甘肃兰州一中18-19学度高一下年末考试-数学

甘肃兰州一中18-19学度高一下年末考试-数学
2017—2018学年度下学期期末考试
高一数学试题
说明：本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分、总分值100分，考试时间100分钟、答案写在答题卷〔卡〕上，交卷时只交答题卷〔卡〕、
第I 卷〔选择题〕
【一】选择题(每题4分，共40分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．) 1
、直线
10x +-=的倾斜角是( )A
A 、150ｏ
B 、135ｏ
C 、120ｏ
D 、 30ｏ
2、直线3x ＋4y －13=0与圆2246120x y x y +--+=的位置关系是〔 〕C
A 、 相离
B 、 相交
C 、 相切
D 、 无法判定
3、假设a ,b 是异面直线，且a ∥平面α，那么b 和α的位置关系是〔 〕 D A 、平行 B 、相交 C 、b 在α内 D 、平行、相交或b 在α内
4、直线330x y +-=与直线610x my ++=平行，那么它们之间的距离为( )D
A 、4 B
C
D
5、以下关于直线l ,m 与平面α,β的说法，正确的选项是〔 〕B
A 、假设l α⊂且α⊥β,那么l ⊥α
B 、假设l ⊥β且α∥β那么l ⊥α
C 、假设l ⊥β且α⊥β那么l ∥α
D 、假设
α
β=m ,且l ∥m , 那么l ∥α
6、通过直线1
l ：x －3y ＋4=0和2
l ：2x +y ＋5=0的交点，同时通过原点的直线方程是〔 〕
C
A 、19x -9y =0
B 、9x +19y =0
C 、3x +19y =0
D 、19x -3y =0 7、如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45ｏ ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )D A 、
122+ B 、
12
+ C 、
1D 、
2①m ,n 相交且都在平面α,β外，m ∥α,m ∥β,n ∥α,n ∥β,那么α∥β; ②假设m ∥α,m ∥β,那么α∥β;
③假设m ∥α,n ∥β,m ∥n,那么α∥β、 其中正确命题的个数是〔〕B A 、0B 、1C 、2D 、3
9、一只虫子从点O(0,0)动身，先爬行到直线l :x -y +1=0上的P 点，再从P 点动身爬行到点A(1,1)，那么虫子爬行的最短路程是〔〕B
A A 1
B
B 1
C 1
D 1
C
D
A
B 、2
C 、3
D 、4
10、当曲线
1y =与直线240kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值
范围是〔〕C
A 、
5(0,12B 、13(,]34
C 、53(,124
D 、5
(,)12+∞ 第II 卷〔非选择题〕
【二】填空题〔每题4分，共20分，将答案写在答题卡上〕
11、直线1l 通过点A(3,a )，B(a -1,2),直线2l 通过点C(1,2),D(-2,a +2),假设1l ⊥
2l ,那么a
的值为_____________
、3或-4
12、三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是1此三棱锥的外接球的表面积是____________、6π
13、如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AC 所成的角是______°；直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角是_________°、60,30 14、过点O(0,0)引圆C:22(2)(2)1x y -+-=的两条切线OA,OB ，A,B 为切点，那么直线AB 的方程是______________、2x+2y-7=0
15、两点A(-1,0),B(0,2),点C 是圆22(
1)1x y -+=上任意一点，那么△ABC 面积的最小值是______________、
22
-
第II 卷〔非选择题〕
【二】填空题〔每题4分，共20分〕
11、3或-412、6π13、60,3014、2x+2y-7=015
、
2-
【三】解答题(共40分) 16、〔本小题8分〕如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，假设F ，E 分别为PC,BD 的中点，求证： 〔l 〕EF ∥平面PAD ；
〔2〕平面PDC ⊥平面PAD
证明：〔1〕连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴E 为BD 与AC
的交点，
∵F ，E 分别为PC,AC 的中点∴EF ∥PA …………2分
∵PA 在面PAD 内，EF 在面PAD 外，∴EF ∥平面PAD …………4分
〔2〕∵ABCD 是正方形∴CD ⊥AD 又∵面PAD 与面ABCD 的交线为AD ，面PAD ⊥面ABCD ∴CD ⊥面PAD …………6分
又∵CD 在面PDC 内，∴面PDC ⊥面PAD …………8分 17、〔本小题8分〕线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且∣AB ∣=2、 〔1〕求线段AB 的中点P 的轨迹C 的方程；
〔2〕求过点M (1，2)且和轨迹C 相切的直线方程、 解:(1)方法一：设P (x ,y ),
∵∣AB ∣=2,且P 为AB 的中点， ∴∣OP ∣=1……………………2分
∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2=1、……………………4分 方法二：设P (x ,y )，∵P 为AB 的中点，
∴A (2x ,0),B (0,2y ),………………………2分 又∵∣AB ∣=2∴(2x )2+(2y )2=2
化简得点P 的轨迹C 的方程为x 2+y 2=1、……………4分 (2)①当切线的斜率不存在时，切线方程为x =1, 由条件易得x =1符合条件;………………5分
②当切线的斜率存在时，设切线方程为y -2=k (x -1)即kx -y +2-k =0
1
=得k =34,∴切线方程为y -2=34
(x -1)
即3x -4y +5=0
综上，过点M (1，2)且和轨迹C 相切的直线方程为： x =1或3x -4y +5=0……………………8分
18、〔本小题
8
分〕圆
C:
224690
x y x y +--+=及直线
:2310
l m x m y x y m R
-+--=∈ 〔1〕证明：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒相交；
P A B C
D F
E
〔2〕求直线l 被圆C 截得的弦长最短时的直线方程、 解：由224690x y x y +--+=得222(2)(3)2x y -+-= ∴圆C 的圆心为(2,3),半径为2……………2分
〔1〕由:2310()l mx my x y m R -+--=∈得(23)10m x y x y -+--= 由
23010
x y x y -=⎧⎨
--=⎩得
32
x y =⎧⎨
=⎩
∴不论m 取何值，直线l 恒过点P(3,2)…………….4分 ∵22324362920+-⨯-⨯+=-<
∴点P(3,2)在圆C 内……………3分
因此不论m 取何值，直线l 与圆C 恒相交…………….5分 〔2〕当直线l 垂直CP 时，直线l 被圆C 截得的弦长最短 ∵1CP
k
=-…………….7分
因此所求的直线方程为y =x -1…………….8分
19、〔本小题8分〕三棱锥A —BCD 及其三视图如下图、 〔1〕求三棱锥A —BCD 的体积与点D 到平面ABC 的距离； 〔2〕求二面角B-AC-D 的正弦值、
(1)由三视图可得△ABC 为直角三角形，∠DBC 为直角，AD ⊥面DBC,DB=BC=1,AD=2…………….2分 作DE ⊥AB 于点E
∵AD ⊥面DBC ，∴AD ⊥BC ∵∠DBC 为直角∴BC ⊥面ADB ∴BC ⊥DE
∴DE ⊥面ABC ………3分
∴DE 的长为点D 到面ABC 的距离 ∵DB=1,AD=2∴
∴点D 到平面ABC
的距离为
6
………4分 ∵
12DBC
S
=,∴1112323
V =⨯⨯=………5分 (2)作DF ⊥AC 于点F,连结EF ，
∵DE ⊥面ABC ∴DE ⊥AC ∴AC ⊥面DEF ∴AC ⊥EF ∴∠DFE 是二面角B-AC-D 的平面角………7分 ∵DB=BC=1∴
∴
∴sin ∠
∴二面角B-AC-D
的正弦值是
5
………8分 20、〔本小题8分〕圆C 过点M 〔0，-2〕、N 〔3，1〕，且圆心C 在直线x +2y +1=0上、 〔1〕求圆C 的方程；
〔2〕设直线ax -y +1=0与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点P 〔2，0〕的
直线l 垂直平分弦AB ？假设存在，求出实数a 的值；假设不存在，请说明理由、 解：〔1〕设圆C 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0
那么有
--1024-20
1030D
E E
F D E F ⎧+=⎪⎪
+=⎨⎪+++=⎪⎩
…………………2分
解得
644D E F =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴圆C 的方程为：x 2+y 2
-6x +4y +4=0…………4分 〔2〕设符合条件的实数a 存在，
由于l 垂直平分弦AB ，故圆心(3, 2)C -必在l 上、 因此l 的斜率2PC
k =-，
而
1AB
PC
k a k ==-
，因此12a =、…………5分 把直线ax -y +1=0即y =ax +1、代入圆C 的方程， 消去y ，整理得22(1)6(1)90a x a x ++-+=、 由于直线10ax y --=交圆C 于,A B 两点， 故2236(1)36(1)0a a ∆=--+>， 即20a ->，解得0a <、
那么实数a 的取值范围是(,0)-∞、…………………7分 由于1
(, 0)
2
∉-∞，
故不存在实数a ，使得过点(2, 0)P 的直线l 垂直平分弦AB 、………8分。