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第9课 二次函数、幂函数
【自主学习】
第9课 二次函数、幂函数
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1.(必修1P54测试7改编)函数f (x )=x 2+2x-3，x ∈[0，2]的值域为 . 【答案】[-3，5]
【解析】由f (x )=(x+1)2-4，知f (x )在[0，2]上单调递增，所以f (x )的值域是[-3，5].
2.(必修1P47习题9改编)若函数y=x 2+(a+2)x+3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x=1对称，则b= . 【答案】6
【解析】由二次函数y=x 2+(a+2)x+3的图象关于直线x=1对称，可得-2
2a +=1，所以
a=-4.而f (x )是定义在[a ，b ]上的，即a ，b 关于x=1对称，所以2a b
+=1，所以b=6. 3.(必修1P44习题3改编)函数f (x )=22
2-1[0)-2-1(-0)
x x x x x x ∈∞∈∞⎧++⎨+⎩，，，，， 的单调增区间是 . 【答案】R
【解析】画出函数f (x )的图象可知.
4.(必修1P89练习3改编)若幂函数y=f (x )的图象经过点193⎛⎫
⎪
⎝⎭，，则f (25)= .
【答案】1
5
【解析】设
f (x )=x α，则13=9α，所以α=-1
2， 即f (x )=1-2
x ，所以f (25)=1
5.
5.(必修1P73练习3改编)已知幂函数y=(m 2
-5m+7)·2
-6
m
x
在(0，+∞)上单调递增，那
么实数m= . 【答案】3
【解析】由题意得22
-571-60m m m ⎧+=⎨>⎩，，
解得m=3.
1.二次函数的三种表示方法： (1)一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)； (2)两点式： y=a (x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)； (3)顶点式： y=a (x-x 0)2+n (a ≠0).
2.二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0)图象的对称轴、顶点坐标、开口方向是处理二次函数问题的重要依据.
3.一元二次方程根的分布问题
二次函数对应的一元二次方程的实数根的分布问题是一个比较复杂的问题，给定一元二次方程f (x )=ax 2+bx+c=0(a>0).
(1)若f (x )=0在(m ，n )(m<n )内有且只有一个实数解，则需满足f (m )·f (n )<0或
f (m )=0，另一根在(m ，n )内或f (n )=0，另一根在(m ，n )内.
(2)若f (x )=0在(m ，n )(m<n )内有两个实数解，则需满足2-40()0()0-2b ac f m f n b m n
a ⎧∆=≥⎪
>⎪⎪
⎨>⎪
⎪<<⎪⎩，
，，.
(3)设x 1，x 2为方程f (x )=0的两个实数根，若x 1<m<x 2，则f (m )<0；若m<x 1<n<p<x 2<q
，
则需满足()0()0()0()0
f m f n f p f q >⎧⎪<⎪⎨
<⎪⎪>⎩，，，.
(4)若方程f (x )=0的两个实数根中一根小于m ，另一根大于n (m<n )，则需满足
()0()0f m f n <⎧⎨
<⎩，.
(5)若一元二次方程f (x )=0的两个实数根都大于r ，则需满足2-40-2()0b ac b
r a f r ⎧∆=≥⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，，. 4.幂函数的图象与性质
由幂函数y=x ，y=1
2
x ，y=x 2，y=x -1，y=x 3的图象，可归纳出幂函数的性质如下： (1)幂函数在(0，+∞)上都有定义； (2)幂函数的图象都过点(1，1)；
(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(0，0)与(1，1)，且在(0，+∞)上单调递增； (4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0，0)，且在(0，+∞)上单调递减. 5.五种幂函数的比较 (1)图象比较：
(2)性质比较：
函数特征性
质
y=x y=x 2 y=x 3
y=12
x
y=x -1
定义域R R R [0
，+∞) {x|x≠0}
值域R [0，+∞) R [0，+∞) {y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数
单调性增
当x∈[0，
+∞)时，单调
递增；
当x∈(-∞，
0]时，单调递
减
增增
当x∈(0，
+∞)时，单调
递减；
当x∈(-∞，
0)时，单调递
减
公共点(1，1) 【要点导学】
要点导学各个击破
幂函数的图象与性质
例1求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.
(1)y=
2
3 x；
(2)y=
3
-
2 x；
(3)y=x-2.
【思维引导】求幂函数的定义域，宜先将分数指数幂写成根式，再确定定义域；判断函数奇偶性、单调性的方法，一般用定义法.
【解答】(1)要使函数y=23
x 有意义，只需y=32
x 有意义，即x ∈R ，所以函数y=
2
3x 的定义域是R .又f (-x )=f (x )，所以函数y=23
x 是偶函数，它在(-∞，0]上是减函
数，在[0，+∞)上是增函数.
(2)要使函数y=3-2
x 有意义，只需y=3x 有意义，即x ∈(0，+∞)，所以函数y=3
-2
x 的定义域是(0，+∞).由于函数y=3-2
x 的定义域不关于原点对称，所以函数y=3-2
x
是非奇非偶函数，它在(0，+∞)上是减函数.
(3)要使函数y=x -2有意义，只需y=2
1x 有意义，即x ≠0，所以函数y=x -2的定义域
是{x|x ≠0}.又f (-x )=f (x )，所以函数y=x -2是偶函数，它在(-∞，0)上是增函数，在(0，+∞)上是减函数.
【精要点评】熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础.在函数解析式中含有分数指数幂时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域，求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.
变式 如果幂函数f (x )=213-22
p p x
++(p ∈Z )是偶函数，且在(0，+∞)上是增函数，
求p 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式.
【解答】因为f (x )在(0，+∞)上是增函数，
所以-12p 2
+p+3
2>0，
即p 2-2p-3<0，所以-1<p<3.
又因为f (x )是偶函数且p ∈Z ，所以p=1，故f (x )=x 2.
【精要点评】幂函数y=x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象
上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降.(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凹；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凹.
求二次函数的解析式
例2已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为(1，3).
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根，求函数f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围.
【思维引导】由不等式f(x)>-2x的解集为(1，3)，可先把f(x)表示出来，再利用方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求出a，从而求出f(x)的解析式，最后把其最大值表示出来，求a的取值范围.
【解答】(1)因为f(x)+2x>0的解集为(1，3)，
所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a<0.
于是f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. ①
由方程f(x)+6a=0，得ax2-(2+4a)x+9a=0. ②
因为方程②有两个相等的根，
所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0，
即5a2-4a-1=0，解得a=1或a=-1 5.
又a<0，所以a=-1 5.
将a=-1
5代入①得f(x)的解析式为f(x)=-
1
5x2-
6
5x-
3
5.
(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=
2
12
-
a
a x
a
+
⎛⎫
⎪
⎝⎭-
241
a a
a
++
及a<0，
得f(x)的最大值为-
241
a a
a
++
.
由
241
-0
a a
a
a
⎧++
>
⎪
⎨
⎪<
⎩
，
，
解得a<-2-3或-2+3<a<0.
故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(-∞，-2-3)∪(-2+3，0).
【精要点评】二次函数、一元二次不等式和一元二次方程之间具有非常密切
的关系：一元二次不等式的解集的端点就是其对应的一元二次方程的根，也就是二次函数与x轴的交点.因而在解题时要充分利用它们之间的关系.
变式(2015·栟茶中学)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c图象的顶点为(-1，10)，且方程ax2+bx+c=0的两根的平方和为12，求二次函数f(x)的解析式.
【解答】由题意可设f(x)=a(x+1)2+10，
即f(x)=ax2+2ax+a+10，所以b=2a，c=a+10.
设方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，
则
2
1
x+2
2
x=12，即(x
1
+x
2
)2-2x1x2=12，
所以(-2)2-2×
10
a
a
+
=12，解得a=-2，
所以f(x)=-2x2-4x+8.
二次函数的图象和性质(最值)
微课3
● 问题提出
二次函数的图象与性质的重要应用是求函数的最值，那么利用二次函数的性质求函数的最大(小)值的解题模板是怎样的呢?
● 典型示例
例3函数f(x)=2x2-2ax+3在区间[-1，1]上的最小值记为g(a).
(1)求g(a)的函数表达式；
(2)求g (a )的最大值. 【思维导图】
【规范解答】(1)①当a<-2时，函数f (x )的对称轴x=2a
<-1，则g (a )=f (-
1)=2a+5；
②当-2≤a ≤2时，函数f (x )的对称轴x=2a
∈[-1，1]，则g (a )=f 2a ⎛⎫ ⎪
⎝⎭=3-22a ；
③当a>2时，函数f (x )的对称轴x=2a
>1，则g (a )=f (1)=5-2a.
综上所述，g (a )=2
25-23--222
5-2 2.
a a a a a a +<⎧⎪⎪≤≤⎨⎪>⎪⎩，，，，，
(2)①当a<-2时，由(1)知g (a )<1；②当-2≤a ≤2时，由(1)知g (a )∈[1，3]；③当a>2时，由(1)知g (a )<1.
综合①②③可得g (a )max =3.
【精要点评】(1)利用二次函数的性质求函数的最大(小)值，一定要结合图形来分析在何处取得最值，当题目中含有参数时，要根据对称轴与区间的位置关系分类讨论；(2)利用图象求函数的最大(小)值；(3)利用函数单调性判断函数的最大(小)值：如果函数y=f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，则函数y=f (x )在x=b 处有最大值f (b )；如果函数y=f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y=f (x )在x=b 处有最小值f (b ).
● 总结归纳
二次函数在某区间上的最值(或值域)的求法要熟练掌握，特别是含参数的两类问题(定轴动区间、定区间动轴)的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴.
● 题组强化
1.函数y=3+2x-x2(0≤x≤3)的最小值为.
【答案】0
【解析】因为y=3+2x-x2=-(x-1)2+4，所以函数在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，
所以y=3+2x-x2(0≤x≤3)的最小值为y=3+2×3-32=0.
2.(2014·泰州中学)已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3，若函数f(x)在[-1，3]上的最大值为1，则实数a= .
【答案】-1
3或-1
【解析】函数f(x)的对称轴为直线x=-2-1
2
a
.①当-
2-1
2
a
≤1，即a≥-
1
2时，
f(x)
max
=f(3)=1，
所以6a+3=1，即a=-1
3，满足题意；②当-
2-1
2
a
>1，即a<-
1
2时，f(x)
max
=f(-1)=1，
所以-2a-1=1，即a=-1，满足题意.综上，a=-1
3或-1.
3.(2015·南京阶段测试)设函数f(x)=x2-4x-4在闭区间[t，t+1](t∈R)上的最小值为g(t).
(1)求g(t)的解析式.
(2)作出g(t)的大致图象，并写出g(t)的最小值.
【解答】(1)f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8.
当t>2时，f(x)在[t，t+1]上是增函数，所以g(t)=f(t)=t2-4t-4；
(第3题)
当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，g(t)=f(2)=-8；
当t+1<2，即t<1时，f(x)在区间[t，t+1]上是减函数，所以g(t)=f(t+1)=t2-2t-7.
综上可知，g(t)=
2
2
-2-71 -812
-4-4 2. t t t
t
t t t
⎧<
⎪
≤≤
⎨
⎪>
⎩
，，，，
，
(2)g(t)的大致图象如图所示，由图象易知g(t)的最小值为-8.
4.已知1
3≤a≤1，若f(x)=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为
N(a)，令g(a)=M(a)-N(a).
(1)求g(a)的函数表达式；
(2)判断函数g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值.
【解答】(1)f(x)=ax2-2x+1=
2
1
-
a x
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭+1-
1
a，由题设知1≤
1
a≤3.
当1≤1
a≤2，即
1
2≤a≤1时，M(a)=f(3)=9a-5，N(a)=f(x)
min
=1-
1
a，
g(a)=9a-5-
1
1-
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭=9a+
1
a-6；
当2<1
a≤3，即
1
3≤a<
1
2时，M(a)=f(1)=a-1，
N(a)=f(x)
min =1-
1
a，g(a)=(a-1)-
1
1-
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭=a+
1
a-2.
所以g(a)=
111
-2
32
11
9-6 1.
2
a a
a
a a
a
⎧
+≤<
⎪⎪
⎨
⎪+≤≤
⎪⎩
，，
，
(2)当1
3≤a
1
<a
2
<
1
2时，g(a
2
)-g(a1)=(a2-a1)12
1
1
a a
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭<0，
所以g(a)在
11
32
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，
上是减函数，最小值是g
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭=
1
2；
当1
2≤a
1
<a
2
≤1时，g(a2)-g(a1)=(a2-a1)12
1
9-
a a
⎛⎫
⎪
⎝⎭>0，
所以g(a)在
1
1
2
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，
上是增函数，最小值是g
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭=
1
2. 三个“二次”之间的转换
例4已知函数f(x)=x2，g(x)=x-1.
(1)若存在x∈R使得f(x)<b·g(x)，求实数b的取值范围；
(2)设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2，且|F(x)|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围.
【思维引导】(1)存在x∈R，使得f(x)<b·g(x)⇒x2-bx+b<0的解集不是∅⇒二次函数f(x)=x2-bx+b的图象与x轴有两个交点⇒Δ>0.
(2)先结合判别式的符号研究函数y=F(x)的图象，再根据翻折变换研究函数
y=|F(x)|在[0，1]上的图象，利用数形结合思想讨论对称轴和零点的位置确定参数m的取值范围.
【解答】(1)存在x∈R，f(x)<b·g(x)⇒存在x∈R，使得x2-bx+b<0⇒(-b)2-4b>0⇒b<0或b>4.
故实数b的取值范围为(-∞，0)∪(4，+∞).
(2)F(x)=x2-mx+1-m2，
Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4.
①当Δ≤0，即-255≤m ≤25
5时， 必须2m
≤0，则-25≤m ≤0.
②当Δ>0，即m<-25或m>25
时，
设方程F (x )=0的根为x 1，x 2(x 1<x 2).
若2m
≥1，则x 1≤0，即212(0)1-0m
F m ⎧≥⎪⎨⎪=≤⎩，⇒m ≥2；
若2m
≤0，则x 2≤0，
即202(0)1-0m
F m ⎧≤⎪⎨⎪=≥⎩，⇒-1≤m<-25
.
综上所述，实数m 的取值范围为[-1，0]∪[2，+∞).
【精要点评】二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称三个“二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体.因此，有关三个“二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.
变式 (2014·金陵中学)已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a>0，c>0)的图象与x 轴有两个不同的公共点，且f (c )=0，当0<x<c 时，恒有f (x )>0.
(1)当a=1
3，c=2时，求不等式f (x )<0的解集；
(2)若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，且
ac=1
2，求a 的值；
(3)若f (0)=1，且f (x )≤m 2-2m+1对所有的x ∈[0，c ]恒成立，求正实数m 的最小值.
【解答】当a=1
3，c=2时，f(x)
=
1
3x2+bx+2，
因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，且f(2)=0，
所以f(x)=0的一个根为2，设另一个根为x1，
则2x1=6，即x1=3.
所以f(x)<0的解集为{x|2<x<3}.
(2)因为函数f(x)的图象与x轴有两个交点，且f(c)=0，所以f(x)=0的一个根为
c，设另一个根为x
2
，
则cx2=
c
a，即x
2
=
1
a.
又当0<x<c时，恒有f(x)>0，则
1
a>c，
则三个交点分别为(c，0)，
1
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
，(0，c)，
以三上交点为顶点的三角形的面积S=
11
-
2
c
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭c=8，且ac=
1
2，解得a=
1
8，c=4.
(3)当0<x<c时，恒有f(x)>0，则
1
a>c，
所以f(x)在[0，c]上单调递减，且在x=0处取得最大值1.
要使f(x)≤m2-2m+1对所有的x∈[0，c]恒成立，
必须f(x)max=1≤m2-2m+1成立，
所以m2-2m+1≥1，即m2-2m≥0，解得m≥2或m≤0，又m>0，所以m的最小值为2.
1.(2015·启东中学)已知函数f(x)=x，x∈[-1，8]，函数g(x)=ax+2，x∈[-1，8]，若存在x∈[-1，8]，使f(x)=g(x)成立，则实数a的取值范围是.
【答案】
3
-
4
∞
⎛⎤
⎥
⎝⎦
，
∪[3，+∞)
【解析】分别作出函数f(x)=x，x∈[-1，8]与函数g(x)=ax+2，x∈[-1，8]的图象.
当直线经过点(-1，-1)时，a=3；当直线经过点(8，8)时，a=3
4.结合图象有a≤
3
4
或a≥3.
2.(2014·南通一中)若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是.
【答案】y=-x2+2x+8
【解析】由题意设二次函数表达式为y=a(x+2)(x-4)(a<0)，对称轴为直线x=1，当x=1时，y
max
=-9a=9，所以a=-1，所以y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8.
3.(2016·苏州期中)设函数f(x)=
2-40
--30
x x
x x
⎧>
⎨
<
⎩
，，
，，
若f(a)>f(1)，则实数a的取值范围
是.
【答案】(-∞，-1)∪(1，+∞)
【解析】当a>0时，f(a)>f(1)⇒2a-4>-2⇒a>1；
当a<0时，f(a)>f(1)⇒-a-3>-2⇒a<-1.
故实数a的取值范围为(-∞，-1)∪(1，+∞).
4.(2014·镇江期末)已知a∈R，函数f(x)=x2-2ax+
5.
(1)若不等式f(x)>0对任意的x∈(0，+∞)恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若a>1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值.
【解答】(1)因为x2-2ax+5>0对任意的x∈(0，+∞)恒成立，所以2a<x+5
x对x>0恒成
立.
因为x>0时，x+5
x
x=
5
x，
即
min
5
x
x
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭=
所以2a<
(2)因为f(x)=x2-2ax+5的图象的对称轴为x=a(a>1)，所以f(x)在[1，a]上为减函数，
所以f (x )的值域为[f (a )，f (1)]. 又因为f (x )的值域为[1，a ]，
所以22()-251(1)1-25f a a a f a a ⎧=+=⎨
=+=⎩，，解得a=2.
【融会贯通】
融会贯通 能力提升
(2014·南通调研)设a 为实数，函数f (x )=x 2+|x-a|+1，x ∈R ，求f (x )的最小值.
【思维引导】
【规范解答】①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2-x+a+1=2
1-
2x ⎛⎫
⎪⎝⎭+a+34，
其
对
称
轴
方
程
为
x=
1
2.………………………………………………………………………2分
若a
≤
1
2，则对称轴x=
1
2在区间(-∞，a]的右侧，f (x)在此区间上单调递减，
此时f(x)的最小值为f(a)=a2+1；……………………………………………………………4分
若a>1
2，则对称轴x=
1
2在区间(-∞，a]内，
此时f(x)的最小值为f
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭=
3
4
+a.……………………………………………………………7分
②当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=
2
1
2
x
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭-a+
3
4，
其对称轴方程为x=-1
2.
………………………………………………………………………9分
若a>-1
2，则对称轴x=-
1
2在区间[a，+∞)的左侧，f(x)在[a，+∞)上单调递增，
此时f(x)的最小值为f(a)=a2+1.……………………………………………………………11分
若a≤-1
2，则对称轴x=-
1
2在区间[a，+∞)内，此时f(x)的最小值为f
1
-
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭=
3
4
-a.
综上，当a≤-1
2时，f(x)
min
=
3
4-a；
当-1
2<a≤
1
2时，f(x)
min
=a2+1；
当a>
12
时，f (x )min =
34
+a.……………………………………………………………………14分
趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第17~18页.
【检测与评估】
第9课 二次函数、幂函数
一、 填空题
1.若函数f (x )=(m 2
-m -1)2
-2-3
m
m x
是幂函数，且在x ∈(0，+∞)上是减函数，则实数m
的值为 .
2.函数y =2x 2-8x +2在区间[-1，3]上的值域为 .
3.已知幂函数f (x )=x α的部分对应值如下表：
x 1 12
f (x )
1
22
则不等式f (|x |)≤2的解集是 .
4.若二次函数f (x )=ax 2+bx +1满足f (x 1)=f (x 2)，则f (x 1+x 2)= .
5.若函数f (x )=4x 2-mx +5在区间[-2，+∞)上是单调增函数，则f (1)的取值范围为 .
6.若函数f (x )=-x 2+(2a -1)|x |+1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是 .
7.(2014·苏中三市、连云港二调)已知对任意的x ∈R ，函数f (x )满足f (-x )=f (x )，且当x ≥0时，f (x )=x 2-ax +1.若f (x )有4个零点，则实数a 的取值范围是 . 8.(2015·北京海淀区)如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为实数，a ≠0)的图象过点C(t ，2)，且与x 轴交于A ，B 两点，若AC ⊥BC ，则实数a = .
(第8题)
二、解答题
9.设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有两个实数根x1，x2.
(1)求(1+x1)(1+x2)的值；
(2)求证：x1<-1且x2<-1；
(3)如果
1
2
1
10
10
x
x
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，
，试求a的最大值.
10.设a为实数，函数f(x)=x|x-a|，其中x∈R.
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；
(2)写出函数f(x)的单调区间.
11.(2014·盐城一中)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R)，x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，若f(x)>x+k在区间[-3，-1]上恒成立，试求k的取值范围.
三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)
12.已知函数f(x)=ax2-|x|+2a-1(a为实常数).
(1)若a=1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；
【检测与评估答案】
第9课二次函数、幂函数
1.2【解析】由题意知m2-m-1=1，解得m=2或m=-1.当m=2时，m2-2m-3=-3，f(x)=x-3符合题意；当m=-1时，m2-2m-3=0，f(x)=x0不合题意.综上，m=
2.
2.[-6，12]【解析】y=2(x-2)2-6，当x=2时，y取得最小值为-6；当x=-1时，y取得最大值为12.
3.{x|-4≤x ≤4} 【解析】由f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭
=2⇒α=12，故f (|x|)≤2⇒|x 12
|≤2⇒
|x|≤4，故其解集为{x|-4≤x ≤4}.
4.1 【解析】因为f (x 1)=f (x 2)且f (x )的图象关于直线x=-2b a 对称，所以x 1+x 2=-b
a ，
所以f (x 1+x 2)=f -b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=a ·2
2
b a -b ·b a +1=1.
5. [25，+∞) 【解析】由题意知8m
≤-2，所以m ≤-16，所以f (1)=9-m ≥25.
6.
12∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 【解析】f (x )=-x 2+(2a-1)|x|+1的图象是由函数f (x )=-x 2+(2a-1)x+1的图象变化得到的.第一步去除y 轴左侧的图象，保留y 轴右侧的图象，再作关于y 轴对称的图象.因为定义域被分成四个单调区间，所以f (x )=-x 2+(2a-1)x+1的对称轴
在y 轴的右侧，使y 轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间，所以2-1
2a >0，
即a>12.
7.(2，+∞) 【解析】由题意得f (x )为偶函数.因为f (x )有4个零点，又f (0)=1>0，
所以当x>0时，f (x )=x 2-ax+1有2个零点，所以202-40a
a ⎧>⎪⎨⎪∆=>⎩，，解得a>2.
8.-1
2 【解析】设y=a (x-x 1)(x-x 2)，由题设知a (t-x 1)(t-x 2)=2.又AC ⊥BC ，利用
斜率关系得12-t x ·22-t x =-1，所以a=-1
2.
9.(1)由题意知x 1+x 2=-1a ，x 1x 2=1a ，所以(1+x 1)(1+x 2)=1+(x 1+x 2)+x 1x 2=1-1a +1
a =1. (2)令f (x )=ax 2+x+1(a>0)，
由Δ=1-4a ≥0，得0<2a ≤1
2，
所以一元二次方程f (x )的对称轴方程x=-1
2a ≤-2<-1. 又f (-1)=a>0，
所以f (x )的图象与x 轴的交点都在点(-1，0)的左侧，故x 1<-1且x 2<-1.
(3)由(1)知x 1=21
1x +-1=-221x x +，
所以12x x =-21110110x ⎡⎤∈⎢⎥
+⎣⎦，，
所以-211101111x ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦，，
所以a=121
x x =-2221x x +=2
211---2
x ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦+14， 故当-21x =12时，a 取得最大值14.
10.(1) 当a=0时，f (x )=x|x|，因为定义域为R ，关于原点对称，且f (-x )=-x|-
x|=-f (x )，所以f (x )为奇函数.当a ≠0时，因为f (a )=0，f (-a )=-a|2a|，所以f (-a )≠f (a )，f (-a )≠ -f (a )，所以f (x )是非奇非偶函数.
(2) 当a=0时，f (x )=22
0-0x x x x ⎧≥⎨<⎩，，，，
f (x )的单调增区间为(-∞，+∞)；
当a>0时，f (x )=22--x ax x a x ax x a ⎧≥⎨+<⎩，，，，f (x )的单调增区间为
-2a ∞⎛
⎫ ⎪⎝⎭，和(a ，+∞)，f (x )的单调减区间为
2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 当a<0时，f (x )=22
--x ax x a x ax x a ⎧≥⎨+<⎩，，，，
f (x )的单调增区间为(-∞，a )和2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，，f (x )的单调减区间为2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 11.(1)由题意知f (-1)=a-b+1=0，且-2b
a =-1，所以a=1，b=2.
所以f (x )=x 2+2x+1，单调减区间为(-∞，-1]，单调增区间为[-1，+∞).
(2)f (x )>x+k 在区间[-3，-1]上恒成立，
即x 2+x+1>k 在[-3，-1]上恒成立.
设g (x )=x 2+x+1，x ∈[-3，-1]，有k<g (x )min .
因为g (x )在[-3，-1]上单调递减，
所以g (x )min =g (-1)=1.
所以k<1，即k 的取值范围为(-∞，1).
12.(1) 当a=1时，f (x )=x 2-|x|+1=22-1010x x x x x x ⎧+≥⎨++<⎩，，，=2213-02413024x x x x ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++< ⎪⎪⎝⎭⎩，，，，
所以f (x )的单调增区间为11-022∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，，，，f (x )的单调减区间为11--022∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. (2) 由于a>0，当x ∈[1，2]时，f (x )=ax 2-x+2a-1=a 2
1-2x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2a-14a -1. ①当0<12a <1，即a>1
2时，f (x )在[1，2]上为增函数，g (a )=f (1)=3a-2； ②当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g (a )=f 12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2a-14a -1； ③当12a >2，即0<a<1
4时，f (x )在[1，2]上为减函数，g (a )=f (2)=6a-3.
综上，g (a )=16-3041112--144213-2.2a a a a a a a ⎧<<⎪⎪⎪≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，，，。