2019届江苏省扬州中学高三上学期1月月考试题 数学(理)(word版)

2019届江苏省扬州中学高三上学期1月月考试题
数学（理）
一.填空题（共14题，每题5分，共70分）：
1．已知集合}2,1,1{-=M ，集合{}
20<<=x x N ，则N M = ． 2．命题“⎪⎭
⎫
⎝⎛∈∃2,
0πx ，x x sin tan >”的否定是 ． 3.已知
()3,m i
n i m n R i
+=+∈，其中i 为虚数单位，则m n += . 4.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按
000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第18列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号 . （下面摘取了一随机数表的第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 62 58 79 73 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 5.若数据31,37,33,,35a 的平均数是34，则这组数据的标准差是 ． 6．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面． ①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥； ②若m α⊂，n α
β=，αβ⊥，则m n ⊥；
③若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ； ④若//αm ，m β⊂，n αβ=，
则//m n ． 上述命题中为真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）．
7．某学校的数学课外小组有2个女生，3个男生，要从他们中挑选2人组成代表队去参加比赛，则代表队男生、女生都有的概率为 ．
8.等比数列{}n a 中， 11a =，前n 项和为n S ，满足765430S S S -+=，则4S = ．
9.若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为
23
π
的扇形，则此圆锥的体积为 ． 10.已知实数x ，y 满足5030x y x x y -+≥⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，则目标函数2z x y =+的最小值为 ．
11.已知正五边形ABCDE ，2=⋅AE AC ，则AB = .
12.在ABC ∆中，1cos 2sin 4=+B A ，33sin 2cos 4=+B A ，则角C 的大小为 . 13.若关于x 的方程)ln()32ln(22t x t x x t x x -=--+--有且仅有唯一的实数根，则实数t 的取值范围为 .
14.已知点P 为圆1:22=+y x O 上一个动点，O 为坐标原点，过P 点作圆O 的切线与圆
1982:221=--+y x y x O 相交于B A ,两点，则
PB
PA
的最大值为 . 二.解答题（共6题，共90分）： 15．（本小题满分14分）
一副直角三角板按下左图拼接，将BCD ∆折起，得到三梭锥A BCD -（下右图）． （1）若,E F 分别为,AB BC 的中点，求证：//EF 平面ACD ； （2）若平面ABC ⊥平面BCD ，求证：平面ABD ⊥平面ACD ．
16．（本小题满分14分）
如图，在圆内接ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足cos cos 2cos a C c A b B +=． （1）求B ∠的大小；
（2）若点D 是劣弧AC 上一点，3,2,1AB BC AD ===，求四边形ABCD 的面积．
17．（本小题满分15分）
运动员小王在一个如图所示的半圆形水域（O 为圆心，AB 是半圆的直径）进行体育训练，小王先从点A 出发，沿着线段AP 游泳至半圆上某点P 处，再从点P 沿着弧PB 跑步至点B 处，最后沿着线段BA 骑自行车回到点A 处，本次训练结束．已知OA=1500m ，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为2m/s ，4m/s ，10m/s ，设∠PAO=θrad ． （1）若6
π
θ=
，求弧PB 的长度；
（2）试将小王本次训练的时间t 表示为θ的函数t （θ），并写出θ的范围； （3）请判断小王本次训练时间能否超过40分钟，并说明理由．
18.（本小题满分15分）
如图，椭圆22
22:1x y C a b
+=的顶点为1212,,,A A B B ，焦点为
12,,F F
11||A B 1122
1122
2A B A B B F B F S
S
=
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于F 点、与椭圆相交于A,B 两点的直线，|OP |=1，是否存在上述直线l 使1=AP 成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

19.（本小题满分16分）
已知函数f (x
ln x ．
（Ⅰ）若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>8−8ln2；
（Ⅱ）若a ≤3−4ln2，当k >0时，判断直线y =kx +a 与曲线y =f (x )的公共点的个数，并说明理由．
20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，2+3=n n S a ，*
∈N n ．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足：对于任意的*
∈N n ，都有
1
1213211=333---⎛⎫+++
++- ⎪
⎝⎭
n n n n n a b a b a b a b n 成立．
①求数列{}n b 的通项公式；
②设数列⋅n n n c =a b ，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．
2019届高三上1月考附加题
附加题：（共4题，每题10分，总40分） 21.（本小题满分10分）
已知点P (a ，b )，先对它作矩阵
M 1212⎡
⎢
=⎥⎥⎥⎦
对应的变换，再作N 2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为 (8
，)，求实数a ，b 的值．
22.（本小题满分10分）
在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧=+=,
2sin ,
cos sin θθθy x （θ为参数），若以直角
坐标系xoy 的O 点为极点，x 轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得直线l 的极坐标方程为1)6
cos(2=+π
θρ，求直线l 与曲线C 交点的极坐标.
23．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线y x 42
=上有两个动点A 、B ，且满足λ=, 过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M ． （1）求：→
--OA →
--⋅OB 的值； （2）证明：AB FM ⋅为定值．
24. （本小题满分10分）
已知函数0,1)1()(>+-=x e x x f x
. （1）求证：0)(>x f ； （2）若*
∈∀N n ，11
-=+n n x x n e e x ，11=x ，求证：1
121++>
>n n n x x ；
2019届高三上1月半月考（答案）
一.填空题（共14题，每题5分，共70分）： 1． }1{ 2． ⎪⎭
⎫
⎝⎛∈∀2,
0πx ，x x sin tan ≤ 3. 2 4. 719，050，717 5. 2 6．①④ 7.
5
3
8. 40 9.
3
22π
10. 3- 11. 2. 12.6π.
13. 20<≤t 或4
1
-
=t . 14. 223+. 二.解答题（共6题，共90分）： 15
．
16．【解析】（1）方法1
设外接圆的半径为R ，则a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入得 2R sin A cos C ＋2R sin C cos A ＝2×2R sin B cos B ， ……2分 即sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，所以sin B ＝2sin B cos B ．
因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以cos B ＝1
2． …4分
因为0＜B ＜π，所以B ＝π
3．
5分
方法2
根据余弦定理，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 2
2bc ＝2b ·cos B ， …2分
化简得cos B ＝1
2
．
……4分
因为0＜B ＜π，所以B ＝π
3
． …5分
（2）在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC
＝9＋4－2×3×2×1
2
＝7，所以AC ＝7． …7分
因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠ADC ＝2π
3
． ……8分
在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos ∠ADC ，代入得7＝1＋CD 2－2·CD ·(－1
2)，
所以CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2或CD ＝－3（舍）．…12分 所以S ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB ·BC sin ∠ABC ＋1
2AD ·CD sin ∠ADC
＝12×3×2×32＋12×1×2×3
2＝2 3 ………..14分 17．解：（1）∵
，∴
m ．（3分）
（2）在OAP 中，AP=2OAcosθ=3000cosθ， 在扇形OPB 中，
，又BA=2OA=3000，
∴小王本次训练的总时间：
=
，，（7分）
（3）由（2）得：，令t'（θ）=0，得
，∴
，
列表如下，
从上表可知，当时，t （θ）取得极大值，且是最大值，
∴t （θ）的最大值是，
∵
，π＜3.2，∴
，
∵2200＜40×60，∴小王本次训练时间不能超到40分钟．（15分） 18.解：（Ⅰ）
由11||A B =22
7a b +=， ① 由11221122
2A B A B B F B F S
S
=知a=2c ， ②
又 2
2
2
b a
c =-， ③ 由①②③解得2
2
4,3a b ==，
故椭圆C 的方程为22
143
x y += （Ⅱ）
设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， 假设使1AP PB =成立的直线l 存在，
（ⅰ）当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y kx m =+，
由l 与n 垂直相交于P 点且|OP |=1得
1=，即221m k =+
∵1AP PB =，|OP |=1，
∴()()OA OB OP PA OP PB =++
= 2
OP OP PB PA OP PA PB +++ = 1+0+0-1=0, 即12120x x y y +=
将y kx m =+代入椭圆方程，得
222(34)8(412)0k x kmx m +++-=
由求根公式可得122
834km
x x k
-+=
+， ④ 2122
41234m x x k
-=+ ⑤ 121212120()()x x y y x x kx m kx m =+=+++
= 22121212()x x k x x km x x m ++++ = 221212(1)()k x x km x x m ++++ 将④，⑤代入上式并化简得
222222(1)(412)8(34)0k m k m m k +--++= ⑥ 将2
2
1m k =+代入⑥并化简得25(1)0k -+=，矛盾 即此时直线l 不存在
（ⅱ）当l 垂直于x 轴时，满足||1OP =的直线l 的方程为x=1或x=-1，
当X=1时，A,B,P 的坐标分别为33(1,),(1,),(1,0)22
-，
∴33(0,),(0,)22
AP PB =-=-，
∴9
14
AP PB =≠
当x=-1时，同理可得1AP PB ≠，矛盾
即此时直线l 也不存在
综上可知，使1AP PB =成立的直线l 不存在
19．解：（Ⅰ）函数f （x
）的导函数1()f x x '=
-，
由12()()f x f x '='
12
11
x x =， 因为12x x ≠
1
2=．
因为12x x ≠，所以12256x x >．
由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x +=．
设()ln g x x =，
则1
()4)4g x x
'=， 所以
所以g （x ）在[256，+∞）上单调递增， 故12()(256)88ln 2g x x g >=-， 即12()()88ln 2f x f x +>-． （Ⅱ）令m =()e a k -+，n =21(
)1a k
++，则
f （m ）–km –a >|a |+k –k –a ≥0，
f （n ）–kn –a
<)a n k n -
-
≤)n k <0， 所以，存在x 0∈（m ，n ）使f （x 0）=kx 0+a ，
所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有公共点． 由f （x ）=kx +a
得k =．
设h （x ）
，
则h ′（x ）
=
22
ln 1()12x a
g x a x x -+--+=
， 其中g （x ）
ln x -． 由（Ⅰ）可知g （x ）≥g （16），又a ≤3–4ln2， 故–g （x ）–1+a ≤–g （16）–1+a =–3+4ln2+a ≤0，
所以h ′（x ）≤0，即函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f （x ）–kx –a =0至多1个实根．
综上，当a ≤3–4ln2时，对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有唯一公共点． 20．解：（1）由23n n S a +=，① 得1123n n S a --+=(2)n ≥，②
由①–②得120n n n a a a -+-=，即11
3
n n a a -=(2)n ≥． ……………2分
对①取1n =得，110a =≠，所以0n a ≠，所以
11
3
n n a a -=为常数， 所以{}n a 为等比数列，首项为1，公比为13，即11
()3n n a -=，*n ∈N ． ………4分
（2）①由11
()3n n a -=，可得对于任意*n N ∈有
n b +-113n b +2-21
()+3
n b +
11111
()()3333
n n b n --=+-，③ 则1n b -+
-21
3
n b +2-31()+3n b +
22111
()()3(1)333
n n b n --=+--(2)n ≥，④
则113n b -+2-21()3n b +3-31
()+3n b +
11111
()()233
n n b n --=+-(2)n ≥，⑤ …8分 由③–⑤得21n b n =-(2)n ≥. …………………………………………9分 对③取1n =得，11b =也适合上式，
因此21n b n =-，*n ∈N . ………………………………………10分 ②由（1）（2）可知1
213n n n n n c a b --==， 则1121214(1)
333
n n n n n
n n n c c +-+---=
-=， 所以当1n =时，1n n c c +=，即12c c =，
当2n ≥时，1n n c c +<，即{}n c 在2n ≥且*n ∈N 上单调递减， 故12345c c c c c =>>>>
. ……………………………………12分
假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，其中*
,,s p r ∈N ，
由于12345c c c c c =>>>>，可不妨设s p r <<，则2p s r c c c =+ (*)，
即
1
112(21)2121
333
p s r p s r ------=+. 因为*
,,s p r ∈N 且s p r <<，则s ≤1p -且p ≥2，
由数列{}n c 的单调性可知，s c ≥1p c -，即1213s s --≥223
3
p p --. 因为12103r r r c --=>，所以11122(21)212123
3333
p s r p p s r p --------=+>，
即
12
2(21)2333p p p p ---->，化简得7
2
p <， 又p ≥2且*
p ∈N ，所以2p =或3p =. …………………………14分 当2p =时，1s =，即121c c ==，由r ≥3时，21r c c <=，此时1c ，2c ，r c 不构成等差数列，不合题意.
当3p =时，由题意1s =或2s =，即1s c =，又359p c c ==，代入(*)式得1
9
r c =. 因为数列{}n c 在2n ≥且*n ∈N 上单调递减，且51
9
c =
，r ≥4，所以5r =.
综上所述，数列{}n c 中存在三项1c ，3c ，5c 或2c ，3c ，5c 构成等差数列.…16分
2019届高三上1月半月考附加题（教师版）
附加题：（共4题，每题10分，总40分）
21.【解析】依题意，NM 2002⎡⎤
=⎢⎥
⎣
⎦
121⎡⎢⎥⎥⎥
⎦
11⎡=⎥⎦
，
由逆矩阵公式得，(NM )1
-1
414⎡⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
， ……5分
所以1
854
14⎡⎢⎡⎤⎡⎤=⎢
⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎣⎢⎥⎣⎦
，即有5a =
，b = ……10分 22.解：曲线:C ⎩⎨
⎧=+=,
2sin ,
cos sin θθθy x 的普通方程为22,212≤≤-+=x y x （注意范
围），直线:l 1)6
cos(2=+
π
θρ的一般方程为13-=x y ，
联立方程：⎪⎩⎪⎨⎧-=≤≤-+=,
13,
22,12
x y x y x x x 32=⇒0=⇒x 或3=x （舍去）
， 所以交点为)1,0(-，极坐标为)2
,1(π
-. 23解（1）：
设)4
,(),4,(222211x x B x x A 焦点F （0,1）∴)14,(),41,(2
2
2211-=--=x x x x λ=∴⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=-)14(412
2
2121x x x x λλ 消λ得0)41()14(212221=-+-x x x x 化简
整理得0)14)((2121=+-x x x x 21x x ≠ 421-=∴x x 14
42
2
2121=⋅=∴x x y y ∴32121-=+=⋅y y x x （定值）（4分） （2）抛物线方程为241x y =
x y 21
='∴
∴过抛物线A 、B 两点的切线方程分别为
4)(212111x x x x y +-=和4)(212222x x x x y +-=即421211x x x y -=和421
2
22x x x y -
=
联立解出两切线交点M 的坐标为⎪⎭⎫
⎝⎛-+1,221x x ，
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⋅∴4,2.2212
21221x x x x x x FM =02
22
1222122=---x x x x （定值）（10分）. 24.
证：（1）0)('>=x xe x f ⇒)(x f 在),0(+∞上单调递增，所以0)0()(=>f x f . （2）先证：数列}{n x 是单调递减的. 11
-=+n n x x n e e
x n
x x x e e
n n 1
1
-=⇒+，11=x ，所以 0,111
>>-=+n n
x x x x e e
n n 对*∈∀N n 都成立，
又由（1）知0)(>n x f n n x
n x e x e <-⇔1，从而n n x x e e
<+1
n n x x <⇒+1，所以数列}{n x 是单调递减.
再证：n n x 2
1
>
.（数学归纳法）. 当1=n 时，2
1
11>=x ，结论成立.
假设k n =，*
∈N k 时，结论成立，即k
k x 21>
，
当1+=k n 时，要证明1
12
1++>
k k x ，只要证明1
1
2
1
++>k k e e
x ，只要证明21
1>-k e x e k
x ，
构造辅助函数：x e x g x 1)(-=，则0)(1)(22'
>=+-=
x x f x e xe x g x x ，所以)(x g 在),0(+∞上单调递增，而由归纳假设有k k x 21>
，则)21
()(k
k
g x g >，只要证明 2
1
212121
1211)2
1(⋅=>-=+k k k
e e e g k
k ，设210,21≤<=t t k ，只要证明21t
t e t e >-，即只要
证明21t t te e >-，设1)(2--=t t te e t h ，0>t ，则0)2
1()(2
2'
>--=t e e t h t t 恒成立，
所以)(t h 在)21,0(上单调递增，故0)0()(=>h t h ，即21t
t
te e >-成立，从而对
1+=k n ，不等式也成立，综上：n n x 21>
成立，故结论1
12
1
++>>n n n x x 成立.。