微积分公式手册

导数公式:
(tgx)f = sec2 % (ctgx)f = -CSC2X (SeCXy = SeC X ∙%gx (CSCXy =-cscx∙ CtgX (a x), = a x lna
(Ioga X)' = -γ-
xlna (arcsin x)' = / 1
Nl-X2 / V 1 (arccosx)=——
1=
/ 、， 1 {arctgx)=-―-
1 + x
, 、, 1 {arcctgx)= -------- --
1 + x 微积分公式
基本积分表：
^tgxdx = - ln∣cos
x∣ + C
dx = ln∣sin x∣ + C
ʃsee xdx = ln∣sec x + ⅛Λ∣+
C ʃese xdx = ln∣csc x -
c⅛x∣ + C P ax f 2 j ∕-ι
---- -= sec xdx = tgx j cos X J
r ax f 2 j「-= esc xdx = -ctgx + C J sin x J
Jsecx√gΛzZ
x
= SeCX +
C
dx
2
a +x'
dx
2 x -a
,2
∣∙ dx
J -2 2
J a -x
dx
2 -X2Leg-
a a
1 1x — a C —— ----- +C 2a x + a
1 1 a + x C —— ----- + C 2a a-x
•X C =arcsin—+ C
2
a ʃese x ∙ ctgxdx = - esc x + C
∖a x dx = ———
I-C
J InQ
^shxdx = chx +
C
fc/zxt/x = ShX +
C
π2^ π2^
I n= ∫sinπXdX= ∫cos n xdx =F1n-2
n
_________ ____________________ 2 __________ JJ/ + 〃2 dχ = — NX2+ ɑ` + In(X + Jx.+ a?) + C
I_________ U I __________________ C 2 I _________
JJχ2 —a1dx = jʌ/ɪɪ
JΛ∕G,2 -X2dx= ɪvɑɪ三角函数的有理式积分：
2
_____ 2
2 a . 工 .
-x H ----- arcsin—+ C
. 2ιι 1 — U2 smx = ------ -, cos% =------- y
1 + 〃 1 + w
7 2du
ax = ---- -
I + /
l-x2
和差角公式： •和差化积公式：
sin(a ± /?) = SinaCOs 〃 ± cos a sin β COS(O ±β) = cos a cos β μsina sin β
fg(a±0 =产吗 lμtga -tgβ ct g (a±^=ctga -ctgβμi ctgβ±ctga
sin a + sin 尸=2 sin ，+ 2 cos —~~—
2 2
• ∙ n ɔ a-∖-β . a -β
sin a-smp =2 cos ------- - sin ....... -
2 2 o C CC + β
CC- β cos a + cos p = 2 cos --- - cos ....... -
2 2 .a-∖- β . a — β
cos a - cos p = 2 sin ------ sin -------
2 2
一些初等函数: 两个重要极限:
双曲正弦：MX=e 1 2 双曲余弦:MX= e'+e '
2 r/y Y PX -f> ~x
双曲正切：防X =更竺=
chx e x +e x
arshx = ln(x + √x 2 +1) archx = ±ln(x + √x 2 -1) Iim x→0
sιnx =1
lim(l + ⅛ = e = 2.718281828459045 (x)
→∞ x
三角函数公式:
•诱导公式：
•倍角公式:
Jl
•反三角函数性质： arcsinx = ------ a rccosx
2
高阶导数公式——莱布尼兹(LeibniZ)公式:
（MV ）⑺=£c ；a （T ）v ⑹ k=0
=+ + 〃（〃 T ）M （"-2）V 〃 +A + 〃（〃 T ）A （〃T +1） Ii fG ） +A
+uv w
k ∖
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：/(⅛)-∕(α) = ∕W(⅛-α) 柯西中值定理：‘3卜=/地
F(b)-F(a) Pe)
当F(X) = X 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：
弧微分公式：ds = 1∖ + y2rfx,其中V =火。

直线：K = O; sin 2a = 2 sin a cos a
cos la-2 cos 2 a-l = l-2 sin 2 a - cos 2 a - sin 2 a ctg2a =
tg2a =
ctg 2a-l
2ctga 2tga
sin 3。

= 3 sin4 sin 3 a cos 3a = 4 cos 3 a-3 cos a 火 ∖-3tg 2a
l-tg 2a
l + cos6jf l + cos6Z Sina
I-COSa Sina I-COSa ・余弦定理：c
2
=a 2+ b 2 - lab cosC
π
arctgx = -- arcctgx
平均曲率:斤= Aa
^ΔΓ
△a:从M 点到点，切线斜率的倾角变化量；∆s:
弧长。

M 点的曲率：K = Iim
ASfO AS
da ds
1/1
7（1+/2）3-
2!
半径为a 的圆: κ=- a
•半角公式:
SinA SinB SinC
a cos —=
± 2
a
熊5 = ±
定积分的近似计算：
b
1 _
矩形法：J7(x)«—^(y0 + % +Λ +y,τ) a 梯形法：J7(χ) ≈
+ y n ) + y 1 +A + y“_J
a
b
b _
抛物线法:J∕(x) ≈ V⅛(¾, + % ) + 2(% + J 4 +ʌ + %.2)+ 4(% + 为 +A + y…_i)] a
定积分应用相关公式：
功：W = Fs 水压力：F = p∙ A
引力：F =k 吗为引力系数 r _ 1
b
函数的平均值:y=—— ∖f{x}dx b -a a
空间解析几何和向量代数：
空间2 点的距离：d = Ml “21 = J(X 2 — %1)2 +(乃一%)2 +口2 — Zi J 向量在轴上的投影：Pr j u AB-∣AB ∣∙ CoSe ,0是获与ɑ轴的夹角。

n . z W 8、 n ∙8 n B
Pr ；…(«i +«2) = Pr√01 + Prya 2 CoSe = a x b x + a y b y + 4瓦，是一个数量,
向量的混合积：［需由=(α×⅛)∙c j =
代表平行六面体的体积。

W 7w a`b - 两向量之间的夹角：cos 。

=
2 l
2 l
2 a x +a y +a z
w w ɪʊ c =a×b =
乐
b,
线速度：v = w×n
c x c y
f ∖t)dt
均方根:
平面的方程：
1、点法式：A(x-x 0)+ β(y -y 0) +C(Z-Z 0) = O,其中超={A,B,C},Λ/O(XO ,九逐。

)
2、一般方程：Ax + By + Cz + D = Q
3、截距世方程-+ * +二=1
a b c 平面外任意一点到该平面的距离：3」4。

+为。

+±必
√A 2+β2+C 2
X = X Q +mt
空间直线的方程:口L
=匕西= =ι = t,其中7={%〃M};参数方程:y = y 。

+m m n p
[z = Zo+p∙
二次曲面：
2 2 2
1、椭球面邑+2+:=1
a b~ c
2
2
2、抛物面:二+ 二 = z,(p,q 同号)
2p 2q
3、双曲面：
2
2
2
单叶双曲面：二+2-彳=1
a b c 2
2
2
双叶双曲面:二-2r + J = l(马鞍面)
a b^^ c
多元函数微分法及应用
入诬八 j OZJ ∂z , j ∂u ,
∂u . Su ,
⅛& 1 戒 刀：dz = — dx H
dy ----------------- d u — — dx H dy H
dz
∂x ∂y
∂x ∂y ∂z
全微分的近似计算：Az≈dz = f x (x, y)∆x + f y (x, y)∆y 多元复合函数的求导法：
dz z = f[u(t ∖v{t}} -ɪ dt z = f[u(x 9y ∖v(x 9 y)] SZ ∂u ∂z ∂v ∂u ∂t ∂v ∂t
⅛ _ 包+包包
∂x ∂u ∂x ðv ∂x
当"二w(x, y), V = V(X, y)时,
∂v ∂v dv =——dx-∖ dy
∂x ∂y dy _ F x d~y ∂ F x ∂ F x dy dx F y dx 1 ∂x F y ∂y F y dx ⅜ _ F x SZ _ Fy ∂x FJ ∂y F z
7 ∂u 1 ∂u 1
du = — dx H -- dy
∂x ∂y 隐函数的求导公式: 隐函数下(x,y) = 0, 隐函数歹(X,y,z) =
O,
∂F
Sv
F F _ U V ∂
G ~ G G U V
∂v
曲面尸(x,y,z) = 0上一点M(XO ,y 0,z 0),则：
1、过此点的法向量：n = {F x (x 0,y 0,Z 0),F y (x 0,y 0,z 0),F z (x 0,y 0,Z 0)}
2、过此点的切平面方程：F v (x o ,y o ,z o )(x-x o ) + F γ(x o ,y o ,z o )(y-y o ) + F j (x o ,y o ,z o )(z-z o ) = O
3、过此点的法线方程:一口一=—匕为一=一二— 工(Xo ，方，
Zo) 「(/，九，ZO) F^x 0,y 0,z 0)
方向导数与梯度：
函数Z = /(x, y)在一点P(X, y)沿任一方向/的方向导数为:曰~ = geos^ + gsin0 ∂l ox ∂y 其中。

为X 轴到方向/的转角。

函数Z = /(x, y)在一点P(X, y)的梯度：grad∕,(x, y) = *产+ g 了 ∂x ∂y
它与方向导数的关系是:更= grad∕(X,y)∙双 其中J J =COS9∙f 1+sin9∙/为/方向上的 cl 单位向量。

.•.工是8出U«)0在/上的投影。

∂l
多元函数的极值及其求法：
∂u _ 1 d(F,G) ∂v _ 1 g(F,G) ∂x J d(x,v) Sx J δ(w,x) ∂u _ 1 d(F,G) ■ = 1 d(F,G) ^∂y~ J
O(y,v)
Dy J ∂(μ,y}
微分法在几何上的应用：
X = φ(t)
=y-% ，
伉)
空间曲线＜ 三以。

在点加(%"小。

)处的切线方程:三月 小 φ Go) Z = ω(t)
=Z-Z 。

0%) 在点M 处的法平面方程：φ'(t 0XX-x 0) + y∕'(t 0Xy-M )) + a>'(t 0)(z-z o ) = O
FFFF Z Z X X
4
Gy
若空间曲线方程为:JF a ，Z )=°,则切向量产=｛。

[G(x,y,z) = 0 'Gy G 'G 7 GJGX
4 Z
ʌ ʌ
此(Xo ，%)= %(/，%) = 0,令：九(/，%)=4 AC —I 〉。

时尸 <O,(∙Wo)*,? [A 〉。

"。

,
光)为极小值
则：{ AC-1 < O 时， 无极值
AC —I=O 时， 不确定
重积分及其应用:
平面薄片的转动惯量：对于X 轴4 = Jjy2p(χ,y)d cr
,
对于y 轴/V = JjX 2P(X,y)dσ
D
D
平面薄片(位于My 平面)对Z 轴上质点M(0,0,*3 >0)的引力:F={F x ,F y ,F z },其中:
ʃʃʃ/ (%, y, z)dxdydz = ∫∫∫F (r,<9, z)rdrdθdz. Ω
Ω
其中：尸(r,e,z) =/(rcos6∕sin6,z)
X = r sin ¢7 cos
球面坐标，y = rsin¢7sin<9,
dv = rdφ∙rsmφ∙dθ`dr = r 2 smφdrdφdθ
z = rcosφ
2π π r{φ,θ)
ʃʃʃ/(x,y,z)dxdydz = ∫∫∫F(r,^,^)r 2
smφdrdφdθ = ^dθ^dφ ∫F(r,^,^)r 2 sinφdr
Ω
Ω
重心:元$毋M 尸5眇M
f
= ⅛∏∏v '
转动惯量：4 = ∫∫∫(y +z2)"y, I y = ∫∫∫(χ2 + Z I )PdV, Ω
Ω
曲线积分:
% (%，y 。

)= B f yy (χ0,y 0)=c
JJ7(χ,y)dχ"y= J∫∕( D
D'
r CoS 8/ sin θ)rdrdθ
平面薄片的重心：亍=也
M
∫p(x,y)√σ ,
D
∖∖yp{χ,y}d σ D
D
f
夕(χ,y)χ"b d (X 2 + y 2 +a 2
y 柱面坐标和球面坐标：
F v =∕∫∫-^⅛⅛ D (X 2 + y 2 +a 2)2 工一推[[ g)呼
d (X 2 + y2 +Q 2)2 X = rcos6, 柱面坐标:< y = rsin6, Z = Z
其中"=X= JJJ/x/v
Ω
I z = [∫∫(∕ + y2)M
Ω
曲面Z = /(x,y)的面积A
ʃ卜河 x,y)db
D
第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：
设/'(x,y)在L 上连续，L 的参数方程为Jx = 90∣, (α≤f≤0,则: J = Hf) ∫∕(x,y)Λ = J7[9(Q"(f)]J9” (。

+ 联2 (t)dt (α < β) L a 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)： 设L 的参数方程为尸=吗则：
J = Ψ3
β ∫P(x, y)dx + Q(x,y)dy = J{P[9(f)"(Q]9") + Q[9(f )"«)]，(/)}力
L
a
两类曲线积分之间的关系：JPdx + Qdy = ∫(Pcosα + Qcos∕)ds,其中α和/?分别为 L L
L 上积分起止点处切向量的方向角。

格林公式:f- —)rfx6∕y = SPdx + ff(—--)dxdy = SPdx + Qdy
∂x Qy 1 ∂x ∂y * ~
当尸= -y,Q = x,即:半■一?∙ = 2时，得到。

的面积：A = ^dxdy = ɪ(^xdy- ydx ・平面上曲线积分与路径无关的条件：
1、G 是一个单连通区域；
2、P(x,y), Q(x,y)在G 内具有一阶连续偏导数，且义=宜。

注意奇点，如(0,0),应 Sx ∂y 减去对此奇点的积分，注意方向相反！ •二元函数的全微分求积：
在挈=当时，PdX+ Qdy 才是二元函数α(x,y)的全微分，其中： ∂x ∂y
(尤,y)
u(x.y) = ∫P(x, y)dx + 2(x, y)dy,通常设XO= y0 = 0。

(⅞,7o)
曲面积分:
特殊情况:
/
对面积的曲面积分：J∫∕(x,y,z)ds = ∫∫∕[x, y, z(x, j)]ʌ/l + zɪ (x, y) + z y (x, y')dxdy ∑ % 1
对坐标的曲面积分:JJP(X,y,z)dydz + Q(x,y,z)dzdx + R(X,y,z)dxdy,其中：∑
^R{x,y,z)dxdy= ± ʃʃ^[ɪ, y, z(x, y}}dxdy,取曲面的上侧时取正号；
∑D xy
∫∫P(x, y,z)dydz= + ∫∫P[x(y,z), y,z]dydz,取曲面的前侧时取正号；
∑DR
JJQ(X, y, z)dzdx= ± ∫∫2[%, y(z, x), z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。

∑D zX
两类曲面积分之间的关系：Jp O dydZ + Qdzdx + Rdxdy = JJ(PCoSa+。

COS 夕+ Rcos/)ds ∑ ∑高斯公式：
)dv =gPdydZ + Qdzdx + Rdxdy =百(P CoS a+ Q cos β + R cos χ)ds
高斯公式的物理意义 ——通量与散度：
散度:div 俨=M +半+ W ，即：单位体积内所产生的流体质量，若div 俨＜0,则为消失… ∂x ∂y & 通量：JJA ∙ nds = JJA 八ds = JJ(P cos a + Q cos β + R cos χ)ds, 因此，高斯公式又可写成: JJJdiVAdV = ^A n ds
Ω
Σ
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
向量场A 沿有向闭曲线「的环流量+
+ Rfc = J A ∙%S
常数项级数:
等比数歹 U ：l + q +/+Λ +q n ~1 = i-√ 等差数歹 U ：l + 2 + 3+A +π = ɑL±lħ
2
调和级数J + L'A +』是发散的 2 3 n
级数审敛法：
re r z 5P ∂Q ∂R
J
ox oy az LZ
∙z
」,HP j j QQ 8P )dydz + (- ---- -)dzdx + (― ----
⅛ OX OX
-)dxdy = ^Pdx + Qdy + Rdz dydz 上式左端又可写成：。

ɪ ¥ OX dzdx ∂
dxdy
COSa ∂y Q ɪ =∫j∣
⅞ Y OX Γ cos/? ∂ cos/ ∂ 空间曲线积分与路径无关的条件乎，”= ∂y Sz
∂z 旋度：rotA =
∂x P
∂y Q
∂z
R SR ∂Q ∂P^ ∂x
∂x ∂y
1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法)：
2、比值审敛法:
3、定义法： s“ =%+的+A+a“;IimS “存在，则收敛；否则发散。

n-＞∞
交错级数MI-M2 +町-&4 +A (或+M 2-M 3 +Λ ,U n ＞ 0)的审敛法 ---- 莱布尼兹定理:
Un ≥ 〃”上 1 IimM = 0,那么级数收敛且其和$ ≤"ι淇余项项绝对值K 、八 →OO n
绝对收敛与条件收敛：
(1)M 1 +M 2 +Λ + u n +Λ ,其中“0为任意实数；
(2)∣M 1∣ + ∣M 2∣ + ∣M 3∣+Λ +∣w n ∣+Λ
如果(2)收敛，则⑴肯定收敛，且称为绝对收敛级数;
如果(2)发散，而(1)收敛，则称⑴为条件收敛级数。

调和级数:EL 发散，而£匕以收敛； n n
级数:£与收敛； n
1 ∕p ＜l 时发散
P 级数Wm
时收敛 幕级数:
设：夕= Iim 亚^, n→∞ 「＜1时，级数收敛 则＜夕＞1时,级数发散
不确定 设：p = Iim n→∞ TJ 夕＜ 1时, ，则‹ 夕›1时, 级数收敛
级数发散 2=1时，不确定 如果交错级数满足 ≤‰1
ɔ 3 ∕∣χ∣<ι时，收敛于」一 l + x + x~ + X +Λ + x" +ʌ ( 1-X
∖∣χ∣ ≥ 1时，发散
对于级数(3)劭+a/ + %/+A+*x"+A ,如果它不是仅在原点收敛，也不是在全
∕∣x ∣<R 时收敛
数轴上都收敛，则必存在R,使jk ∣>R 时发散，其中H 称为收敛半径。

∖k ∣=R 时不定
/夕 ≠ O 时，R=-
求收敛半径的方法：设Iim® =夕，其中%, %+ι是(3)的系数，贝V 夕=O 时，R = +∞
n \ 夕=+8 时，R = O
函数展开成幕级数：
函数展开成泰勒级数：/(X ) = ∕(X 0)(X -X 0) + ^^(X -X 0)2+Λ +Wo)(χf)"+A 2! n! f (∏+l)r 余项：R n =1一坦2(% —/)/Ija)可以展开成泰勒级数的充要条件是jimT ζ =0 (〃 + 1)! n →∞
Xo=O 时即为麦克劳林公式：/(x) = /(0) + ∕,(0)x + +ʌ +-'(0%"+A 2! n↑
一些函数展开成幕级数：
Z1 . m{m -1) 2 a m(MT)A (m - n +1) “ . (1 + x) =l + mx + - ------- -- % +Λ +— ------ - - ---------- -X +Λ 2! n ∖
欧拉公式：
e ιx = cosx + ιsinx 三角级数：
00
Q OO /Q) = A )+ Z A”sin(w 诩 + 9“) = * + 2 (% cosnx + ⅛n sinnx) n=l 2 ∏=1
其中，Qo=QA0, a n =A n smφn , b n =A n cosφn , ωt = χo
正交性：1,SinX,cosx,sin2x,cos2xA sinnx,cosnxΛ任意两个不同项的乘积在［-肛乃］ 上的积分=0。

傅立叶级数:(-l<x<l) sinx = x--+ --Λ 3! 5!
2〃-1 + (-l)n -1———+Λ (21)! (-∞ <x< +oo)
COSX
=
或<
SinX
Oo
Z (Q〃 cos Tix + b n sin nx), n=∖周期=2万
其中
b n
ɪ兀
=——(X)COS 几
XdX 式-π
ɪ兀
=——^f(x)sinnxdx
冗-π
(〃
=0,1,2Λ )
(〃
=1,2,3A)
11 1 ʌ πγ
! + — + —+A =—
32 528
IllA / 齐+—=一24 1-
1 1 1
F+F+Z7
1 J _____ 1_
2Γ +37-47
+Λ
π
2
+Λ =J相减)
12
正弦级数：α=0, b,
2 π
=—∫∕(x) Sinnxrfx
π 0
n =
1,2,3A
/(x) = WX SinaX是奇函数
余弦级数：b二
0, π
J∕(x)cosnx√x
n =
0,1,2A
/(x) = -y + ^απ cos〃x是偶函数
周期为2/的周期函数的傅立叶级数:
/(X )= + + £(% COS 干+ b" sin 写＞ 周期=2/ 2 〃=1 I I
一阶微分方程：y' = /(%,y)或 P(x, y)dx + Q(x, y}dy = 0
可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy = ∕(χ)dx 的形式，解法： jg(y)dy =∫∕(x)dx 得：G(y) = J F(X)+ C 称为隐式通解。

齐次方程：一阶微分方程可以写成虫= ∕α,y) = 0(χ,y),即写成上的函数，解法： dx X 设α=2,贝IJ 虫= 〃 + x 色，u +四= (P (U),，数=上^分离变量,积分后将工代替”, XdXdXdX X φ(μ)-u x
即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：
1、一阶线性微分方程:包+ P(x)y =。

(X) dx
，当Q(X) = O 时,为齐次方程，y = Ce ∫fwλ ［当。

(x)≠0时，为非齐次方程，y = (jθ(x)e∫P°"dx + C)e ʃ"*""
2、贝努力方程:电∙ + P(x)y = Q(x)y n >(n ≠ 0,1) dx
全微分方程：
如果P(X,y)dx +Q(X,y)dy = 0中左端是某函数的全微分方程，即：
du(x 9 y) = P(X, y)dx + Q(X, y)dy = 0,其中:丁 = P(x 9y),- = Q(x 9y) ∂x
∂y
4(x,y)=。

应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程： 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)y" + py' + qy = 0,其中p,q 为常数；
求解步骤：
1、写出特征方程：(A»2+/ + q = 0,其中厂的系数及常数项恰好是(*)式中y 〃,y ，,y 的系数;
2、求出(A)式的两个根八,2
(〃
=0,1,2Λ )
(〃 =1,2,3A)
d 2y dx 2 + P(χ泮 + Q(χ)y =/(O ax
/(χ)三0时为齐次 /(x)≠0时为非齐次 a n =J∫∕(x) cos^dx 微分方程的相关概念：
y n+ py' + qy = f(χ)>「应为常数
/(x) = e疝&(X)型,2为常数；
/(x) = e^'[P l(x) cos ωx + P n (X) sin 5]型。