物理人教版必修一第二章匀变速直线运动的研究2

2匀变速直线运动的速度与时间的关系
[学习目标] 1.知道匀变速直线运动的特点及分类.2.理解匀变速直线运动的v－t图象特点.3.掌握匀变速直线运动的速度公式，并会用公式解决简单的匀变速直线运动问题．
一、匀变速直线运动
1．定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动．
2．v－t图象：匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线．
3．分类：
(1)匀加速直线运动：速度随时间均匀增加．
(2)匀减速直线运动：速度随时间均匀减小．
二、速度与时间的关系式
1．速度公式：v＝v0＋at.
2．意义：做匀变速直线运动的物体，在t时刻的速度v等于物体在开始时刻的速度v0加上在整个过程中速度的变化量at.
[即学即用]
1．判断下列说法的正误．
(1)匀变速直线运动的加速度不变．(√)
(2)速度逐渐增加的直线运动是匀加速直线运动．(×)
(3)公式v＝v0＋at适用于任何做直线运动的物体．(×)
(4)公式v＝v0＋at既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动．(√)
(5)匀加速直线运动的v－t图象的斜率逐渐增大．(×)
2．一质点做直线运动，速度v＝5＋0.3t(m/s)，则质点的初速度为________，加速度为________，3 s末的速度为________．
答案 5 m/s0.3 m/s2 5.9 m/s
一、匀变速直线运动的特点及图象
[导学探究]
四个物体运动的v－t图象如图1所示．
图1
(1)它们分别做什么运动呢？
(2)匀加速直线运动的v－t图象斜率一定为正值吗？匀减速直线运动的v－t图象斜率一定为负值吗？
答案(1)甲做匀速直线运动；乙做匀加速直线运动；丙做匀减速直线运动；丁做反向匀加速直线运动
(2)不一定不一定
[知识深化]
1．匀变速直线运动的特点：
(1)加速度a恒定不变；
(2)v－t图象是一条倾斜直线．
2．两种理想化模型的v－t图象
(1)匀速直线运动的v－t图象是一条平行于时间轴的直线(如图1甲)
(2)匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜直线(如图1乙、丙、丁)，直线的斜率表示加速度．
3．用微元思想看v－t图象
图2甲、乙中，速度v随时间t的延长都增大．
甲图中，在相等的时间Δt内Δv2>Δv1，加速度增大；乙图中，在相等的时间Δt内Δv2<Δv1，加速度减小．即v－t图象为曲线时，物体的运动不是匀变速运动，曲线上某点的切线斜率等于该时刻物体的加速度．
图2
例1(多选)一物体做直线运动，下图表示该物体匀变速运动的是()
答案AC
解析 v －t 图象斜率保持不变，说明加速度恒定不变，物体做匀变速直线运动，故A 项对；x －t 图象斜率保持不变，说明速度恒定不变，物体做匀速直线运动，故B 项错；a －t 图象纵坐标保持不变，说明物体的加速度不变，物体做匀变速直线运动，故C 项对；D 图象中斜率不断变化，所以物体做变速直线运动，故D 项错．
匀变速运动的特点是加速度不变；v －t 图象是一条倾斜直线；A 图中虽然t 0前后速度方向有变化，但由于图象斜率不变，加速度不变，全过程仍可看成匀变速直线运动． 例2 如图3是物体做直线运动的v －t 图象，由图象可得到的正确结论是( )
图3
A ．t ＝1 s 时物体的加速度大小为1.0 m/s 2
B ．t ＝5 s 时物体的加速度大小为0.75 m/s 2
C ．第3 s 内物体的位移为1.5 m
D ．在t ＝2 s 时到达最远点，2～3 s 静止，7 s 时回到出发点 答案 B
解析 物体的速度一直为正，即速度方向未变，0～2 s 做匀加速运动，2～3 s 做匀速运动，3～7 s 做匀减速运动，D 项错误；由v －t 图象的斜率知t ＝1 s 时的加速度a 1＝Δv 1Δt 1＝3－02－0 m /s 2
＝1.5 m/s 2，A
错；t ＝5 s 时的加速度a 2＝Δv 2Δt 2＝0－3
7－3
m /s 2＝－0.75 m/s 2，即5 s 时加速度大
小为0.75 m/s 2，B 对；第3 s 内物体的位移为3 m ，C 错．
v －t 图象的应用
1．图线上某点的纵坐标表示瞬时速度的大小和方向(其中正、负号表示方向)． 2．图线的斜率表示加速度的大小和方向(其中正、负号表示方向)． 3．图线的拐点表示运动性质改变的时刻． 4．图线与横轴所围图形的面积表示位移(下一节)．
二、速度与时间的关系式
[导学探究] 设一个物体做匀变速直线运动，运动开始时刻(t ＝0)的速度为v 0(叫做初速度)，加速度为a ，请根据加速度定义式求t 时刻物体的瞬时速度． 答案 由加速度的定义式a ＝Δv Δt ＝v －v 0t －0＝v －v 0
t ，整理得：v ＝v 0＋at .
[知识深化] 速度与时间关系的理解
1．公式v ＝v 0＋at 只适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性：公式v ＝v 0＋at 中的v 0、v 、a 均为矢量，应用公式解题时，首先应选取正方向．
一般以v 0的方向为正方向，若为匀加速直线运动，a ＞0；若为匀减速直线运动，a ＜0.若v ＞0，说明v 与v 0方向相同，若v ＜0，说明v 与v 0方向相反． 3．两种特殊情况： (1)当v 0＝0时，v ＝at .
即由静止开始的匀加速直线运动的速度大小与其运动时间成正比． (2)当a ＝0时，v ＝v 0.
即加速度为零的运动是匀速直线运动．
例3 一物体从静止开始以2 m/s 2的加速度做匀加速直线运动，经5 s 后做匀速直线运动，最后2 s 的时间内物体做匀减速直线运动直至静止．求： (1)物体做匀速直线运动时的速度大小； (2)物体做匀减速直线运动时的加速度． 答案 见解析
解析 解题关键是画出如下的示意图：
设图中A →B 为匀加速直线运动，B →C 为匀速直线运动，C →D 为匀减速直线运动，BC 段的速度为AB 段的末速度，也为CD 段的初速度． (1)由速度、时间的关系式得 v B ＝a 1t 1＝2×5 m /s ＝10 m/s
即做匀速直线运动时的速度大小为10 m/s. (2)由v ＝v 0＋a 2t 2得
a 2＝v －v 0t 2＝v D －v C t 2＝0－10
2 m /s 2＝－5 m/s 2.
负号表示加速度方向与v C 方向相反．
1．v ＝v 0＋at 的适用条件：只适用于匀变速直线运动．
2．v ＝v 0＋at 的用途：初速度v 0、加速度a 、时间t 、末速度v 之间的关系，已知其中三个物理量，可求剩余的一个物理量． 三、速度公式在刹车问题中的应用
例4 一汽车在平直的公路上以20 m /s 的速度匀速行驶，前面有情况需紧急刹车，刹车的加速度大小是8 m/s 2，刹车后可视为匀减速直线运动，求刹车3 s 后汽车的速度． 答案 0
解析 设汽车从开始刹车到速度为零所用的时间为t ，取汽车运动的方向为正方向． 由v ＝v 0＋at ，得t ＝v －v 0a ＝0－20
－8 s ＝2.5 s ，汽车在2.5 s 末速度减为零而停下，之后汽车不
再运动，所以3 s 后汽车的速度为零．
1．(对匀变速直线运动的理解)(多选)如图所示的四个图象中，表示物体做匀加速直线运动的图象是( )
答案 AD
解析 做匀加速直线运动的物体速度随时间均匀增大，其图线远离时间轴，故选A 、D. 2．(对速度公式的理解)某机车原来的速度是36 km /h ，在一段下坡路上加速度为0.2 m/s 2.机车行驶到下坡末端，速度增加到54 km/h ，求机车通过这段下坡路所用的时间． 答案 25 s
解析 初速度v 0＝36 km /h ＝10 m/s ，末速度v ＝54 km /h ＝15 m/s ，加速度a ＝0.2 m/s 2. 由v ＝v 0＋at 得：t ＝v －v 0a ＝15－10
0.2 s ＝25 s.
故机车通过这段下坡路所用的时间为25 s.
3. (v －t 图象的理解和应用)(多选)如图4所示是某物体做直线运动的v －t 图象，由图象可知，下列说法中正确的是( )
图4
A ．物体在0～10 s 内做匀速直线运动
B ．物体在0～10 s 内做匀加速直线运动
C ．物体运动的初速度为10 m/s
D ．物体在0～10 s 内的加速度为2.5 m/s 2 答案 BC
解析 由题图知，物体的速度均匀增大，图象的斜率一定，说明该物体做匀加速直线运动，A 错误，B 正确．物体运动的初速度即t ＝0时刻的速度，由题图知初速度为10 m/s ，C 正确．物体在0～10 s 内的加速度为a ＝v －v 0t ＝25－1010 m /s 2＝1.5 m/s 2，D 错误．故选B 、C.
4. (v －t 图象的理解和应用)甲、乙两物体从同一位置出发沿同一直线运动的v －t 图象如图5所示，下列判断正确的是( )
图5
A ．在6 s 内甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动
B ．两物体在1 s 末相遇
C ．乙在前2 s 内做匀加速直线运动，2～6 s 做匀减速直线运动
D ．2 s 后，甲、乙两物体的速度方向相反 答案 C
解析 据图象可知，甲以2 m /s 的速度做匀速直线运动．乙在0～2 s 内做匀加速直线运动，加速度a 1＝2 m/s 2，在2～6 s 内做匀减速直线运动，加速度a 2＝－1 m/s 2.t 1＝1 s 时，甲、乙两物体只是速度相同，未相遇．在6 s 内，甲、乙两物体的速度方向始终相同．只有选项C 正确．
5．(速度公式在刹车中的应用)汽车的加速、减速性能是衡量汽车性能的一项重要指标，一辆汽车以54 km/h 的速度匀速行驶．
(1)若汽车以1.5 m/s 2的加速度加速，求8 s 后汽车的速度大小．
(2)若汽车以1.5 m/s 2的加速度刹车，分别求刹车8 s 时和12 s 时的速度大小． 答案 (1)27 m /s (2)3 m/s 0 解析 初速度v 0＝54 km /h ＝15 m/s.
(1)由v ＝v 0＋at ，得v ＝(15＋1.5×8) m /s ＝27 m/s. (2)刹车过程中汽车做匀减速运动，a ′＝－1.5 m/s 2. 减速到停止所用时间t ′＝0－v 0a ′＝－15
－1.5
s ＝10 s.
所以刹车8 s 时的速度v ′＝v 0＋a ′t ＝(15－1.5×8)m /s ＝3 m/s. 刹车12 s 时的速度为零．
课时作业
一、选择题(1～7为单项选择题，8～10为多项选择题)
1．对于一个做匀减速直线运动的物体，在它静止前，下列说法中正确的是( ) A ．速度越来越小 B ．速度越来越大 C ．加速度越来越小 D ．加速度越来越大
答案 A
解析 因为是匀减速直线运动，故物体运动的加速度a 保持不变，由v ＝v 0＋at 知，当a 为负值时，v 逐渐变小，所以B 、C 、D 错误，A 正确．
2．一辆沿直线匀加速行驶的汽车，经过路旁两根电线杆共用时5 s ，汽车的加速度为2 m /s 2，它经过第2根电线杆时的速度为15 m/s ，则汽车经过第1根电线杆时的速度为( ) A ．2 m /s B ．10 m/s C ．2.5 m /s D ．5 m/s 答案 D
解析 根据v ＝v 0＋at ，得v 0＝v －at ＝15 m /s －2×5 m/s ＝5 m/s ，D 正确．
3．一个做初速度为零的匀加速直线运动的物体，它在第1 s 末、第2 s 末、第3 s 末的瞬时速度之比是( ) A ．1∶1∶1 B ．1∶2∶3 C ．12∶22∶32 D ．1∶3∶5 答案 B
解析 由v ＝at 得v 1∶v 2∶v 3＝at 1∶at 2∶at 3＝1∶2∶3，故选项B 正确．
4．一列火车匀减速进站，停靠一段时间后又匀加速(同方向)出站．在如图所示的四个v－t 图象中，正确描述了火车运动情况的是()
答案B
解析进站速度均匀减小，出站速度均匀增大，故A、D错．进站、出站火车的运动方向相同，故C错．
5．一辆车由静止开始做匀变速直线运动，在第8 s末开始刹车，经4 s停下来，汽车刹车过程也在做匀变速直线运动，那么前后两段加速度的大小之比是()
A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．4∶1
答案B
解析设前后两段加速度大小分别为a1、a2，则a1＝v
t1
，a2＝v
t2
，所以a1∶a2＝t2∶t1＝1∶2.
图1
6．一个做匀变速直线运动的质点的v－t图象如图1所示，由图线可知其速度—时间的关系为()
A．v＝(4＋2t) m/s
B．v＝(－4＋2t) m/s
C．v＝(－4－2t) m/s
D．v＝(4－2t) m/s
答案B
解析由v－t图象可知v0＝－4 m/s，a＝2 m/s2，所以由v＝v0＋at可知，v＝(－4＋2t) m/s，B对．
7．质点做直线运动的v－t图象如图2所示，规定向右为正方向，则关于该质点在前8 s内的运动，下列说法正确的是()
图2
A ．0～1 s 内的加速度最大且方向向右
B ．t ＝2 s 和t ＝4 s 时加速度等大反向
C ．3～5 s 内质点的加速度方向向右
D ．5～8 s 内质点的加速度最小且方向向左 答案 A
解析 0～1 s 内质点的加速度为a 1＝2 m /s 2，方向向右；1～5 s 内质点的加速度为a 2＝－1 m/s 2，方向向左；5～8 s 内质点的加速度为a 3＝2
3 m/s 2，方向向右，A 正确，B 、C 、D 错误．
8．一个物体做匀变速直线运动，当t ＝0时，物体的速度大小为12 m /s ，方向向东，当t ＝ 2 s 时，物体的速度大小为8 m/s ，方向仍向东．当t 为多少时，物体的速度大小变为2 m/s( ) A ．3 s B ．5 s C ．7 s D ．9 s 答案 BC
解析 物体的加速度a ＝Δv Δt ＝8－122 m /s 2＝－2 m/s 2
由速度公式v ＝v 0＋at ，
当v ＝2 m/s 与初速度同向时，t ＝v －v 0a ＝2－12
－2 s ＝5 s
当v ＝－2 m/s ，即速度方向与初速度方向相反时 t ＝v －v 0a ＝－2－12
－2
s ＝7 s ，选项B 、C 正确.
9.我国在西昌卫星发射中心用“长征三号丙”运载火箭，将第三颗北斗导航卫星送入预定轨道，这标志着北斗卫星导航系统工程建设又迈出了重要一步，卫星组网正按计划稳步推进．如图3所示，发射过程中某段时间内火箭速度的变化规律为v ＝(2t ＋4) m/s ，由此可知这段时间内( )
图3
A ．火箭的初速度为4 m/s
B ．火箭的加速度为2 m/s 2
C ．在3 s 末，火箭的瞬时速度为12 m/s
D ．火箭做匀减速直线运动
答案AB
解析由速度的表达式v＝(2t＋4)m/s可知，在这段时间内火箭的初速度v0＝4 m/s，加速度a＝2 m/s2，火箭做匀加速直线运动，选项A、B正确，D错误；将时间t＝3 s代入v＝(2t＋4)m/s得v＝10 m/s，选项C错误．
10．甲、乙两物体在同一直线上做匀变速直线运动的速度—时间图象如图4所示，由此可知()
图4
A．甲和乙的初速度方向相同，大小之比为3∶1
B．在t＝4 s时，两者的瞬时速度大小相等
C．甲和乙的加速度方向相同，大小之比为3∶1
D．甲和乙的加速度方向相反，大小之比为1∶1
答案AD
解析甲的初速度为3 m/s，乙的初速度为1 m/s，因此甲和乙的初速度方向相同，大小之比为3∶1，选项A正确；在t＝2 s时，两者的瞬时速度相同，大小都为2 m/s，选项B错误；甲沿正方向做匀减速运动，乙沿正方向做匀加速运动，甲的加速度为－0.5 m/s2，乙的加速度为0.5 m/s2，因此甲和乙的加速度方向相反，大小之比为1∶1，选项C错误，D正确．二、非选择题
11．火车沿平直铁轨匀加速前进，通过某一路标时的速度为10.8 km/h,1 min后变成了54 km/h，又需经多长时间，火车的速度才能达到64.8 km/h?
答案15 s
解析三个不同时刻的速度分别为：
v1＝10.8 km/h＝3 m/s
v2＝54 km/h＝15 m/s、
v3＝64.8 km/h＝18 m/s
时间t1＝1 min＝60 s
所以加速度a ＝v 2－v 1t 1＝15－360
m /s 2＝0.2 m/s 2 则时间t 2＝v 3－v 2a ＝18－150.2
s ＝15 s. 12．发射卫星一般应用多级火箭，第一级火箭点火后，使卫星向上匀加速直线运动的加速度为50 m /s 2，燃烧30 s 后第一级脱离；第二级火箭没有马上点火，所以卫星向上做加速度大小为10 m/s 2的匀减速直线运动，10 s 后第二级火箭启动，卫星向上匀加速直线运动的加速度为80 m/s 2，这样再经过1分半钟第二级火箭脱离时，卫星的速度多大？ 答案 8 600 m/s
解析 整个过程中卫星运动不是匀变速直线运动，但可以分为三个匀变速直线运动处理： 第一级火箭燃烧完毕时的速度
v 1＝a 1t 1＝50×30 m /s ＝1 500 m/s.
减速上升10 s 后的速度
v 2＝v 1－a 2t 2＝(1 500－10×10) m /s ＝1 400 m/s ，
第二级火箭脱离时的速度
v 3＝v 2＋a 3t 3＝1 400 m /s ＋80×90 m/s ＝8 600 m/s.。