大学物理第6章作业解答

r
的电势分布。
当 0 r R1 时；
V1

E dl
r
R1 r
E1

dl

R2 R1
E2 dl


R2 E3 dl
R1 0 dr q R2 dr Q q dr
r
4 0 r R1 2 4 0 r R2 2
qQ
得到， U AC

C C AC
U AB
4F 12V 12 F
4V
U CD

C CCD
U AB
4F 12V 8 F
6V
U CB

C CCB
U AB
4F 12V 24 F
2V
1 R3

(2.0 3.0) 108
4 8.854 1012

1 0.10
4500(V )
（2）将球壳Ｂ接地后断开时， 达到静电平衡时，球壳Ｂ的外表面上 的电荷Ｑ外全部都跑到地球去了，球壳 壳Ｂ的外表面上不再有净电荷存在。 但由于金属球A的表面上有电荷ＱＡ存 在，使得球壳Ｂ的内表面上仍有电荷 Q内 QA 存在，这两部分的电荷相互
B
VA VB E dl
A
R2
E2dr
R1
QA R2 dr
40 R1 r 2
即：VA
VB

QA
4 0

1 R1

1 R2

Q外
R3 ＋ R2 QA
＋
＋
R1 B
＋ A＋
＋QA
由于金属球A接地，故金属球A的电势为：VA 0
所以，金属球壳B的电势为：VB
Q内为：Q内 QA 3.0108C
+ +
+ + +
R3
+
+ R2 + R1
++
B+
+ A+
QA + QA ++
同时，球壳B的外表面共有电
荷Q外为：Q外 QA QB 5.0 108 C
+ QB ++ QA +
由于电荷都分布在金属球A的表面或金属球壳B的内、外表面上
电荷分布具有对称性，应用高斯定理可求出电场强度的分布为：
，内球的电势不等于外球
R2
壳的电势，则外球壳内的电场强度不为零，内球带电。
设内球带电为q，根据静电平衡条件可知，球壳的内表面 有感应电荷-q ；球壳的外表面也有感应电荷+q ；这样球壳的
外表面共有电荷Q+q
根据静电平衡时电荷的分布，可知电 场分布呈球对称；取同心球为高斯面，由
q Q q q
高斯定理 E dS E(r) 4 r2 q 0 ，
R1V0 r

(R2 R1)Q
4 0 R2 r
(r R2 )
6-9 如图所示，在一半径为 R1 6.0cm 的金属球A外面套有一
个同心的金属球壳B 。已知球壳的内、外半径分别为R2 8.0cm，
R3 10.0cm 。设A球带有总电荷 QA 3.0 108 C ，球壳B带有总

1 R1

1 R2

QB QA
4 0
1 R3

4
3.0 108 8.854 1012


1 0.06

1 0.08


4
(3.0 2.0) 108 8.854 1012 0.10
5625(V )
VB

QB QA
4 0
40R1 40R2
q Q q q
o R1 R2
当 R1 r R2 时；
V2

E dl
r

R2 r
E2 dl

R2
E3
dl

q
4 0
R2 dr Q q
r r 2 40
dr r R2 2
q Q
40r 40R2
电荷 QB 2.0 108C 。求：（1）球壳B内、外表面上所带的电荷
以及球A和球壳B的电势；（2）将球壳B接地后断开，再把金属
球A接地，求金属球A和球壳B内、外表
面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势。
+
++ +
解：（1）如右图所示，在静电平衡下，
由于金属球A带有电荷QA ，从而在 球壳B的内表面上感应出感应电荷
习题6-8 一导体球半径为R1，外罩一半径为R2的同心薄导体
球壳，外球壳所带总电荷为Q，而内球的电势为V0 ；求此系统的
电势和电场分布。
解： 若
V0

Q
4 0 R2
，内球的电势等于外球
q Q q q
壳的电势，则外球壳内必定为等势体，
o R1
电场强度为零，内球不带电。
Q
若 V0 40R2
E2 (r)

R1V0 r2

R1Q
40R2r 2
(R1 r R2 )
E3 (r)

R1V0 r2

(R2 R1)Q
40R2r 2
(r R2 )
V1 V0
(0 r R1)
V2

R1V0 r

(r R1)Q
4 0 R2 r
(R1 r R2 )
V3


QA
4 0

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 R2

1 R1

……③
另一方面，应用高斯定理，可求得金属球壳B外空间的电场强度
E4

Q外
4 0
1 r2
(r R3 )
取无限远的电势为零时，也可得到金属球壳B的电势为：
VB

E dl
B

E4dr
R3
Q外
4 0
dr r2
上、下两壁与A、B分别相距为0.25mm ；
B
金属板面积为30×40mm2 ，求：
（1）被屏蔽后的电容器电容变为原来的几倍？
（2）若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的 电容又为原来的几倍？
解：已知，d1 0.50mm d2 0.25mm S 30 40mm2 d1 2d2 （1）由图可见，金属盒K的上壁K上与A板的上边面A上组成一

C1C2 C1 C2


1 d1

1 2d2

0S

2 0S
d1
2C0
即：电容器的电容变为原来的2倍。
（2）假设A脚与K相碰，则C1短路，其等效电路如下图所示；
则其等效电容 C为：
C

C2

C0


1 d1

1 d2

0S


3 0S
d1
C2
K下 B下
当 r R2
时； V3
E dl
r

r E3 dl

Qq
4 0
dr r r2
Qq
4 0 r
由
V1 V0
qQ
40R1 40R2
可解得：q

40 R1V0

R1 R2
Q
将q代入电场、电势的分布得：
E1(r) 0
(0 r R1)
R1R2QA R2R3 R1R3

0.06 0.08 3.0 108
C
0.6 0.8 0.8 0.10 0.6 0.10
即，电荷分布为： QA 2.12 108 C
Q外 QA QA 3.0108 2.12108 0.88108 (C)
由于 Q内 Q外 QA 3.0108C …………① 所以 Q外 QA Q内 QA QA …………②
应用高斯定理，可求得金属球A与
金属球壳B间的电场强度 E2 为：
E2

1
4 0
QA r2
(R1 r R2 )
所以，金属球A与金属球壳B间的电势差为
24 F
C
DB
1 即：CAB

2 24
3 24

1 24

6 24
1 4
8F 2F
所以，等效电容CAB为：CAB 4(F ) （2）已知，CAC 12 F CCD 8 F CDB 24 F U AB 24V
由 Q CABU AB CACU AC CCDUCD CDBU DB
1 R1

1 R2


QB QA
4 0
1 R3
金属球壳B的电势ＶＢ为：

VB E dl
R3

R3
E4dr

QB QA
4 0
R3
dr r2
QB QA 1
40 R3
将数据代入，可计算得金属球A和金属球壳B的电势分别为：
VA

QA
4 0
C0
3C0 即：电容器的电容变为原来的3倍。
A A下
B上 B
习题6-25 如图所示，在点A和点B之间有五个电容器，其连 接如图所示；求（1）A、B两点之间的等效电容；（2）若A、B之
间的电势差为12V ，求UAC ，UCD和UDB 。
解：（ 1）根据电容器联接的特点，可
4F 6F
得足A式、子B：两C1点AB 之 间4 1的8等效6 1电2容C21A4B 满 A
R3

Q外
4 0
1 R3
……………④ Q外
QA 3.0108C
Q外 QA QA
所以，
VB

QA
4 0

1 R2

1 R1

VB

Q外
4 0
1 R3
R3 ＋ R2 QA
＋
＋
R1 B
＋ A＋
＋QA
解方程组，可得到：
QA

R1R2
Q内 QA 2.12108C
电势：VA 0
VB

Q外
4 0
1 R3
0.88 108
1
4 8.8541012 0.10
792(V )
习题6-24 如图所示，由两块相距为 0.50mm的薄金属板A、B构成空气平板电
K A
容器，被屏蔽在一个金属盒K内，金属盒
制约；当金属球A接地时，金属球A的表
+
+Q+外 +
+ +
+ + +
R3
＋+
＋+
R2 Q＋+A R1
＋+ A ＋+
QA ＋+QAQA
++
B+
++
+ QB ++ QA +
面上的电荷变为 QA ，金属球壳Ｂ的内 表面的电荷为 Q内 QA ，金属球壳Ｂ的外表面的电荷为 Q外 。
如图所示。
E1 0
E2

1
4 0
QA r2
E3 0
(0 r R1) (R1 r R2 ) (R2 r R3 )
E4

1
4 0
QB QA r2
(r R3 )
所以，以无限远点的电势为零时，
金属球A的电势ＶR2 Ａ为：R3

+ ++ +
+ +
+ + +
R3
+
+ R2 + R1
++
B+
+ A+
QA + QA ++
+ QB ++ QA +
VA E dl E2dr E3dr E4dr
R1
R1
R2
R3
QA
4 0
R2 dr R3 0 dr QB QA
r2
R1
R2
4 0
dr r2
R3

QA
4 0

个电容器C1；金属盒K的上壁K下与B板的下边面B下组成一个电容
电容器C2
；则：C1
C2

0S
d2

2 0 S
d1
而A板的下边面A下与B板的上边
面B上组成原电容器C0；C0

0S
d1
其等效电路图如右图所示；
由此可见，其等效电容C为：
C1 C2
A上
K上 C0 K下 B下
A
A下 B上
B
C

C0
根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解
o R1 R2
得各区域内的电场分布为：
E1(r) 0
E2 (r)

q
40r 2
(0 r R1) (R1 r R2 )
Qq
E3 (r) 40r 2
(r R2 )
由电场强度与电势的关系：V

E dl
，可解得各区域内