人教A版高中数学必修1《二章 基本初等函数 2.2 对数函数 互为反函数的两个函数图象之间的关系 》导学案_24

《互为反函数的两个函数图象之间的关系》教学设计
教学目标：
1、知识与技能：掌握互为反函数的两个函数图象之间的关系，进而理解反函数的图象性质。

了解证明互为反函数的两个函数图象关于直线y=x 对称的方法，加深学生对原函数与反函数概念的理解。

2、过程与方法：通过取指数函数x y 2=上的几个点观察它们与对数函数图象
x y 2log =的关系，及其它几个互为反函数的图象之间的关系的观察，提高学生归纳猜想能力和数形结合能力。

从而得出互为反函数的两个函数图象关于直线y=x 对称的结论。

3、情感、态度、价值观：提高学生观察、猜想、归纳、总结的能力，增强学生的动手操作能力，识图、画图、看图的能力，培养学生养成合作探究的团队精神，形成数形结合的数学思想及良好的数学思维能力。

教学重点:互为反函数的两个函数图象之间的关系及反函数的图象性质。

教学难点：利用将两函数图象的对称性转化为平面上点的对称性问题来证明互为反函数的两个函数图象关于直线y=x 对称。

教学方法：探究讨论法、启发引导式
教具准备：PPT 、电子电板、展台、直尺
教学内容分析：《互为反函数的两个函数图象之间的关系》是2003新课标人教A 版必修一第二章《对数函数及其性质》之后的探究与发现，它是指数函数与对数函数及反函数知识的延伸与拓展。

这一部分内容尽管在高考中考得不多，但却可以很好地培养学生的观察能力、归纳能力、作图能力、应用信息技术探索问题、得出结论的能力。

课堂中教师指导学生用《几何画板》、电子白板、PPT 等现代化教学手段与传统的手动列表、描点、连线的作图方法相结合，引导学生发现互为反函数的两个函数图象之间的对称关系，然后又采用精密的数学论证得出结论。

得出结论后再通过课堂练习及变式加深了学生对互为反函数的两个函数图象及性质的理解。

学生学情分析：由于这一部分知识是高一上学期期中考试之前学习的内容，学生们对于比较抽象函数的了解不多，理解起来也有一定的难度。

一方面，学生们的逻辑思想能力和数学推理能力还较差，让他们初步地观察、猜想还可以，若是让
他们独立地证明问题难度就比较大了。

另一方面，在探究《互为反函数的两个函数图象》之前，学生已经初步掌握了函数的定义域、值域、解析式及反函数和的求法，会画一些基本初等函数的图象。

因此，本节课由画几组互为反函数的图象入手，让学生观察、猜想、讨论得出结论，并反复练习、变式探究、由浅入深、由易到难，让学生分组讨论，合作探究得出结论。

对于在练习中出现的问题及时纠正，学生表现积极，课堂参与的愿望很强烈，气氛十分活跃。

通过本节课学生们的热烈论论，能按照预期的设想突出重点，突破难点，循序渐进地完成本节课的教学目标。

教学过程：
一、创设情境，导入新课：
1、细胞分裂问题：某种细胞分裂是由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系是什么？
2、剪绳子问题：一根1米长的绳子，第一次剪掉绳子的一半，第二次剪掉剩余绳子的一半……剪了x 次后剩余绳子的长度为y 米。

写出y 和x 的函数关系。

思考：这两个函数的反函数是什么？
二、观察猜想、推进新课：
问题１、找一名同学用几何画板在同一平面直角坐标系中画出指数函数x y 2=与对数函数x y 2log =的图象，观察这两个函数图象具有什么样的对称关系？ 问题２、取指数函数x y 2=图象上的几个点，如)8,3(),4,2(),2,1(),1,0(),2
1,1(54321P P P P P -，求出这五个点关于直线y=x 的对称点的坐标，它们在对数函数x y 2log =的图象上吗？为什么？
问题３、若点),(000y x P 在函数x y 2=图象上，那么点P ０关于直线y=x 的对称点
),(111y x P 在函数x y 2log =的图象上吗？为什么？（用几何画板演示） 问题４、由以上探究可得出什么结论？
问题５、上述结论对于指数函数x a y =及其反函数对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 也成立吗？为什么？
问题６、对于任意两个互为反函数的函数图象之间都有上述关系吗？
三、探究讨论、发现规律
探究一：例１、求下列函数的反函数，并在同一平面直角坐标系中分别作出互为反函数的两个函数图象。

（学生分组作图，并讨论得出结论；老师用幻灯动画展示列表、描点、连线的作图方法） （１）x y y x 21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛=与（２）33x y x y ==与（３）212112+=-=x y x y 与
问题７、请同学们仔细观察每对反函数的图象，看互为反函数的两个函数图象之间是否具有对称关系？
问题８、通过观察我们得出了互为反函数的两个函数图象关于直线y=x 对称，同学们能否通过严谨的数学证明得出这个结论呢？
函数图象就是平面上点的集合，所以我们研究函数图象的对称性就是通过研究点的对称性来完成的，这样就把两函数图象关于直线y=x 对称性转化为证明点关于直线y=x 对称了。

教师说明：若点M,M ’关于直线y=x 对称，则直线l 是线段MM ’的垂直平分线，而线段的垂直平分线又有什么性质呢？下面同学们分组讨论，证明直线l 是MM ’的垂直平分线。

证明：设点M(a,b)是y=f(x)图象上的任意一点，即当x=a 时，f(x)有唯一值f(a)=b,那么，对于其反函数y=f -1(x)来说，当x=b 时，f -1(x)有唯一值f -1(b)＝a,即点M ’（b,a)在反函数y=f -1(x)的图象上。

如果a=b,那么点M ，M ’是直线y=x 上的同一个点，因此它们关于直线y=x 对称。

如果a ≠b,设点Ｐ（c,c ）是直线l 上任意一点，则
2222)()(',)()(c a c b PM c b c a PM -+-=-+-=即|PM|=|PM ’|.所以直线y=x 上的任意一点到两个定点M,M ’的距离相等，因此直线y=x 是线段MM ’的垂直平分线，即点M,M ’关于直线y=x 对称。

得出结论：互为反函数的两个函数图象关于直线y=x 对称。

性质１、若点M （a,b ）在原函数图象上，则点M ’（b,a)在反函数图象上，反之也成立。

无论是从图象上直接观察，还是通过数学证明，我们都得到了互为反函数的两个函数图象关于直线y=x 对称这一结论，也从本质上提示了原函数与反函数的关系。

探究二、求下列函数)(x f y =的反函数，它们的反函数与原函数有什么关系？ (1))0()(≠=k x k
x f （2）f(x)=-x+2（3）)1,,1,0,(11)(a
x R x a a R a ax x x f =∈≠≠∈--= 通过（电子白板批注）计算得出这些函数的反函数就是本身，因此这两个函数图象本身的对称轴就是直线y=x .利用（几何画板）作出这两个函数图象从直观上观察。

性质２、若一个函数的反函数是它本身，则函数本身图象就关于直线y=x 对称。

四、课堂练习、巩固提高 函数324)(-+=
x x x f ，函数y=g(x)图象与)2(1+=-x f y 图象关于直线y=x 对称，求g(2)的值。

五、课堂检测
1、函数y=f(x)存在反函数，且f(2)=0,则y=f -1(x)的图象必过点（ ） A(2,0) B(0,2) C(-2,0) D(0,-2)
2、函数y=f(x)存在反函数，且且f(2)=0,则y=f -1(x+1)的图象必过点（ ） A(2,0) B(0,2) C(-1,2) D(2,-1)
3、函数1
54)(-+=x x x f 与g(x)图象关于直线y=x 对称，则g(3)=( ) A -8 B 8 C -6 D 6 4、函数ax ax x f +-=
11)(的图象关于直线y=x 对称，则a=( ) A -1 B 2 C -2 D 1
六、课堂小结：本节课我们主要探究了互为反函数的两个函数图象之间的关系。

通过作图观察得出了指数函数x a y =与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。

通过证明我们得到了一般性的结论：任意两个互为反函数的函数图象都关于直线y=x 对称。

利用这种对称性我们知道了（1）点M （a,b ）在原函数图象上，则 M ’（b,a ）在反函数图象上，反之也成立。

（2）若一个函数本身的图象关于直线y=x 对称，则它的反函数是本身。

七、布置作业、课后探究
1、直线L1与L2的图象关于直线y=x对称，其中L1方程为Ax+By+C=0,求L2方程。

2、同底的指数函数x
=与它的反函数对数函数)1
y2
=a
a
x
y a图象是否有
>
,0
(
log≠
交点？当a变化时，它们的函数图象有几个交点?有什么规律吗？
八、板书设计：
互为反函数的两个函数图象之间的关系
一．互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称。

例1
二．若点M（a,b）在原函数图象上，
则M’（b,a）在反函数图象上，反之也成立。

例2
三．若一个函数本身的图象关于直线y=x对称，则它的反函数是本身。

九、教学反思：本节课由细胞分裂和剪绳子问题导入，在推进新课时，本节课首先通过做指数函数与对数函数的图象，引导学生观察两个函数图象具有怎样的对称关系，再通过在图象上取几个特殊点验证自己的猜想，然后通过对比互为反函数的两个函数图象之间的关系，引导学生通过观察得出结论：互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称。

但由于观察、猜想、归纳都不是科学严谨的，因此，在此基础上，教师引导学生用数学证明的方法，证明这一结论，这样做到有理有据，有说服力。

在例题和练习题的引用上，教师精心准备，问题的设计由浅入深，由易到难，层层深入，环环相扣，激起学生强烈的求知欲，课堂气氛十分活跃。

本节课在教师的引导下，学生们主动分组合作探究、讨论解决问题，培养了学生们的小组合作能力、动力操作能力，把反函数这一比较抽象的内容用数形结合的方式展现给大家，使学生时时获取新知识，处处有所收获，圆满地完成了本节课的教学目标。

美中不足的主要有两个方面。

一方面，由于课堂时间比较紧，没能让学生们针对互为反函数的两个函数图象之间的对称关系互相出题，这样就便于学生更加深入、彻底地掌握反函数的本质，课堂效果会更好，学生的能力也会有进一步的提升。

另一方面，课堂教学中教师采用PPT、电子白板、几何画板、展台等现代化教学技术手段辅助教学，既直观又形象，效果好，但由于条件有限，只能看个别同学亲身体验，若能做到一人一机，都能亲自参予效果会更好。

十、。