2019届甘肃省民乐张掖二中高三上学期第一次调研考试12月数学理试题

2019届甘肃省民乐一中、张掖二中高三上学期第一次调研考
试（12月）数学（理）试题
一、单选题
1．设1z i =-，（其中i 为虚数单位， z 是z 的共轭复数），则z
zi i
+=（ ） A ．2 B ．2i + C ．2i -+ D ．-2 【答案】D
【解析】∵1z i =- ∴1z i =+ ∴
()11112z i zi i i i i i i
-+=++⨯=--+-=- 故选D
2．已知集合，集合，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】∵集合
∴集合
∵集合
∴集合 ∴ 故选A 3．已知数列为等差数列，且满足
，若，点为直
线
外一点，则
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】A 【解析】∵
， ∴
，
即，又∵，
∴，∴.
4．过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点，若，则
中点到抛物线准线的距离为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】抛物线的焦点F（1，0），准线方程为 x=-1，由中点坐标公式可得M的横坐标，由此求得点M到抛物线准线的距离.
【详解】
由抛物线的方程y2=4x可得p=2，故它的焦点F（1，0），准线方程为x=-1．由中点坐标
公式可得PQ的中点M（,），由于x1+x2=6，则M到准线的距离为+1=4.故选：C．
【点睛】
本题主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．
5．已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B．【考点】1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．8 3
B．
16
3
C．
20
3
D．8
【答案】B
【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：
∴该几何体的体积
116
82
33
V=⨯⨯=
故选B
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
7．
5
1
2
a
x x
x x
⎛⎫⎛⎫
+-
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40
【答案】D
【解析】令x=1得a=1.故原式=
5
11
()(2)
x x
x x
+-。

5
11
()(2)
x x
x x
+-
的通项
521552
155
(2)()(1)2
r r r r r r r
r
T C x x C x
----
+
=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D
解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出
1
x；若第1个括号提出
1
x，从余下的括号中选2个提出1
x，选3个提出x.
故常数项=
22332233
5353
111
(2)()()(2)
X C X C C C X
X X X
⋅⋅-+⋅-⋅
=-40+80=40
8．2020年东京夏季奥运会将设置4100
⨯米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由一名运动员完成，每个运动员都要出场. 现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自
由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（ ）种兵布阵的方式. A ．6 B ．12 C ．24 D ．144 【答案】A
【解析】 由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有2
22A =种安排方法，其他两名运动员有2
22A =种安排方法，共计224⨯=种方法；
若甲运动员承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有2
22A =种安排
方法，共计2种方法，
所以中国队共有426+=种不同的安排方法，故选A.
9．已知函数，若
，则
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】分类讨论：当2-a≥2，即a≤0时，-1=1，从而f （a ）=f （-1）=-2；当
2-a ＜2时，得a=-，不成立，由此能求出结果． 【详解】
当2-a≥2，即a≤0时，
-1=1，解得a=-1，则f （a ）=f （-1）=-log 2[3-（-1）]=-2，
当2-a ＜2，即a ＞0时，-log 2[3-（2-a ）]=1，解得a=-，舍去．∴f（a ）=-2． 故选：C ． 【点睛】
本题考查函数值的求法，考查分类讨论思想，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．
10．若函数()()sin 2()2f x x π
φφ=+<
的图像关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，且当127,,
1212
x x ππ
⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时， ()()120f x f x += ()12x x ≠，则()12f x x +=（ ） A ．3 B ．22- C ．22
D 3
【答案】A
【解析】∵令2x k φπ+=，解得2
k x πφ
-=
∴()f x 得对称中心为2
k x πφ
-= 令32k ππφ-=，解得323
k ππφ-= ∵2π
φ<
∴3
π
φ=
∴()sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭ ∵1x ， 27,1212
x ππ
⎛⎫∈
⎪⎝⎭
∴132,322x π
ππ⎛⎫
+
∈ ⎪
⎝⎭， 232,322
x πππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
∵()()120f x f x += ()12x x ≠ ∴1223
x x π+=
∴()12253
sin 2sin 333f x x πππ⎛⎫+=⨯+==-
⎪⎝
⎭ 故选A
11．在平面直角坐标系中,双曲线的右焦点为F,一条过原点O 且倾斜角为锐角
的直线与双曲线C 交于A,B 两点，若△FAB 的面积为
，则直线的斜率为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】设直线l 的方程为y=kx ，代入双曲线，求得x 2-3k 2x 2=12，求得A ，B 的横坐标，代入直线方程求得，求得其纵坐标，求出A ，B 纵坐标差的绝对值，根据△FAB 的面积为8
，即可求出直线的斜率.
【详解】
双曲线C ： 的右焦点为F （4，0）．设直线l 的方程为y=kx ，代入 ，
整理得x 2-3k 2x 2=12，∴x=± ，∴A，B 纵坐标差的绝对值为2k ,∵△FAB 的
面积为8 ，∴ =8 ,∴解得：k=．
故选：B ． 【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．已知定义在上的函数
是奇函数，且满足，
，数列
满足
且
，则
（ ）
A ．-2
B ．-3
C ．2
D ．3 【答案】B
【解析】根据条件判断函数的周期是6，利用数列的递推关系求出数列的通项公式，结合数列的通项公式以及函数的周期性进行转化求解即可． 【详解】 函数
是奇函数，所以
,又因为
,所以
,所以
,即
所以函数
的周期为6,因为
且
，所以,利用累乘法得出
即
，所以
又
因为，
，所以
f(-1)=-3.
故选B . 【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，周期性，利用累乘法求数列通项，属于中档题.
二、填空题
13．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若060B =， 2c =， 23b =，则
a =__________．
【答案】4
【解析】根据余弦定理2222cos b c a ac B =+- ∵060B =， 2c =， 23b = ∴2a = 故答案为4
14．抛物线2
2y x x =-+与x 轴围成的封闭区域为M ，向M 内随机投掷一点(),P x y ，
则y x >的概率为__________． 【答案】
1
8
【解析】
图中阴影的面积为
()()1
1
2
2
3200
11112|0326x x x dx x x dx x x ⎛⎫-+-=-+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰ ，而抛物线于x 轴所为成的面积为()2
2
320214
2|033x x dx x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭⎰，所以
1
16483
P == ，故填： 1
8 .
【点睛】本题考查了几何概型，以及利用定积分求面积，利用定积分求面积第一个步骤需画出函数图像，第二步找到被积函数以及被积区间，最后根据定积分的计算公式计算. 15．已知,,,A B C D 四点在球O 的表面上，且2AB BC ==， 22AC =ABCD 的体积的最大值为4
3
，则球O 的表面积为__________．
【答案】9π
【解析】设ABC ∆的外接圆圆心为'O ∵2AB BC ==， 22AC =∴90ABC ∠=︒ ∴点'O 为AC 的中点 ∴OO '⊥平面ABC
∵设直线'OO 交球O 于1D 和2D ，不妨设点O 在线段1'O D 内 ∴1'O D 为四面体D ABC -高的最大值 ∴1112323D ABC V AB BC h h -⎛⎫
=⨯⋅= ⎪⎝⎭
∵由题意知
24
33
h ≤，即2h ≤，当且仅当D 与1D 重合时D ABC V -取最大值，此时2h = 由()()
2
2
2
2h R R -+=得22
2h R h
+=
∴32
R =
∴249S R ππ== 故答案为9π
点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD 的体积的最大值，是解答的关键．
16．已知则的大小关系是__________．
【答案】
【解析】构造函数
,求导分析单调性即可比较出a 与b 的大小，结合
三角函数线可得出b 与c 的大小. 【详解】
令，则 当0<x<1时，x<tanx,所以
所以f(x)在（0，1）上单调递减，所以，即<b ；又由
三角函数线可知，所以<,即.
故答案为.
【点睛】
本题考查了构造函数法比较大小，其中用到了放缩判导函数的正负，这是关键所在，也是难点所在，也考查了三角函数线的应用，综合性强.
三、解答题
17．已知数列{}n a 满足2n n S a n =- ()
*n N ∈. （1）证明： {}1n a +是等比数列；
（2）令1
2n
n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）见解析（2）1
112
1
n +-
-
【解析】试题分析：（1）由数列{}2n n n a S a n =-满足，求出通项公式n a 和1n a -的关系，由此判断1n a +是否为等比数列；（2）由（1）可知数列{}n a 的通项公式，代入
1
2n
n n n b a a +=
可知n b 的通项公式，通过裂项相消法算出{}n b 的前n 项和n T 。

试题解析：（1）由1121S a =-得： 11a =
∵()()()
11221n n n n S S a n a n ---=---- ()2n ≥， ∴121n n a a -=+，从而由()1121n n a a -+=+得
11
21
n n a a -+=+ ()2n ≥，
∴{}1n a +是以2为首项， 2为公比的等比数列．
（2）由（1）得21n
n a =-
∴()()
122121
n n n n
b +=--，即111
2121n n n b +=--- ， ∴11111
113372121n n n T +⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11121n +=--．
点晴：本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)
()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
；
（2）
1
k =
； （3）
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫=-
⎪-+-+⎝⎭
；
（4）
()()()()()1111
122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦
；此外，需注意裂项之后相消的过程
中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
18．在一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次，在A 处每投进一球得3分；在B 处每投进一球得2分．如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次．某同学在A 处的投中率10.25q =，在B 处的投中率为2q ，该同学选择先在A 处投第一球，以后都在B 处投，且每次投篮都互不影响，用X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：
（1）求2q 的值；
（2）求随机变量X 的数学期望()E X ；
（3）试比较该同学选择上述方式投篮得分超过3分与选择都在B 处投篮得分超过3分的概率的大小．
【答案】（1）0.8（2）3.63（3） 该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大 【解析】试题分析：（1）根据()()()2
120110.03P X q q ==--=，解得20.8q =；（2）根据相互独立事件概率计算公式，计算得23450.24,0.01,0.48,0.24P P P P ====，由此计算得期望为3.63；（3）用C 表示事件“该同学在A 处投第一球，以后都在B 处投，得分超过3分”，用D 表示事件“该同学都在B 处投，得分超过3分”，计算得
()()0.72,0.896P C P D ==, ()()P D P C >.
试题解析：
（1）由题意可知， 0X =对应的事件为“三次投篮没有一次投中”， ∴()()()2
120110.03P X q q ==--=， ∵10.25q =，解得20.8q =； （
2
）
根
据
题
意
()1
1220.750.20.80.24p p X C ===⨯⨯⨯=，
()2230.250.20.01p p X ===⨯=，
()2340.750.80.48p p X ===⨯=， ()450.24p p X ===，
∴()00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
（3）用C 表示事件“该同学在A 处投第一球，以后都在B 处投，得分超过3分”，用D 表示事件“该同学都在B 处投，得分超过3分”，
()()()()2
12
2
450.48240.80.20.80.896
P C P X P X P D C ==+====+⨯⨯=，∴()()P D P C >，
即该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率的大于该同学在A 处投第一球，以后都在B 处投，得分超过3分的概率． 【考点】二项分布．
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形， //AB CD ， AB AD ⊥，
26
2CD AB ==， PAB ∆与PAD ∆均为等边三角形，点E 为CD 的中点.
（1）证明：平面PAE ⊥平面ABCD ；
（2）试问在线段PC 上是否存在点F ，使二面角F BE C --3
，若存在，请确定点F 的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析（2）点F 为PC 的中点
【解析】试题分析：（1）连接BD ，根据题设条件可证四边形ABED 为正方形，即可得BD AE ⊥，设BD 与AE 相交于点O ，根据△PAB 与△PAD 均为等边三角形可证PB PD =，即可证BD PO ⊥，从而证明平面PAE ⊥平面ABCD ；
（2）由题设条件及（1）可知，建立以点O 为坐标原点， OA 为x 轴， OB 为y 轴， OP 为z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF 和平面BCE 的一个法向量，结合二面角
F BE C --3
F 的位置. 试题解析：（1）证明：连接BD ，由于AB ∥CD ，点E 为CD 的中点， DE AB =，
AB AD ⊥
∴四边形ABED 为正方形，可得BD AE ⊥ 设BD 与AE 相交于点O
又∵△PAB 与△PAD 均为等边三角形 ∴PB PD =
在等腰△PBD 中，点O 为BD 的中点
∴BD PO ⊥，且AE 与PO 相交于点O ，可得BD ⊥平面PAE 又∵BD ⊂平面ABCD
∴平面PAE ⊥平面ABCD ．
（2）由262CD AB ==，△PAB 与△PAD 均为等边三角形，四边形ABED 为正方形， BD 与AE 相交于点O ，可知3OA OP ==， 32PA =，所以PO AO ⊥，又平面PAE ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点， OA 为x 轴，
OB 为y 轴， OP 为z 轴建立空间直角坐标系．
可得()0,3,0B ， ()0,0,3P ， ()3,0,0E -， ()6,3,0P -
设点F 的坐标为(),,x y z ， PF PC λ=，由()3PF x y z =-，，， ()633PC =--，，，可得()6,3,33F λλλ--，故 ()63333BF λλλ=---，，， ()330BE =--，，
设111m x y z =
（，，）为平面BEF 的一个法向量，则
0{
m BF m BE ⋅=⋅=，得1131m λλλ=---（，，），平面BCE 的一个法向量为()001n =，，，
由已知,m n cos m n
m n ⋅=
⋅ ==1
2λ=
所以，在线段PC 上存在点F ，使二面角F BE C --F 为PC 的中点．
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
20．已知椭圆E ： 22221(0)x y a b a b
+=>>，且点()0,1A 在椭圆E 上.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）已知()0,2P -，设点()00,B x y （00y ≠且01y ≠±）为椭圆E 上一点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线,AB AC 分别交x 轴于点,M N ，证明： OPM ONP ∠=∠.（O 为坐标原点）
【答案】（1）2
214
x y +=（2）见解析
【解析】试题分析：（1）()0,1A 在椭圆E 上即可得椭圆E 的方程；（2）根据对称性得()00,C x y -，即可得直线AC 与直线AB 的方程，从而求得M 和N 坐标，进而推出
OM OP OP
ON
=
，即可证明OPM ONP ∠=∠.
试题解析：（1）由已知得： 1b =，
c a =又∵222a b c =+
∴2
4a =，
∴椭圆E 的方程为2
214
x y +=． （2）∵点B 关于x 轴的对称点为C
∴()00,C x y -， ∴直线AC 的方程为0
11y y x x +=-
+，令0y =得00,01x N y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
； 直线AB 的方程为001
1y y x x -=
+，令0y =得00,01x M y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭
． ∵2
0002
00
0111x x x OM ON y y y ⋅=⋅=+--，而点()00,B x y 在椭圆22
14x y +=上， ∴22
0014x y +=，即： 2
020
41x y =- ∴2
4OM ON OP ⋅==，即OM OP OP
ON
=
∴Rt OPM Rt ONP ~， ∴OPM ONP ∠=∠．
21．已知函数．
（1）若函数在
处的切线平行于直线
，求实数a 的值；
（2）判断函数
在区间
上零点的个数；
（3）在（1）的条件下，若在上存在一点，使得成立，
求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）时，在无零点；时，在
恰有一个零点；时，在有两个零点（3）或
【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义，得，；（2）函数的零点个
数等价于两个函数的交点的个数，即与
的交点个数；（3）不等式能成立问
题转化为函数的最值问题. 试题解析：
（Ⅰ）,函数在处的切线平行于直线
..
（Ⅱ）令，得
记，由此可知
在上递减，在上递增，
且时
故时，在无零点
时，在恰有一个零点
时，在有两个零点
（Ⅲ）在上存在一点,使得成立等价于函数
在上的最小值小于零.
,
①当时,即时,在上单调递减,所以的最小值为,由
可得,；
②当时,即时,在上单调递增,所以的最小值为,由
可得；
③当时,即时,可得的最小值为
此时,不成立.
综上所述:可得所求的范围是或
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为(t为参数)，直线的参数方程
为(为参数)．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线
(1)写出的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x-2）①与x=-2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x2-y2=4；
(2)将l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）-=0化为普通方程：x+y-=0，再与曲线
C的方程联立，可得，即可求得l3与C的交点M的极径为ρ=．
【详解】
(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；
消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．设P(x，y)，由题设得
消去k，得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，
联立得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．
故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5，所以l3与C的交点M的极径为.
【点睛】
本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题．
23．已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）最小值为（2）
【解析】试题分析：（1）利用绝对值的意义，写出函数的解析式，即可求得的最小值；（2）由不等式恒成立，得
恒成立，令，则恒成立，即可求得实数的取值范围.
试题解析：（1），
所以，时，取最小值，且最小值为
（2）由，恒成立，得
恒成立，即恒成立，
令，则恒成立，
由（1）知，只需
可化为或或，
解得，
∴实数的取值范围为
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。