2020年山东省枣庄市城郊中学高三数学理模拟试题含解析

2020年山东省枣庄市城郊中学高三数学理模拟试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知数列为等差数列，且，则的值为（）
A．B．C．
D．
参考答案：
B
略
2.
设集合，，则=
A. B. C. D.U
参考答案：
A
3. 设数列的通项公式为则“”是“数列为单调递增数列”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
4. 在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该
四面体最长棱的棱长为（）
A．4B．6 C．4D．2
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以边长为4的等腰直角三角形为底面，高为4的四面体，计算各条棱的长度可得答案．
【解答】解：解：由三视图知：几何体是三棱锥，边长为4的等腰直角三角形为底面，高为4，（如图），
∵AC=4，BC=4，AC⊥BC，SO⊥BC，SO=4，OB=OC=2，
∴AB=4，AO=SB=SC=2，
AOS是三角形直角，∴AS=6．
∴棱的最长是AS=6，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是三视图投影关系，根据已知的三视图，判断几何体的形状和尺寸关系是解答的关键．
5. 定义A-B={x|x∈A,且x?B},若A={1,3,5,7,9},B={2,3,5},则A-B=( )
(A)A (B)B (C){1,2,7,9} (D){1,7,9}
参考答案：
D
略
6. 将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，
则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（）种。

（A）150 （B）180 （C）
240 （D）540
参考答案：
A
试题分析：分为两类，第一类为2+2+1即有2所学校分别保送2名同学，方法数为，第二类为3+1+1即有1所学校保送3名同学，方法数为，故不同保送的方法数为150种，故选A．
考点：排列与组合.
7. 若a>0,b>0,且函数在x=1处有极值，则ab的最大值（）
A.2
B.3
C.6
D. 9
参考答案：
D
函数的导数为，函数在处有极值，则有
，即，所以，即，当且仅当时取等号，选D.
8. 已知i是虚数单位，复数(2+ i)2的共轭复数虚部为（）
A． 4i B．-4 C．3 D．4
参考答案：
B
9. 下列函数是奇函数且在区间上单调递增的是
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
C
10. 选修4-5：不等式选讲
已知.
（1）解不等式：；
（2）不等式对任意恒成立，求x的范围.
参考答案：
解：（1）①，
②，
③，
由①②③可得；
（2）①当时，，∴；
②当时，即对恒成立，
，当且仅当，即时取等号，
∴，解得.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 点P在曲线上移动，设在点处的切线的倾斜角为α,则α=
参考答案：
略
12. 下图展示了一个由区间（0,1）到实数集R的映射过程：区间（0,1）中的实数m对应数轴上的点m，如图①：将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图②：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0,1），如图③，图③中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作。

下列说法中正确命题的序号是_________（填出所有正确命题的序号）.
①②是奇函数③在定义域上单调递增④
是图像关于点对称。

参考答案：
略
13. 若满足，则直线必过定点的坐标是.
参考答案：
略
14. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样
的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”．那么是斐波那契数到中的第▲项．
参考答案：
2016
15. 已知函数f（x）=为奇函数，则a= ．
参考答案：
2
【考点】3L：函数奇偶性的性质．
【分析】先求出函数的定义域，利用f（﹣1）=﹣f（1），即可得出结论．
【解答】解：显然定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
由f（﹣1）==﹣（1﹣2）（1+a），
所以a=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了利用函数的奇偶性定义，考查赋值法的运用，比较基础．
16. 设数列{a n}的前n项和为S n＝3?2n（n∈N+），数列{b n}为等差数列，其前n项和为
T n．若b2＝a5，b10＝S3，则T n取最大值时n＝_____．
参考答案：
17或18
【分析】
利用S n和a n的关系求出，根据条件列出方程组，求出b1和d，由此求得{b n}的通项公式，根据通项公式得到b18＝0，由此即可求出T n取最大值时n的值. 【详解】数列{a n}前n项和为S n＝3?2n（n∈N+），所以，
，
，设数列{b n}的公差为d，且b2＝a5，b10＝S3，
则，解得：b1＝51，d＝﹣3，
所以，b n＝51﹣3(n﹣1)＝54﹣3n，当n＝18时，b18＝0，
故T n取最大值时n＝17或18．
故答案为：17或18.
【点睛】本题考查S n和a n的关系以及等差数列前n项和的最大值问题，等差数列的正负转折项是其前n项和取得最值的项，注意项为0时有两项，属中档题.
17. 已知函数，若在区间(1,+∞)上函数f(x)的图象恒在直线
的图象的下方，则实数a的取值范围是__________．
参考答案：
【分析】
先把图象位置关系转化为不等关系，即，然后利用导数求解最值可得.
【详解】设，由题意可知，在区间上恒成立；
，
当时，，，所以为增函数，所以有
，即；
当时，总存在，使得，即为减函数，不合题意；
综上可得.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数图象之间的位置关系，通常是转化为不等关系，求解最值，侧重考查数学建模的核心素养.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分) 某学校高三年级共有老师人，学历和性别人数情况的
列联表如下所示：
性
别
学历
（1）从具有研究生学历的老师中任意抽取人外出考察，求抽到女老师的概率。

（2）从研究生学历的老师中任意抽取人上公开课，记抽到男老师的人数为，求的分布列。

（3）请根据以上数据判断是否有的把握认为该校高三年级老师“研究生学历与性别有关”?
附：
参考答案：
（1）设抽到研究生学历的女教师的事件为，则
（2）由题意，可能的取值为，，
；；
所以的分布列是
（3）
因为，所以没有的把握认为该校高三年级老师“研究生学历与性别有关”。

19. 如图,四棱锥中,底面是矩形,⊥底面
,点是的中点,点在边上移动.
(1)点为的中点时,试判断与平面的位置关系,并说明由;
(2)求证无论点E在BC边的何处,都有;
(3)当为何值时,与平面所成角的大小为
参考答案：
解：(1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC.
又EF平面PAC，而PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC.
(2)证明：建立如图所示空间直角坐标系，则
P(0,0,1)，B(0,1,0)，
F(0，，)，D(，0,0)，
设BE＝x(0≤x≤)，则E(x,1,0)，
＝(x,1，－1)·(0，，)＝0，∴PE⊥AF.
(3)设平面PDE的法向量为m＝(p，q,1)，
由，得m＝(，，1)．
而＝(0,0,1)，依题意PA与平面PDE所成角为45°，
所以sin45°＝＝，∴＝，
得BE＝x＝－或BE＝x＝＋>(舍)．
故BE＝－时，PA与平面PDE所成角为45°
略
20. （本小题满分12分）
已知函数f（x）＝．
（Ⅰ）求证：函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调递增；
（Ⅱ）若g（x）＝（x＞0），且关于x的方程g（x）＝m＋f（x）在上有解，求m的取值范围．
参考答案：
21. 已知f（α）=，求f（）．
参考答案：
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，代入求解即可．
【解答】解：∵，
∴…（6分）
∴…（12分）
【点评】本题考查是三角函数诱导公式的应用，三角函数求值，考查计算能力．22. （16分）设m个不全相等的正数a1，a2，…，a m（m≥3）依次围成一个圆圈．
（1）设m=2015，且a1，a2，a3，…，a1008是公差为d的等差数列，而a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，a m的前n项和S n（n≤m）满足S3=15，
S2015=S2013+12a1，求数列{a n}的通项公式；
（2）设a1=a，a2=b（a≠b），若数列a1，a2，…，a m每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求a8；
（3）在（2）的条件下，m≤2015，求符合条件的m的个数．
参考答案：
考点：等比数列的性质．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：（1）利用a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为d的等比数列，求出d，
S3=3a1+3d=15，解得a1=2，可得数列{a n}的通项公式；
（2）确定a n=a n﹣1a n+1，依此类推a8=a2=b；
（3）猜想：m=6k，m=12，18，…，2012，一共有335，再利用反证法进行证明即可．
解答：解：（1）因a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为d的等比数列，
从而
由S2015=S2013+12a1，a2015+a2014=12a1，
故解得d=3或d=﹣4（舍去）
因此d=3，又S3=3a1+3d=15，解得a1=2
从而当n≤1008时，a n=a1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1
当1006≤n≤2015时，由a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为d的等比数列得
（1009≤n≤2015），
因此
（2）由题意，∴a n=a n﹣1a n+1，
得，a7=a1=a
依此类推a8=a2=b
（3）猜想：m=6k，m=12，18，…，2012，一共有
335，
得
又，
④故有．⑤
若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5
若取p=1即m=6k+1，则由此得a m=a6k+1=a1，
而由③得，得a2=1，
由②得，
而此推得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾，
同理若P=2，3，4，5均可得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾，
因此m=6k为6的倍数．（16分）
点评：本题考查等差数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，有难度．。