饶平二中高二级数学竞赛题答案

饶平二中高二级数学竞赛题答案
一、填空题：1、充要条件； 2、19 ； 3、钝角三角形；4、270 5、2007；6、100。

二、解答题
7、（本题满分10分，（1）题、（2）题各5分）
（1）解：函数)(x f 的周期为ωπ2=T ，依题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=+-=+|12127|231ππω
πT b A b A ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==212ωb A ， ∴ 1)2sin(2)(-+=ϕx x f ， 由1)12(
=πf ，即11)6sin(2=-+ϕπ，得1)6sin(=+ϕπ， ∴Z k k ∈+=+,226ππ
ϕπ
，
又 πϕ20<≤，故3πϕ=
， ∴ 1)32sin(2)(-+
=πx x f ， 由23π
π
<≤-x ，得：3
4323ππ
π
<+≤-x ， ∴ 1)3
2sin(23≤+≤-πx ，∴1 1)32sin(213≤-+≤--πx 即1 )(13≤≤--x f ，∴)(x f 在)2
,3[ππ-上的值域是]1,13[--； （2）证明：令32π+=x t ，由 ππ≤<x 127，得：373223πππ<+<x ，即：]3
7,23(ππ∈t 。

函数1sin 2-=t y 在]3
7,23(ππ∈t 时是增函数， ∴ 1)32sin(2)(-+=πx x f 在∈x ],12
7(ππ时是增函数，在这段图象上任取两点),(),,(2211y x Q y x P ，设21x x <，则有21y y <。

此时连线PQ 的斜率02
121>--=x x y y k 。

即命题得证。

8、（本题满分12分，其中（1）题4分；（2）题8分）
（1）证明：连接BD ，
ADB DAB AD AB ∆∴︒=∠=,60, 等边三角形。

E 是边AB 的中点，.DE AB ⊥∴
⊥PD 平面ABCD ，
PD AB ⊥∴，⊥∴AB 平面PED 。

∴ 平面PED ⊥平面PAB 。

（1） 解：⊥AB 平面PED ，PE AB ⊥∴ ，
连接EF ，由⊂EF 平面PED ，
.EF AB ⊥∴ PEF ∠∴为二面角F AB P --的平面角。

设2=AD ，那么1==FD PF ，3=DE 。

在PED Rt ∆中，722=+=
DE PD PE ， 在FED Rt ∆中，222=+=DE FD FE ，
在PEF ∆中，14757
2212)7(2cos 22222=⨯-+=⨯⨯-+=∠EF PE PF EF PE PEF ， 即二面角F AB P --的余弦值为14
75。

9、（本题满分12分，其中（1）题4分；（2）题8分）
解：（1）由题设2132a a a +=，即,21121q a a q a +=
.012,021=--∴≠q q a
解得：1=q ，或2
1-=q ； （2）若1=q ，则2
312)1(22n n n n n S n +=⋅-+=， 当2≥n 时，当02
)2)(1(1>+-==--n n S b S n n n ， 故n n b S >； 若21-=q ，则4
9)21(2)1(22n n n n n S n +-=--+=， 当2≥n 时，4
)10)(1(1---==--n n S b S n n n ， 故对于+∈N n 当92≤≤n 时，n n b S >；当10=n 时，n n b S =；当11≥n 时，n n b S <。

10、（本题满分12分，其中（1）题4分；（2）题8分） 解：.0,2=⋅=AM NP AP AM
∴直线NP 为线段AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|。

又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN
∴动点N 的轨迹是以点)0,1(),0,1(A C -为焦点、长轴长222=a 的椭圆。

.1,1,22===∴b c a
∴曲线E 的方程为12
22
=+y x 。

（2）当直线GH 的斜率不存在时其方程为0=x ，此时3
1,31=∴=
λ； 当直线GH 的斜率为k 时其方程为2+=kx y ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12
222y x kx y 消去y ，得：1)2(222=++kx x ， 即034)2
1(
22=+++kx x k 。

由03)21(41622>⨯+-=∆k k ，得2
32>k 。

设),(),,(2211y x H y x G ，则2
21221213,214k x x k k x x +=+-=+ ， )2,()2,(,
2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又 λλλλλ2122221222122121)1(.
,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴， λλ2
222213)1()214(
k k k +=++-∴，整理得：λλ22)1()121(316+=+k
， 316214.316323164,2322<
++<∴<+<∴>λλk k ， 解得：33
1<<λ .131,
10<<∴<<λλ 又 综上所述得：
13
1<≤λ。

11、（本题满分12分，其中（1）题4分；（2）题8分）
解：（1）设),(y x Q 是函数)(x g y =的图象上任意一点，其对应点),(00y x P 在是函数
)3(log )(a x x f a -=的图象上，则⎩
⎨⎧-=-=002y y a x x ， ∴ ⎩⎨⎧-=+=y y a x x 0
02 ，又)3(log 00a x y a -= ∴ )32(log a a x y a -+=-，
∴ )(1log a x a x y a
>-=，即)(1log )(a x a x x g a >-=。

（2）由⎩⎨⎧>->-003a x a x ，解得⎩⎨⎧>>a
x a x 3， ∴ a x 3>，
∵ )(x f 与)(x g 在]3,2[++a a 上有意义，
∴ 23+<a a ， ∴ 10<<a ，
∵1|)()(|≤-x g x f ，即1|))(3(log |≤--a x a x a 恒成立，
故有：⎩⎨⎧<<≤--≤-1
01])2[(log 122a a a x a ，
∴ a
a a x a 1)2(22≤--≤对于任意的]3,2[++∈a a x 恒成立， 令22)2()(a a x x h --=，其图象的对称轴a x 2=，
由 222+<<a a
∴函数2
2)2()(a a x x h --=在]3,2[++∈a a x 上是增函数，
∴ 当]3,2[++∈a a x 时的最大值为a a h 69)3(-=+；最小值为a a h 44)2(-=+。

∴依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤a a
a a 69144，解得 ∴ 12
5790-≤<a 。

12、（本题满分12分，其中（1）题、（2）题、（3）题各4分） （1） 证明：依题意得：0])2([)22(
)(2≥=+=x f x x f x f .
假设存在某个R x ∈0，使0)(0=x f 。

则对任何0>x ，有0)()(])[()(0000=⋅-=+-=x f x x f x x x f x f ，这与已知矛盾， R x ∈∴均满足0)(>x f ；
（2）在R 上任取21x x <，则012>-x x ，依题意有1)(12>-x x f
)()()()(])[()()(1112111212x f x f x x f x f x x x f x f x f -⋅-=-+-=-∴
0]1)()[(121>--=x x f x f
∴函数)(x f 在R 上为增函数。

由2)1(=f ，得4)1()1()2(=⋅=f f f
23),2(4)3(22>-∴=>-∴x x f x x f ，
解得：21<<x ，即不等式的解集为}21|{<<x x 。

（3）8)2()1()21()3(=⋅=+=f f f f 方程1)2()3(21)]([2+=++
f x f x f 可化为 5)()3(21)]([2=⋅⋅+x f f x f 即05)(4)]([2=-+x f x f
解得：1)(=x f ，或5)(-=x f （舍去），
依题意令)()()(y f x f y x f ⋅=+中1,0==y x 得：)0()1()1(f f f ⋅=，又2)1(=f ∴ 1)0(=f ，由（2）知函数)(x f 在R 上为增函数，故由1)(=x f ，得0=x 。

故原方程的解集为}0{。