高中数学人教A版选修2-1春期末考试高二数学试卷(理科)

2012春期末考试高二数学试卷（理科）
时量：120分钟，总分：150分, 拟卷：吴优平
（第Ⅰ卷）
一、选择题：（每题5分，共60分）
1、已知集合{
}
42
<=x x M ，{
}
0322
<--=x x x N ，则集合N M I ＝ A {}2-<x x B {}3>x x C {}21<<-x x D {}
32<<x x 2、已知5
13
cos α=
，且α是第四象限的角，则αtan ＝ A 125 B 125- C 125
± D 512±
3、已知x
x x f 22)(2
-=，则在下列区间中，0)(=x f 有实数解的是 A (-3，-2) B (-1，0) C (2，3) D (4，5) 4、将函数sin()3
y x π
=+的图像向右平移
6
π
个单位,再向上平移2个单位所得图像对应的函数解析式是
,sin()2,sin()2
2
6
,sin()2
,sin()2
2
6
A y x
B y x
C y x
D y x π
π
π
π
=++=++=+
-=+
-
5、某中学初一年级540人，初二年级440人，初三年级420人，用分层抽样的方法，抽取容量为70的样本，则初一、初二、初三三个年级分别抽取 A. 28人，24人，18人 B. 25人，24人，21人 C. 26人，24人，20人 D. 27人，22人，21人
6、(x+1)(x+2)>0是(x+1)(2
x +2)>0的（ ）条件
A 必要不充分
B 充要
C 充分不必要
D 既不充分也不必要
7、已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC u u u r u u u r
与的夹角为
A 30°
B 45°
C 60°
D 90° 8、O 、A 、B 、C 为空间四个点，又、、为空间的一个基底，则
A O 、A 、
B 、
C 四点共线 B O 、A 、B 、C 四点共面 C O 、A 、B 、C 四点中任三点不共线
D O 、A 、B 、C 四点不共面
9、将直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转︒30，所得直线与圆3)2(2
2=+-y x 的位
置关系是
A 直线与圆相切
B 直线与圆相交但不过圆心
C 直线与圆相离
D 直线过圆心
10、椭圆136
1002
2=+y x 上一点P 到其右准线的距离为10, 则P 到其左焦点的距离是
A 8
B 10
C 12
D 14 11、与双曲线116
92
2=-y x 有共同的渐近线,且经过点()
32,3-的双曲线的一个焦点到一条
渐近线的距离是
A 1
B 2
C 4
D 8
12、已知坐标满足方程F （x ，y ）=0的点都在曲线C 上，那么
A 曲线C 上的点的坐标都适合方程F （x ，y ）=0；
B 凡坐标不适合F （x ，y ）=0的点都不在
C 上； C 不在C 上的点的坐标不必适合F （x ，y ）=0；
D 不在C 上的点的坐标有些适合F （x ，y ）=0，有些不适合F （x ，y ）=0。

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)
13．已知球的表面积为12π，则该球的体积是 ．
14、若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为2
1，则=m 15、右边程序运行后的输出结果为 16、给出以下结论：
①∀a 、b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解； ②q ∨p 为真命题是“p ∧q ”为真命题的必要条件；
③命题 “a 、b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“a ＋b 不是偶数，则a 、b 都不是偶数”．
④命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0≤1，则p ⌝为∀x ∈R ，sin x >1． 其中正确结论的序号是__________．
2012春期末考试高二理数学试卷（第Ⅱ卷）
第一题选择题答案：（每小题5分，共60分）
第二题填空题答案：（每小题5分，共20分）
13、 14、 15、 16、 三、解答题(本大题6小题，共70分)
17、（10分）过原点的直线与圆x 2
＋y 2
－6x ＋5＝0相交于A ，B 两点，求弦AB 的中点M 的轨
迹方程，并说明它表示什么曲线。

（本题学生把求轨迹方法忘了，得分率低）
18、（12分）过双曲线16
32
2=-y x 的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，求｜AB ｜
19、(12分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，O 为正方体中心，化简下列向量表达式．
(1)AA 1→＋BC →； (2)AB →＋DD 1→＋B 1C 1→； (3)AB →＋12
(CC 1→＋A 1D 1→＋CD →)
20、（12分）如图，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．
(1)求BN →
的模； (2)求异面直线BA 1与CB 1所成角的余弦值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .
A 1C 1A 1D 1
B
C B
D O A 1C 1B C
B M N
A 1
21、（12分）已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线y ＝2x 2
上两个不同点，若x 1x 2＝－12
，且A 、
B 两点关于直线y ＝x ＋m 对称，试求m 的值． （本题学生未想到设AB 方程，得分率低）
22、（12分）已知椭圆E 的方程是x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，其左顶点为(－2,0)，离心率e ＝1
2
.
(1)（4分）求椭圆E 的方程；
(2)（8分）已知倾斜角为45°且过右焦点的直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，若椭圆上
存在一点P ，使OP →＝λ(OA →＋OB →
)，试求λ的值．
2012春期末考试高二理数学――答案
第一题选择题答案：（每小题5分，共60分）
第二题填空题答案：（每小题5分，共20分）
13、 4√3π 14、 3/2 15、 21 16、 ② ④
17、（10分）见课本第37页习题2.1第4题：x 2+y 2
-3x=0, 5/3≤x ≤3 18、（12分）见课本第60页例6
19、解：(1)AB →＋DD 1→＋B 1C 1→＝AB →＋BB 1→＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→
.
(2)AA 1→＋BC →＝AA 1→＋A 1D 1→＝AD 1→.
(3)AB →＋12(CC 1→＋A 1D 1→＋CD →)＝AB →＋12(BB 1→＋B 1C 1→＋C 1D 1→)＝AB →＋12
BD 1→＝AO →
20、（12分）解法二：以C 为坐标原点，以CA →、CB →、CC 1→
的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz ，如图． (1)由题意得N (1,0,1)，B (0,1,0)，
∴|BN →|＝12＋(－1)2＋12
＝ 3.
(2)依题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，C 1(0,0,2)． ∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→
＝(0,1,2)，
BA 1→·CB 1→
＝3.
∴|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，
∴cos 〈BA 1→，CB 1→
〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010，
∴异面直线BA 1与CB 1所成角的余弦值为
3010
. (3)证明：∵A 1B →
＝(－1,1，－2)，
C 1M →
＝(12，12
，0)，
∴A 1B →·C 1M →
＝－1×12＋1×12＋(－2)×0＝0，
∴A 1B →⊥C 1M →
，即A 1B ⊥C 1M .
21、(12分) 已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线y ＝2x 2
上两个不同点，若x 1x 2＝－12
，且
A 1C 1
B C
B M N A 1
A 、
B 两点关于直线y ＝x ＋m 对称，试求m 的值．
解：由已知得k AB ＝－1，且AB 的中点C (x 0，y 0)在直线y ＝x ＋m 上，设直线AB 的方程为
y ＝－x ＋n ，联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－x ＋n y ＝2x 2
，消去y 并整理得2x 2
＋x －n ＝0， 依题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝1＋8n >0x 1x 2＝－n 2＝－1
2，
∴n ＝1.
又x 1＋x 2＝－1
2，
∴x 0＝－14，y 0＝－x 0＋1＝5
4
.
∵C (x 0，y 0)在直线y ＝x ＋m 上， ∴54＝－14＋m ，∴m ＝32
. 22、(12分) 已知椭圆E 的方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其左顶点为(－2,0)，离心率e ＝12
.
(1) (4分)求椭圆E 的方程；
(2)(8分)已知倾斜角为45°且过右焦点的直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，若椭圆上存在
一点P ，使OP →＝λ(OA →＋OB →
)，试求λ的值．
解：(1)由已知得a ＝2， e ＝c a ＝1
2
，∴c ＝1，b ＝3， 故椭圆E 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由(1)得右焦点F (1,0)， 因此直线l 的方程为y ＝x －1.
代入椭圆方程并整理得7x 2
－8x －8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)
则x 1＋x 2＝8
7
，
∴y 1＋y 2＝(x 1－1)＋(x 2－1)
＝(x 1＋x 2)－2＝－6
7
.
∴OP →＝λ(OA →＋OB →) ＝λ(x 1＋x 2，y 1＋y 2)
＝λ(87，－67
)，
∴P 点坐标为(8λ7，－6λ
7
)，
代入椭圆方程得：
14×64λ249＋13×36λ2
49＝1. ∴λ2
＝74，∴λ＝±72
.。