山东省枣庄市2019届高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

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2019届高三期末考试理科数学
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知是虚数单位，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意化简可得答案.
【详解】因为
故选D
【点睛】本题考查了复数的化简，牢记是关键，属于基础题.
2.已知集合，，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接由并集的运算得出结果即可.
【详解】因为集合，，，
所以
故选B
【点睛】本题考查了集合的并集的运算，属于基础题.
3.双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意易知，双曲线的a和b，再利用双曲线的渐近线方程得出结果.
【详解】由题意双曲线可得
双曲线的渐近线方程为
故选A
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题.
4.若随机变量，，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，由随机变量，，且可得,再利用对称性可得结果.
【详解】因为随机变量，，且
所以
所以
故选A
【点睛】本题考查了正态分布，了解正态分布的对称性质是解题关键，属于基础题.
5.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，求出圆的标准方程，再求出圆心与点p确定直线的斜率为，再利用垂径定理求得弦AB直
线斜率，再用点斜式求出方程.
【详解】圆的标准方程为
又因为点为圆的弦AB的中点，
圆心与点P确定直线的斜率为
故弦AB所在直线的斜率为2
所以直线AB的直线方程：y-1=2（x-1）
即2x-y-1=0
【点睛】本题主要考查了直线与圆的综合知识，对于直线和圆的相关知识点的熟练运用是解题的关键.属于较易题.
6.有如下命题：①函数，，，中有三个在上是减函数；②函数有两个零点；③若，则其中真命题的个数为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
①根据函数的单调性可得，，三个函数在上是减函数，在R上递增的，故
①正确；
②令函数=0化简：=x+2，作出图像，看交点个数得出结果②正确；
③若，因为为单调递减函数，所以故③正确.
【详解】由题①函数，，，中，根据函数的单调性易知，，，
三个函数在上是减函数，在R上递增的，故①正确；
②令函数=0
化简：=x+2，作出图像
有两个交点，故由两个零点；②正确；
③若，因为为单调递减函数，所以
故③正确.
故选D
【点睛】本题考查了函数的性质（单调性）以及函数与方程，借助数形结合思想，属于较易题.
7.某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在正视图与侧视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
画出几何体的图形，然后PQ的路径有正面和右面以及正面和上面两种路径，分别计算出结果，得出答案. 【详解】由题，几何体如图所示
（1）前面和右面组成一面
此时PQ=
（2）前面和上面再一个平面
此时PQ=
故选C
【点睛】本题考查了几何体的三视图以及相关的计算，解题的关键是PQ的路径有两种情况，属于较易题.
8.设是公差不为零的等差数列，若，则前项的和为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，是公差不为零的等差数列，若化简得出，再利用求和公式，代入得出结果.
【详解】因为是公差不为零的等差数列，
得
整理的
因为，故
前6项和
故选B
【点睛】本题考查了等差数列的性质和求和公式，属于基础题.
9.将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将图象上所有的点向左平行移动个单位长度得，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍得，再利用诱导公式得出结果.
【详解】先将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度得
再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得
故选A
【点睛】本题考查了正弦函数的图像变化和诱导公式，正确的掌握图像的平移变化和伸缩变化是解题的关键.
10.设，都是不等于的正数，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题意，讨论当a、b都大于1，再利用换底公式得出，再讨论当a、b都大于0小于1时得出
，得出结果.
【详解】若，
当a、b都大于1，
此时
得出
当a、b都大于0小于1时，
此时
得出
所以综上可得“”是“”的充分不必要条件
故选A
【点睛】本题考查了对数函数的性质和充要条件，要分情况讨论，属于中档题.
11.已知函数，，且在，上单调，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意求得函数的一条对称轴和一个对称中心，再结合在，上单调，求得函数的周期，求得的值.
【详解】因为，所以函数，的一条对称轴为，又，即函数的一个对称中心为
所以
又因为在，单调，所以
所以周期
又因为
故选B.
【点睛】本题考查了三角函数的图像和性质，对于三角函数的图像以及性质的数量运用是解题的关键，一定要会利用在，上单调这个条件，属于中档题.
12.已知定义域为的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，，则下列判断正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据题意，构造函数，判断出函数g（x）的单调性，再利用求得函数g（x）的对称轴，然后判断，得出答案即可.
【详解】构造函数，因为当时，，
所以
可得在时，是单调递增的；
因为，化简得
即可得图像关于x=1对称，
则，
因为
化简可得，
故选C
【点睛】本题主要考查了构造函数，然后考查了导函数的应用和函数的对称性来进行求解，解题的关键是在于能否构造出新函数，属于难题.
几种导数的常见构造：
对于，构造
若遇到，构造
对于，构造
对于，构造
对于或，构造
对于，构造
对于，构造
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知实数满足则的最小值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意约束条件画出可行域，令目标函数x-3y=z，当过点A时取最小值，求出点A坐标，代入即可. 【详解】已知知实数满足的可行域为，如图所示
直线y=-x与交于点A（-1,1）
令，当直线过点A，z取最小值
故答案为-4
【点睛】本题考查了简单的线性规划，画出可行域是解题关键，属于基础题.
14.的展开式中的系数是_______.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】
由题，可得=，分别使用二项式定理展开项，可得的系数.
【详解】由题=
的展开项系数
的展开项系数
当，系数为24
当，系数为-128
当，系数为96
所以的系数为：24-128+96=-8
故答案为-8
【点睛】本题考查了二项式定理，解题的关键是原式要进行变形，属于较易题目.
15.在中，，，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用平面向量的基本定理和四则运算，用向量表示出向量，得出的值，求得结果. 【详解】由题意，在中，，，
可得
所以
故
则
故答案为
【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，熟练运用向量的公式是解题的关键，属于较易题.
16.若正实数满足，则函数的零点的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，先求出函数的零点，，然后换元，转化为
求得最大值，求导取得其单调性，转化为求t的最大值，再令，再根据单调性求最大值，最后求得结果.
【详解】因为正实数满足，则函数的零点
令
所以零点的最大值就相当于求得最大值
令，
所以函数是单调递减的，
当t取最小值时，f(t)取最大值
又因为，a+b=1
所以
令，
令，解得，此时递增
，解得，此时递减，
所以此时
故答案为
【点睛】本题主要考查了导函数的应用问题，解题的关键是换元构造新的函数，求其导函数，判断原函数的单调性求其最值，易错点是换元后一定要注意换元后的取值范围，属于难题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17.在中，角的对边分别是，其面积满足．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）设的平分线交于，，，求．
【答案】（I）（II）
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理可得，代入题中条件即可得解；
（2）在中,由正弦定理得，从而得，可得，再由
代入即可得解.
【详解】（1）由得
得
（2）在中,由正弦定理得
所以
所以
所以
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
18.如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点是的中点.
（I）求证：// 平面；
（II）若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（I）证明见解析；（II）.
【解析】
【分析】
（I）连接BD交AC于点F，再连接EF，利用EF是三角形DBS的中位线，判断出DS平行EF，再利用线面平行的判定得证;
（II）取AB的中点为O，利用已知条件证明DO、SO、BO两两垂直，然后建立空间直角坐标系，求出平面ADC的法向量，再利用线面角的公式求出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（I）证明：连接BD角AC于点F，再连接EF.
因为四边形是菱形，所以点F是BD的中点，
又因为点是的中点，所以EF是三角形DBS的中位线，
所以DS平行EF，
又因为EF平面ACE，SD平面ACE
所以// 平面
（II）因为四边形是菱形，，所以
又AB=AD，所以三角形ABD为正三角形.
取AB的中点O，连接SO，则DO AB
因为平面平面，平面平面=AB
所以DO平面ABS，又因为三角形ABS为正三角形
则以O为坐标原点建立坐标系
设AB=2a，则
设平面ADS的一个法向量为
则
取x=1，则
所以
设直线AC与平面ADS所成角为
则
【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理以及运用空间向量去解决立体几何的问题，如何建系和求法向量是解题的关键，属于中档题.
19.新高考方案的实施，学生对物理学科的选择成了焦点话题. 某学校为了了解该校学生的物理成绩，从，两个班分别随机调查了40名学生，根据学生的某次物理成绩，得到班学生物理成绩的频率分布直方图和
班学生物理成绩的频数分布条形图.
（Ⅰ）估计班学生物理成绩的众数、中位数（精确到）、平均数（各组区间内的数据以该组区间的中点值为代表）；
（Ⅱ）填写列联表，并判断是否有的把握认为物理成绩与班级有关？
物理成绩物理成绩的学生数
班
班
附：列联表随机变量；
【答案】（I）；（II）有.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）直接根据频率分布直方图，求得各个组的概率，利用公式求得众数、中位数和平均数；
（II）利用频率分布直方图填写列联表，然后求，即可判断出是否有的把握认为物理成绩与班级有关.
【详解】（Ⅰ）估计A班学生物理成绩的总数为：
由左至右各个分区间的概率分别为0.1,0.2,0.3，0.2，0.15,0.05
中位数60+
平均数：
（Ⅱ）
物理成绩物理成绩的学生数
班
班
所以有的把握认为物理成绩与班级有关
【点睛】本题主要考查了统计以及统计案例，众数、中位数、平均数的求法，解题的关键是在于能否明白频率分布直方图，属于基础题.
20.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，过点的直线交于，两点，的
周长为，的离心率
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设点，，过点作轴的垂线，试判断直线与直线的交点是否恒在一条定直线上？若是，求该定直线的方程；否则，说明理由.
【答案】（I）；（II）.
【解析】
【分析】
（I）由的周长为求得椭圆的a，再离心率，然后求得椭圆的方程；
（II）设直线l：x=my+4，，联立方程，运用韦达定理，再写出直线BD的方程为：
与的交点，最后求解计算出与m无关，得出答案.
【详解】解：（I）由椭圆的定义，的周长为，即4a=20，解得a=5，
又椭圆的离心率，解得c=4
所以
所以椭圆方程；
（II）显然过点的直线l不垂直y轴，设l：x=my+4，
联立，得
韦达定理：
直线的方程为
直线BD的方程为：
解得
又点在直线l上，所以
再代入解得
又
代入解得(与m无关)
故直线与直线BD的交点恒落在直线上.
【点睛】本题考查了椭圆的方程以及性质，和直线与椭圆的综合问题，属于难题.
直线与圆锥曲线解题步骤：
(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；
（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；
（3）转化，由题已知转化为数学公式；
（4）计算，细心计算.
21.已知
（I）求函数的极值；
（II）若方程仅有一个实数解，求的取值范围．
【答案】（I）时，没有极值，时有极小值；（II）或.
【解析】
【分析】
（I）先根据题意，求出，再求出，然后对a进行讨论，求得的单调性，然后取得极值.
（II）仅有一个实数解,即有唯一零点，然后求得
，再对a进行讨论，讨论单调性，求得的最小值，再利用零点存在性定理，最后求得a的取值.
【详解】（I）,
当，，在上是增函数，
所以，函数没有极值.
（2）若，
所以在是减函数，在是增函数
所以在取极小值，极小值为
（II）仅有一个实数解,即有唯一零点.
当，，此时在R上递增，
因为，
所以在递减；在递增，
，当x=0取等号，
所以满足题意；
当时，
所以在递减，上递增；
令
此时当上，递增；当上，递减；
当且紧当取等号，
所以（1）当，，且
因为（利用：当时，），所以
由零点存在性定理，可得存在唯一使得，注意（）
于是，当递增；当递减；当递增；
于是
且当
由零点存在性定理：必然存在一个使得
此时，存在两个零点，可见不满足题意；
（2）当时，，且
此时，且（这里利用）
由零点存在性定理：必然存在唯一，使得=0
此时在递增；在递减；
在递增
可见，
且当
由零点存在性定理：必然存在唯一一个，使得
此时，存在两个零点，可见不满足题意；
（3）当时，则
此时在R上递增，且，
所以此时有唯一一个零点
所以满足题意
综上，a的取值范围为
【点睛】本题考查了函数对含参数的函数单调性的讨论，导函数的应用以及零点存在性定理的应用，属于
极难题型.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把对应的题号涂黑.
选修4-4：坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：
，直线的参数方程为（为参数）.直线与曲线交于，两点．
（I）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）；
（II）设，若，，成等比数列，求的值．
【答案】（I），；（II）.
【解析】
【分析】
（I）利用所给的极坐标方程和参数方程，直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程；（II）联立直线的参数方程和C的直角坐标方程，结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案.
【详解】（I）曲线：，两边同时乘以
可得，化简得）；
直线的参数方程为（为参数），可得
x-y=-1，得x-y+1=0；
（II）将（为参数）代入并整理得
韦达定理：
由题意得即
可得
即
解得
【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化，以及参数方程的综合知识，结合等比数列，熟练运用知识，属于较易题.
选修4-5：不等式选讲
23.已知函数
（I）当时，求不等式的解集；
（II）当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（I）；（II）或.
【解析】
【分析】
（I）由题意，当a=1，代入可得，再用零点分段法，讨论x的取值，解不等式得到答案; （II）当时，恒成立，转化为的最小值大于1即可，只需求出的最小值，再利用绝对值不等式，整理求得最小值即可.
【详解】（I）解：当a=1时，
当时，，即，即
当时，，即，即
当时，，即，此时无解
综上：的解集为
（II）当时，即>1，
，当且紧当x=-2时取等号，
恒成立即
解得或
所以a的取值或
【点睛】本题考查了解绝对值不等式以及绝对值不等式恒成立问题，属于较易题.。