = ry ≤ p(y, y) = ρp
由此可见,p(u,u)= p(Tu,u)= p(Tu, Tu)或Tu = u。

为完成证明,我们必须表明,如果u,v∈X P 都是T u = v 的定点.事实上,它遵循从Tu= u,T v = v和p(u,u)= p(v,v)=ρ p,那
p(u, v) = p(Tu, T v)
≤ max{ap(u, v), bp(u, Tu), cp(v, T v), d(p(u, T v) + p(v, Tu)), p(u, u), p(v, v)}
≤ max{Kp(u, v), p(u, u), p(v, v)}.
这意味着
(1 − K )p(u, v) ≤ 0 或p(u, v) ≤ p(u, u) = p(v, v) = ρ
p. 如果(1 − K )p(u, v) ≤ 0 然而p(u, v) = 0,结果
u = v. 如果 p(u, v) ≤ p(u, u) = p(v, v) = ρ
p然而 p(u, v) = p(u, u) = p(v, v), 结果 u = v.
评论2.2
定理2.1并不意味着固定点T的唯一性。

在接下来的定理和推论, 定点的惟一性在更强的条件下满足。

定理2.3。

让(X,p)是一个完整的部分度量空间和T:X→X 自映射，这样对于所有X,y∈Xp(Tx, Ty) ≤ M(x, y) （8）有
M(x, y) = max{ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)], ep(x, x), fp(y, y)}
对于一些a、b、c、2d,e,f∈(0,1)。

然后,有一个唯一的z∈X，Tz =z 。

证明，让x 0∈X，序列{ X n }被定义为
xn = Txn−1, 对所有 n = 1, 2, . . . .
如果 xn0= xn0+1对于一些n0≥0,然后通过定义{ xn } T有一个定点。

假设x n= x n + 1 对于任何n≥0,然后通过引理1.6,p(x n,x n + 1)> 0 n≥0。

由于(8)我们有
p(Txn, Txn+1) ≤ M(xn, xn+1) （9）
有
M(xn, xn+1) = max{ap(xn, x+1), bp(xn, Txn), cp(xn+1, Tx+1),d[p(xn, Txn+1)+ p(xn+1, Txn)], ep(xn, xn), fp(xn+1, xn+1)}.
我们逐项地检查所有可能的情况下为M(x,y)
如果M(x n,x n + 1)= cp(x n + 1,Tx n + 1)= cp(x n + 1,x n + 2)然后(9)产生p(x n + 1,x n + 2)= p(Tx n,Tx n + 1)≤cp(x n + 1,x n + 2)。

这是一个矛盾，从c∈(0,1)。

所以我们忽略这种情况下。

如果M(x n,x n + 1)= d[p(x n,Tx n + 1)+ p(x n + 1,Tx n))然后(9)变成
p(xn+1, xn+2) ≤ d[p(xn, Txn+1) + p(xn+1, Tx)]
= d[p(xn, xn+2) + p(xn+1, xn+1)]
= d[p(xn, xn+1) + p(xn+1, xn+2)].
因此 p(xn+1, x+2) ≤d1−dp(xn, xn+1)
考虑到(P 2) , 我们能够发现
max{ap(xn, xn+1), bp(xn, Txn), ep(xn, xn), fp(xn+1, xn+1)} ≤ rp(xn, xn+1)
有，在r = max { a、b、e、f }。

通过结合所有的情况下,(9)变成
p(xn+1, xn+2) ≤ kp(xn, xn+1) （10）
有 k ∈ {r ,d1−d} 和 0 < k < 1.
因此
p(xn+1, xn+2) ≤ kp(xn, xn+1) ≤ k2p(xn−1, xn) ≤···≤kn+1p(x0,x）. (11）
我们将显示{ x n }是一个柯西序列。

没有普遍性的损失,我们假设n > m。

然后,一起使用(11) 与三角不等式(P4)，我们得到
0 ≤p(xn, xm) ≤ p(xn, xn−1) + p(xn−1, xn−2) + + p(xm+1, xm)−[p(xn−1, xn−1) + p(xn−2, xn−2) +p(xm+1, xm+1)]
≤p(xn, xn−1) + p(xn−1, xn−2) + + p(xm+1, xm)
≤ [kn−1+ kn−2+km]p(x0, x1)
= km1 − kn−m1 − kp(x0, x1).
因此,limn,m→∞ p(xn, xm) = 0,即{ x n }是一个柯西序列(X,p)。

由命题
1.4,{ X n }也柯西序列，(X,d p)也是。

此外,由于(X,p)是完全,(X,d p)也是完全的。

因此存在z∈X,X 在(X,d n→z p)。

此外, 命题1.4
p(z , z ) = limn→∞p(z , xn) = limn,m→∞p(xn, xm) = 0 (12) 意味着
limn→∞dp(z , xn) = 0. (13) 我们将展示下,z是T的不动点。

请注意,由于(12),我们有p(z,z)= 0。

代替x = x N 和我们得到y = z(8)
p(xn+1, Tz) = p(Txn, Tz) ≤ M(xn, z ), (14) 有M(xn, z ) = max{ap(xn, z ), bp(xn, Txn), cp(z , Tz), d[p(xn,Tz)+p(z , Txn)], ep(xn, xn), fp(z , z )}
以限制为n→∞,使用(12)和我们获得有关引理1.5
p(z , Tz) ≤ M(z , z ), (15) 有 M(z , z ) = max{ap(z , z ), bp(z , z ), cp(z , Tz), d[p(z , Tz) + p(z , z )], ep(z , z ), fp(z , z )}.
关于(12),我们有M(z,z)= cp(z,Tz)或M(z,z)= dp(z,Tz)。

在任何情况下,我们得到了p(Tz,z)= 0。

由引理1.6, Tz =z
我们断言,z是唯一的定点。

相反假设存在w∈X,T w = w
p(z , w) = p(Tz, T w) ≤ M(z , w), (16) 有
M(z , w) = max{ap(z , w), bp(z , Tz), cp(w, T w), d[p(z , T w) + p(w, Tz)], ep(z , z ), fp(w, w)}
= max{ap(z , w), bp(z , z ), cp(w, w), d[p(z , w) + p(w, z )], ep(z , z ), fp(w, w)}。

由于b,c,2 d,e,f∈(0,1),通过(P2)的帮助下,不平等(16)使p(z,w)= 0。

由引理1.6得出,z = w。

推论2.4。

让(X,p)是一个完整的部分度量空间和T:X→X 自映射，这样对于所有X,y∈X
p(Tx, Ty) ≤ maxap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)],p(x,x)+p(y,y)2, （17）
有 a, b, c ∈ [0, 1) and d ∈ [0,1/2). 且Xp =x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X }是非空的,有一个唯一的固定点
证明，从 maxap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)],p(x, x) + p(y, y)2 max{ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x), p(y, y)}
和应用定理2.1,它仍然是表明这个定点的唯一性。

如果u、v 是T的固定点，然后通过(17),我们获得
p(u, v) = p(Tu, T v)
≤ max ap(u, v), bp(u, Tu), cp(v, T v), d p(u, Tv)+ p(Tu, v),p(u,u) + p(v, v)2
max Kp(u, v),p(u, u) + p(v, v)2.
这意味着
p(u, v) = 0 or p(u, v) ≤p(u, u) + p(v, v)2.
如果p(u,v)= 0然后u = v .如果p≤(u,v) p(u,u)+ p(v,v) 2 然后d p(u,v)= 2 p(u,v)−p(u,u)−p(v,v)= 0,这是u = v .证明就完成了。

推论2.5。

让(X,p)是一个完整的部分度量空间和T:X→X 自映射，这样对于所有X,y∈X
p(Tx, Ty) ≤ max{ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)]}, (18）
有a, b, c ∈ [0, 1) and d ∈ [0,12). 且 Xp =x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X }是非空的,有一个唯一的的固定点。

以下结果是主要推论定理2.1的。

请注意,这是[7]的主要结果。

推论2.6([7])。

让(X,p)是一个完整的部分度量空间和T:X→X 自映射，这样对于所有X,y∈X
p(Tx, Ty) ≤ max{ap(x, y), p(x, x), p(y, y)}, (19) 有 a ∈ [0, 1). 即
(1) Xp =x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X }
(2) 有唯一的u ∈ Xp 因此 Tu = u
必然的结果是由于[6]
推论2.7([6])。

让(X,p)是一个完整的部分度量空间和T:X→X 自映射，这
样对于所有X,y∈X
p(Tx, Ty) ≤ ap(x, y) + bp(Tx, x) + cp(y, Ty) + d(p(Tx, y) + p(x, Ty))
(20)
有 a + b + c + 2d < 1, and a, b, c , d ≥ 0. 且T 有唯一的定点
我们还得到另一个结果从定理2.3。

这是一个推论2.7的泛化。

推论2.8。

让(X,p)是一个完整的部分度量空间和T:X→X 自映射，这样对于
所有X,y∈X
p(Tx, Ty) ≤ ap(x, y) + bp(Tx, x) + cp(y, Ty) + d[p(Tx, y) + p(x, Ty)]
+ ep(x, x) + fp(y, y) (21)
有 a + b + c + 2d + e + f < 1, and a, b, c , d, e, f ≥ 0. 且 T 有
唯一定点。

下面的例子是一个我们扩展的说明：
例 2.9.让 X := [0, 1] ∪ [2, 3] 并且定义 p : X × X → R
p(x, y) =|x − y| if {x, y} ⊂ [0, 1]
max{x, y} if {x, y} ∩ [2, 3] = ∅.
容易检查(X,p)是一个完整的部分度量空间。

让T:X→X像下面方式一样被定
义
Tx =12如果 0 ≤ x < 114
如果 x = 1 or 2 ≤ x ≤ 3.
很容易看到1 /2是 T唯一的的定点。

我们得到T不满足我们的统计推论
2.6。

实际上,对于任何3 4 ≤x < 1, 我们有
p(Tx, T 1) =12−14=14
有 max{ap(x, 1), p(x, x), p(1, 1)} = max{a|x − 1|, |x − x|, |1
− 1|} = a|x − 1| <14
所有x∈(0,1),这意味着
max{ap(x, 1), p(x, x), p(1, 1)} > p(Tx, T 1)
或(19)不满足条件。

接下来,我们将显示,T满足定理2.1 1 3 < a、b、c、2
d < 1。

更准确地说,我们需要检查条件(1),如果x,y∈(0,1)
p(Tx, Ty) = 0 ≤ max{ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), dp(x, Ty) + p(y, Tx), p(x, x), p(y, y)}.
如果x = y = 1,那么条件(1)很简单。

如果y = 1,x∈(0,1)
p(Tx, T 1) =12−14=14
有
max{ap(x, 1), bp(x, Tx), cp(1, T 1), d[p(x, T 1) + p(1, Tx)], p(x,
x), p(1, 1)}= max a|x − 1|, b x −12, c 1 −1, d x −14
+ 1 −12>34c >14,
且
max{ap(x, 1), bp(x, Tx), cp(1, T 1), d[p(x, T 1) + p(1, Tx)], p(x, x), p(1, 1)} > p(Tx, T 1).
如果{x, y} ∩ [2, 3] = ∅且
max{ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x), p(y, y)} ≥ max{p(x, x), p(y, y)} ≥ 2
和
p(Tx, Ty) ≤ 1.
从而,条件(1)满足。

因此,我们可以为定点T应用定理2.1 。