初中数学《课题学习 最短路径问题》教案

教学设计
阅读课本P85-87页内容，了解本节主要内容.
1．创设问题情境
问题1 如图，从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？说说你的理由.
师生活动：学生回答问题，说出理由：两点之间，线段最短.
【教学说明】让学生回顾“两点之间，线段最短”，为引入新课作准备．
问题2：如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两村供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
师生活动：学生回答，连接AB，线段AB与l的交点即为泵站修建的位置．
【教学说明】让学生进一步感受“两点之间，线段最短”，为把“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫．
2．将实际问题抽象为数学问题
问题3 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识:（1）将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线；（2）在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？
【教学说明】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的概念．
3．解决数学问题
问题4 如图，点A，B 在直线l 的同侧，在直线l上找到一点C，使AC 与BC 的和最小？
师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.
如果学生有困难，教师可作如下提示：
（1）如果点B在点A的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小（2）现在点B与点A在同侧，能否将点B移到l 的另一侧点处，且满足直线l 上的任意一点C，都能保持?
（3）你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点吗？
师生共同完成作图，如下图.
作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．
【教学说明】教师一步一步引导学生，如何将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路，渗透转化思想.
4．证明AC +BC “最短”
问题4 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.
证明：如图，在直线l 上任取一点（与点C 不重合），连接AC′，BC′，．
由轴对称的性质知，
，．
∴，
．
在△中，，
∴．
即AC +BC 最短．
追问1：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点（与点C但不重合）？
师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小．
【教学说明】让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．
追问2：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？
师生活动：学生回答，相互补充.
【教学说明】学生在反思中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数
学活动经验.
5．巩固练习
6．归纳小结
教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
师生活动：教师引导，学生小结.
【教学说明】：引导学生把握研究问题的基本策略和方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.。