东城区届高三二模数学理试题及答案审批稿

东城区届高三二模数学
理试题及答案
YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】
北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）
数学
（理科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号
___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项)
1．集合{1
234}A =，，，，{|3}B x R x =∈≤，则=A B A.{1
234}，，， B. {123}，， C. {23}， D.{14}， 2．已知命题p ：∃x ∈R 有sinx ≥1，则﹁p 为 A. sin 1x R x ∀∈≤， B.sin 1x R x ∃∈<， C. sin 1x R x ∀∈<， D.,sin 1x R x ∃∈≤
3．如图，ABC 为正三角形，111////AA BB CC ，1CC ⊥底面ABC ，若1122BB AA ==，
113AB CC AA ==，则多面体111ABC A B C -在平面11A ABB 上的投影的面
积为 A.
274 B. 92 C. 9 D. 272
4．若向量=(1,0)a ，=(2,1)b ，=(,1)x c 满足条件3a -b 与c 共线，则x 的值
A. 1
B. -3
C. -2
D. -1
5．成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后 成 为等比数列{}n b 中的b 、b 、b ，则数列{}n b 的通项公式为 A. 12n n b -=
B. 13n n b -=
C. 22n n b -=
D. 23n n b -=
6．一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠劵，每张优惠券只能购买一件商品。

根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下： 优惠劵1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%； 优惠劵2：若标价超过100元，则付款时减免20元；
优惠劵3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%。

若顾客购买某商品后，使用优惠劵1比优惠劵2、优惠劵3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为
A. 179元? ?
B. 199元? ?
C. 219元?
D. 239元
7． 已知函数24()(1)4x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩，
则2(2log 3)f +的值为
A. 24
B. 16
C. 12
D. 8
8．集合{(,)|}A x y x y R =∈，，若A ∈x,y ，已知1122()()x y x y ==，，，x y ，定义集合A 中元素间的运算*x y ，称为*“”运算，此运算满足以下运算规律： ①任意A ∈x,y 有**x y =y x
②任意A ∈x,y,z 有()=**+*x +y z x z y z (其中1212()x x y y ++，x +y =)
③任意A ∈x,y ，a R ∈有(()ax y a x y *=*）
④任意A ∈x 有0*≥x x ，且=0*x x 成立的充分必要条件是=(0 0)，x 为向量. 如果1122()()x y x y ==，，，x y ，那么下列运算属于*“”正确运算的是 A. 11222x y x y *=+x y B. 1122x y x y *=-x y C. 11221x y x y *=++x y D. 12122x x y y *=+x y
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．设 i 是虚数单位，复数
ai
i
1+2-所对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围为___. 10．设变量x ，y 满足约束条件2
01x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩
,则目标函数2z x y =+的最大值为 .
11．已知直线113:()24x t
l t y t =+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
则AB = .
12．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55，
[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频
率分布直方图如图. 则产品数量位于[)55,65范围内的频率为_____；这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是 .
13．若点O 和点2(2,0)F -分别为双曲线2
221x y a
-=（>0）的中心和左焦点，点P 为双
曲线右支上的任意一点，则2
2
2
+1
PF OP 的取值范围为___．
14．已知函数*sin ()()sin n nx
f x n N x
=
∈，关于此函数的说法正确的序号是__. ①()()n f x n N *∈为周期函数； ②()()n f x n N *∈有对称轴； ③π(0)2
，为()()n f x n N *
∈的
对称中心 ；④*
()()n f x n n N ≤∈.
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
15．（本小题共13分）
已知函数2111
()23sin()cos()2cos ()222
f x x x x ωωω=⋅+(0>ω)，且函数()f x 的最小正周
期为π.
(Ⅰ)求ω的值；
(Ⅱ)求()f x 在区间π
[0,]2
上的最大值和最小值.
16．（本小题共14分）
如图，ABC ∆是等腰直角三角形90CAB ∠=，
2AC a =，E F ，分别为AC BC ，的中点，沿EF
将CEF ∆折起，得到如图所示的四棱锥-C ABFE ' （Ⅰ）求证： AB AEC '⊥平面；
（Ⅱ）当四棱锥-C ABFE '体积取最大值时，
(i)若G 为BC '中点，求异面直线GF 与AC '所成角；
(ii)在-C ABFE '中AE 交BF 于C ，求二面角A CC B '--的余弦值．
17．（本小题共13分）
在2015-2016赛季CBA 联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注：表中分数n
N
，N 表示投篮次数，n 表示命中次数）,假设各场比赛相互独立. 场次 球员
1
2
3
4
5 6 7 8 9 10
甲
错
误！错
误！错
误！错
误！错
误！错
误！错
误！错
误！错
误！错
误！
根据统计表的信息:
（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于的
概率；
（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过的概率； （Ⅲ）在接下来的3场比赛中，用X 表示这3场比赛中乙球员命中率超过的场次，试
写出X 的分布列，并求X 的数学期望.
18．（本小题共14分）
已知2()2ln(2)(1)f x x x =+-+，()(1)g x k x =+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；
（Ⅲ）若存在01x >-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围．
19．（本小题共13分）
已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 过点(2，1)，且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点
为顶点的三角形是等腰直角三角形. (Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)设M ,)x y （是椭圆C 上的动点，P ,0)p （是X 轴上的定点，求MP 的最小值及取最小值时点M 的坐标.
20．（本小题共13分）
数列{}n a 中，定义：212(1)n n n n d a a a n ++=+-≥，11a =. （Ⅰ）若n n d a =，22a =，求n a ；
(Ⅱ) 若22a =-，1n d ≥，求证此数列满足*5()n a n N ≥-∈；
（Ⅲ）若1n d =，21a =且数列{}n a 的周期为4，即4(1)n n a a n +=≥，写出所有符合条件的{}n d .
北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）
数学参考答案及评分标准 （理科） 第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
9. 122a -<< 10. 5 11. 52 12. 0.4;13． 13. 31,2⎛+ ⎝ 14. ①②④
三、解答题(本大题共6小题，共80分) 15.（本小题共13分）
解：(Ⅰ)因为()cos 12sin()+16
f x x x x π
ωωω=++=+，
又()f x 的最小正周期为π， 所以π2π
ω
=
，即ω=2. --------------------------------------------------------------------6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知()2sin(2)+16
f x x π
=+，
因为02
x π
≤≤，
所以72666
x πππ≤+≤.
由正弦函数的性质可知，当262
x ππ+=，即6x π
=时，函数()f x 取得最大值，最大
值为f (6
π
)=3；
当7266x ππ+=时，即2=x π时，函数()f x 取得
最小值，最小值为f (2
π
)=0. ------13分
16.（本小题共14分）
证明：（Ⅰ）因为ABC ∆是等腰直角三角形
90CAB ∠=，E F ，分别为AC BC ，的中点，
所以EF AE ⊥，EF C E '⊥. 又因为AE C E E '⋂=, 所以EF AEC '⊥平面. 由于EF AB ,
所以有AB AEC '⊥平面. -------------------------4分 解：（Ⅱ）(i)
取AC '中点D ，连接,,,DE EF FG GD ,
由于GD 为ABC '∆中位线，以及EF 为ABC ∆中位线, 所以四边形DEFG 为平行四边形.
直线GF 与AC '所成角就是DE 与AC '所成角.
B
A
所以四棱锥C ABFE '-体积取最大值时，C E '垂直于底面ABFE . 此时AEC '∆为等腰直角三角形，ED 为中线， 所以直线ED AC '⊥. 又因为ED GF ,
所以直线GF 与AC '所成角为π
2
.
-------------------------------------------------------10分 (ii) 因为四棱锥C ABFE '-体积取最大值,
分别以EA EF EC '、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图，
则(0,0,)C a '，(,2,0)B a a ，(0,,0)F a ，(,2,)C B a a a '-，
(0,,)C F a a '-.
设平面C BF '的一个法向量为n =(x,y,z),由0,0
C B C F ⎧⎪⎨
⎪⎩'⋅='⋅=n n 得错
误！不能通过编辑域代码创建对象。

, 取y =1，得x =-1,z =1． 由此得到n =(-1,1,1).
同理，可求得平面C AE '的一个法向量
m =(0,1,0). 故平面C'AE 与平面C'BF 的平面角的夹角的余弦值为错误！不能通过编辑域代码创建对象。

.--------------------------------------14分 17.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）根据投篮统计数据，在10场比赛中，甲球员投篮命中率超过的场次有5
场，
y
分别是4，5，6，7，10，
所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过的概率是错误！不能通过编辑域代码创建对象。

.
在10场比赛中，乙球员投篮命中率超过的场次有4场，分别是3，6，8，10，
所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过的概率是错误！不能通过编
辑域代码创建对象。

. -----------
----------------------------3分（Ⅱ）设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过为事件错误！不能通过编辑域代码创建对象。

，甲队员命中率超过且乙队员命中率不超过为事件错误！不能通过编辑域代码创建对象。

，乙队员命中率超过且甲队员命中率不超过为事件错误！不能通过编辑域代码创建对象。

.
则错误！不能通过编辑域代码创建对象。

.------------------------------------------------7分（Ⅲ）错误！不能通过编辑域代码创建对象。

的可能取值为错误！不能通过编辑域代码创建对象。

.
错误！不能通过编辑域代码创建对象。

；
错误！不能通过编辑域代码创建对象。

；
错误！不能通过编辑域代码创建对象。

；
错误！不能通过编辑域代码创建对象。

；
错误！不能通过编辑域代码创建对象。

的分布列如下表：
错误！不能通过编辑域代码创建对象。

. --------------------------------------------------------13分 18.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）2
22(31)()2(1)(2)22
x x f x x x x x -++'=
-+=>
-++ ,
当()0f x '>时， 所以 2310x
x ++<. 解得 2x -<<
当
()0f x '>时, 解得 32
x ->
. 所以 ()f x 单调增区间为(-(−2,−3+√5
2)，单调减区间为
)+∞.------------4分
（Ⅱ） 设2()()()2ln(2)(1)(1)(1)h x f x g x x x k x x =-=+-+-+>-, 当2k =时，由题意，当(1,)x ∈-+∞时，()0h x <恒成立.
22(31)
2(3)(1)
()22
2
x x x x h x x x -++-++'=-=
++,
? 当1x >-时，()0h x '<恒成立，()h x 单调递减．
又(1)0h -=,
? 当(1,)x ∈-+∞时，()(1)0h x h <-=恒成立，即()()0f x g x -<.
? 对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立. ---------------------------------8分
（Ⅲ） 因为 222(31)2(6)22
()22
x x x k x k h x k x x -++++++'=-=-++.
由(II)知，当k = 2时，f (x) < g (x)恒成立，
即对于?x > –1，2 ln (x + 2) – (x + 1)2 < 2 (x + 1)，不存在满足条件的x 0； 当k > 2时，对于?x > –1，x + 1 > 0，此时2 (x + 1) < k (x + 1). ? 2 ln (x + 2) – (x + 1)2 < 2 (x + 1) < k (x + 1)，即f (x) < g (x)恒成立， 不存在满足条件的x 0；
当k < 2时，令t (x) = –2x 2 – (k + 6)x – (2k + 2)，可知t (x)与h ? (x)符号相同, 当x ? (x 0 , +?)时，t (x) < 0，h ? (x) < 0，h (x)单调递减． ? 当x ? (–1 , x 0)时，h (x) > h (–1) = 0，即f (x) – g (x) > 0恒成立．
综上，k 的取值范围为(–? , 2)． -------------------------------------------------------14分
19.（本小题共13分）
解:（Ⅰ）由题意,以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形,
所以 b c =, 2
2
2b a =, 则椭圆C 的方程为1222
22=+b
y b x .
又因为椭圆C:过点A(2，1)，所以
11222
2=+b
b ，故a=2,b=.2 所以 椭圆的的标准方程为12
42
2=+y x . --------------------------------------------------------4分
(Ⅱ)222
)(y p x MP +-=.
因为 M(x,y)是椭圆C 上的动点，所以1242
2=+y x ， 故 2
2)41(22
22
x x y -=-=.
所以 22
2
222211
()222(2) 2.222
x MP x p x px p x p p =-+-=-++=--+
因为M(x,y)是椭圆C 上的动点，
所以 2≤x .
（1） 若22≤p 即1≤p ，则当2x p =时MP 取最小值22p -，
此时M (2,p .
（2）若1p >，则当2x =时，MP 取最小值2-p ，此时M )0,2(.
（3）若1p <-，则当2x =-时，MP 取最小值2+p ，此时M )0,2(-. -------13分 20.（本小题共13分）
（Ⅰ）由212(1)n n n n d a a a n ++=+-≥以及n n d a =可得：
2120(1)
n n a a n ++-=≥
所以从第二项起为等比数列. 经过验证{}
n a 为等比数列12n n a -=.
-------------------2
分
(Ⅱ)由于1n d ≥所以有2121n n n a a a +++-≥. 令1n n n c a a +=-则有11n n c c +-≥叠加得：
4n c n ≥-所以有14n n a a n +-≥-，叠加可得：2910
2
n n n a -+≥， 所以最小值为-5. --------------------------------------------------------6分 （Ⅲ）由于1n d =，11a =， 21a = 若11d =可得32a =，若11d =-可得30a =
同理，若21d =可得44a =或42a =，若21d =-可得40a =或42a =- 具体如下表所示
7
452321*********
⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎪
⎩⎪⎨⎪
⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩⎪⎩
⎨
⎧⎧⎪
⎨⎪⎪
-⎪⎩⎪⎨⎪-⎧⎪-⎪⎨⎪-⎩⎪⎩⎩
所以{}n a 可以为
11221122112
2 或11001100110
此时相应的{}n d 为 11111111----
或11111111
----
------------------------------------------------------13分。