【精选】高中数学第二讲讲明不等式的基本方法2.2综合法与分析法2.2.2分析法课后导练新人教A版选修4_5

2.2.2 分析法
课后导练
基础达标
1已知0<b<a<,则,a-b,的大小顺序是( )
A.>a-b>
B.>>a-b
C.>>a-b
D.a-b>>
解析:a,b分别取,
则a-b=-=,=,
=-=.
∴a-b<<
答案:B
2a,b,c是区间(0,1)内三个互不相等的实数,且p=log c,q=,r=log c,则p,q,r的大小关系是( )
A.p<q<r
B.r<p<q
C.p<r<q
D.r<q<p
解析:
q=log c ab=log c,
r=log c,
∵a,b,c∈(0,1),∴∈(0,1).
∴>>(∵a≠b).
又y=log c x在(0,+∞)上为减函数,
故log c<log c<log c,
即r<p<q.
答案:B
3已知a,b∈R+,则-与的大小关系是( )
A.->
B.-≥
C.-≤
D.与a,b大小有关
解析:要比较它们的大小,可比较(-)3与()3的大小,
又(-)3=a-b-·+3··=a-b+3·(-),
它与a-b的大小,取决于-的符号,
故-与的大小与a,b的大小有关.
也可用特值法,取a=8,b=1,
则-=1,=.
此时-<.
若取a=1,b=8,则-=-1>=.故选D.
答案：D
4a>0且a≠1,P=log a(a3+1),Q=log a(a2+1),则P,Q的大小关系是( )
A.P<Q
B.P>Q
C.a>1,P>Q;0<a<1,P<Q
D.不能确定
解析:要比较P,Q的大小,需考虑底数的范围,以及真数的大小,为此我们分两类:
①a>1时,a3+1>a2+1,
而y=log a x在(0,+∞)上为增函数.
∴log a(a3+1)>log a(a2+1).
②0<a<1时,a3+1<a2+1.
这时y=log a x在(0,+∞)上为减函数.
∴log a(a3+1)>log a(a2+1).
综合①②知,P>Q.
答案:B
5若α,β是锐角,P=sin2α+sin2β,Q=2(sinα+sinβ-1),R=2sinα+3sinβ-3,则有( ) A.P>Q>R B.Q>R>P
C.R>Q>P
D.P>R>Q
解析:由选项分析可知P,Q,R的大小是确定的,我们可用特值法求解.令α=,β=,
则P=+=1,
Q=2(+-1)=-1,
R=2×+3×-3=-.
∴P>Q>R.
答案:A
综合应用
6若n为正整数,则与的大小关系是_______________.
解析:只需比较它们的平方的大小即可.
设a=()2=4(n+1),
b=(+)2=4n++4,
则b>a.
从而<+.
答案:<+
7已知α是锐角,若,则a,b,c的大小
关系是( )
A.a≤b≤c
B.b≤a≤c
C.b≤c≤a
D.c≤b≤a
解析:a=≥=b,
c==b,
故a≥b≥c.
答案:D
8已知0<a<b<1,那么log a b,log b a,b,a的大小关系是____________________-.
解析:∵0<a<b<1,∴log b a>0且log b a>log b b=1=log a a>log a b>0.①
又log b,a<0,且log b>log a=-1,log a<log b=-1, ∴0>log b>log a.②
由①②知,
log b a>log a b>log b>log a.
答案:log b a>log a b>log b>log a
9设f(x)=,
(1)求f(x)的最大值;
(2)证明对任意的实数a,b恒有f(a)<b2-3b+.
(1)解析:f(x)=.
∴f(x)的最大值为.(当2x=,即x=时“=”成立).
(2)证明:b2-3b+=(b-)2+3,
当b=时,b2-3b+的最小值为3.
而f(a)的最大值为.
∴f(a)<b2-3b+对一切的a,b恒成立.
拓展探究
10已知a,b>0,2c>a+b,求证:
(1)c2>ab;
(2)c-<a<c+.
证明:(1)∵2c>a+b,a,b>0,
∴4c2>(a+b)2=a2+b2+2ab≥4ab,
∴c2>ab.
(2)要证c-<a<c+,需证-<a-c<,
于是证|a-c|<
(a-c)2<c2-ab
2ac>a2+ab,
又a>0,
即证2c>a+b,而这就是已知条件,∴原不等式成立.
备选习题
11已知x,y∈R,且|x|<1,|y|<1,
求证:.
证法一:(分析法)
∵|x|<1,|y|<1,
∴
∴
故要证明结论成立,只要证明成立,
即证1-xy≥成立即可.
∵(y-x)2≥0,有-2xy≥-x2-y2,∴(1-xy)2≥(1-x2)(1-y2),
∴1-xy≥>0,
∴不等式成立.
证法二:(综合法)
引用不等式
当且仅当a=b时等号成立).
∵
=
=1-|xy|,
∴.
∴原不等式成立.
12已知a,b>0,a+b=1,求证:≤3b+3a<4.
证明:3a+3b=3a+31-a≥=,当且仅当a=b=时取等号.
要证3a+3b<4,只要证3a+31-a<4,
即证<0,
也就是证32a-4·3a+3<0,
于是证(3a-1)(3a-3)<0,
那么证1<3a<3.
最后必须验证0<a<1,这是明摆的事实.
∴≤3a+3b<4.
13已知函数f(x)=,明对于任意不小于3的自然数n,都有f(n)>. 证法一:∵f(n)=,欲证f(n)>,
只要证2n-1>2n,
于是证2n-1+2n-2+…+2+1>2n.(巧用等比数列求和公式)
∵n≥3,故2n-1+2n-2+…+2+1
≥4(n-2)+3=2n+(2n-5)
>2n.
∴原不等式成立.
证法二:同上,只要证2n>2n+1,
∵2n=(1+1)n=,
当n≥3时,2n>
=1+n+,
∵［1+n+］-(2n+1)=≥0,
∴2n>2n+1,
故f(n)>.
14已知α是方程()x=x的解,求证:<α<.
证明:若x>1,则()x>0,
x<0,等式不成立.
又x>0,故x只能在(0,1)中取值.
∵α是方程的根,故α∈(0,1).
若α∈(0,］,则α≥1,
而()α∈［,1),
故等式()α=α不能成立.
若α∈［,1),α∈(0,］.
当()α=α时,有α=α,这一等式当然不能成立,∴<α<.
15实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,求证: a.
证明:∵a>b>c,a+b+c=0,
∴a>0,c<0,在此条件下,我们证明a成立,只需证b2-ac<3a2,
事实上,由条件得c=-(a+b),
∴b2-ac-3a2=b2+a(a+b)-3a2=b2+ab-2a2=(b-a)(2a+b),
而b<a,2a+b>a+b+c=0,
因此(b-a)(2a+b)<0,
∴原不等式成立.
16已知a,b,c>0,ab+ac+bc=1,求证:
.
证明:∵,
又(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
≥3(ab+bc+ca)=3,+b+c≥.
因此,要证原不等式成立,只需证成立.
也只要证≤ab+bc+ca.①
∵
三式相加,得≤ab+bc+ca,即①成立,故原不等式成立.。