考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：解答题滚动练5含解析

解答题滚动练5
1.(2017·北京)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，P A ＝PD ＝6，AB ＝4.
(1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B －PD －A 的大小；
(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值. (1)证明 设AC ，BD 交于点E ，连接ME ，如图.
因为PD ∥平面MAC ，平面MAC ∩平面PDB ＝ME ， 所以PD ∥ME .
因为四边形ABCD 是正方形， 所以E 为BD 的中点， 所以M 为PB 的中点.
(2)解 取AD 的中点O ，连接OP ，OE . 因为P A ＝PD ，所以OP ⊥AD ，
又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面P AD ， 所以OP ⊥平面ABCD .
因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥OE . 因为四边形ABCD 是正方形， 所以OE ⊥AD .
如图，建立空间直角坐标系Oxyz ，
则P (0，0，2)，D (2，0，0)，B (－2，4，0)，BD →＝(4，－4，0)，PD →
＝(2，0，－2). 设平面BDP 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·BD →＝0，n ·
PD →＝0，即⎩⎨⎧
4x －4y ＝0，2x －2z ＝0.
令x ＝1，则y ＝1，z ＝ 2. 于是n ＝(1，1，2).
平面P AD 的法向量为p ＝(0，1，0)， 所以cos 〈n ，p 〉＝
n ·p |n ||p |＝1
2
. 由题意知二面角B －PD －A 为锐角， 所以它的大小为π
3
.
(3)解 由题意知M ⎝
⎛⎭⎫－1，2，
22，C (2，4，0)，MC →
＝⎝
⎛⎭⎫3，2，－22. 设直线MC 与平面BDP 所成的角为α，则 sin α＝|cos 〈n ，MC →
〉|＝|n ·MC →||n ||MC →
|
＝269，
所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为26
9
.
2.(2017·安徽太和中学模拟)新一届班委会的7名成员有A ，B ，C 三人是上一届的成员，现对7名成员进行如下分工.
(1)若正、副班长两职只能由A ，B ，C 三人中选两人担任，则有多少种分工方案？ (2)若A ，B ，C 三人不能再担任上一届各自的职务，则有多少种分工方案？
解 (1)先确定正、副班长，有A 23种选法，其余全排列有A 55种，共有A 23A 55＝720(种)分工方案.
(2)方法一 设A ，B ，C 三人的原职务分别是a ，b ，c ，当ABC 任意一人都不担任abc 职务
时有A 34A 44种；当ABC 中一人担任abc 中的职务时，有C 13A 12A 24A 44种；当ABC 中两人担任abc 中的职务时，有3C 23A 14A 11A 44种；当ABC 中三人担任abc 中的职务时，有2A 44种；故共有A 34A 44＋C 13A 12A 24A 44＋3C 23A 14A 44＋2A 44＝134A 44＝3 216(种)分工方案.
方法二 担任职务总数为A 77种，当A 担任原职务时有A 66种，
同理BC 各自担任原职务时也各自有A 66种，而当AB ，BC ，CA 同时担任原职务时各有A 55种；当ABC 同时担任原职务时有A 44种，故共有A 77－3A 66＋3A 55－A 44＝134A 44＝3 216(种)分工方案.
3.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2－b n . (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .
解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，所以{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， 所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.
又当n ＝1时，b 1＝S 1＝2－b 1，所以b 1＝1，
当n ≥2时，S n ＝2－b n ， ① S n －1＝2－b n －1，
②
由①－②，得b n ＝－b n ＋b n －1，即b n b n －1＝1
2，
所以{b n }是首项为1，公比为1
2的等比数列，
故b n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1
.
(2)由(1)知c n ＝a n b n ＝2n －1
2n －1，则
T n ＝120＋321＋5
22＋…＋2n －12
n －1，
③ 12T n ＝121＋3
22＋…＋2n －32
n －1＋2n －12n ，
④
③－④得12T n ＝120＋221＋222…＋2
2
n －1－2n －12n
＝1＋1＋12＋…＋1
2
n －2－2n －12n ＝1＋1－1
2n －1
1－12－2n －12n ＝3－2n ＋32n .
所以T n ＝6－2n ＋3
2
n －1.
4.已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1→·MF 2→
＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝8. (1)求椭圆的方程；
(2)直线l 过右焦点F 2(5，0)(不与x 轴重合)且与椭圆相交于不同的两点A ，B ，在x 轴上是否存在一个定点P (x 0，0)，使得P A →·PB →的值为定值？若存在，写出P 点的坐标(不必求出定值)；若不存在，请说明理由.
解 (1)由题意，c ＝5，|MF 1|2＋|MF 2|2＝4c 2＝20，|MF 1|·|MF 2|＝8， ∴(|MF 1→|＋|MF 2→
|)2＝|MF 1|2＋|MF 2|2＋2|MF 1|·|MF 2|＝36， 解得|MF 1|＋|MF 2|＝6，
即2a ＝6，∴a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， ∴椭圆的方程为x 29＋y 2
4
＝1.
(2)方法一 设直线l 的方程为x ＝my ＋5，
代入椭圆方程并消元整理得(4m 2＋9)x 2－185x ＋45－36m 2＝0. ①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是方程①的两个解，由根与系数的关系得
x 1＋x 2＝185
4m 2＋9，x 1x 2＝45－36m 24m 2＋9
，
则y 1y 2＝1m 2(x 1－5)(x 2－5)＝1
m 2[](x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋5＝－164m 2＋9
，
P A →·PB →
＝(x 1－x 0，y 1)·(x 2－x 0，y 2)＝(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋y 1y 2＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋y 1y 2
＝45－36m 24m 2＋9－1854m 2＋9x 0＋x 20＋－164m 2＋9＝(4x 20－36)m 2＋9x 2
0－185x 0＋294m 2＋9
， 令P A →·PB →＝t ，则(4x 20－36)m 2＋9x 20－185x 0＋29＝t (4m 2＋9)，
比较系数得4x 20－36＝4t 且9x 20－185x 0＋29＝9t ，
消去t 得36x 20－36×9＝36x 20－725x 0＋29×4，解得x 0＝119 5. ∴在x 轴上存在一个定点P ⎝⎛⎭⎫1195，0，使得P A →·PB →
的值为定值－12481
. 方法二 当直线与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －5)(k ≠0)，代入椭圆方程并消元整理得
(9k 2＋4)x 2－185k 2x ＋45k 2－36＝0，
①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是方程①的两个解，由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝185k 2
4＋9k 2，x 1x 2＝45k 2－364＋9k 2，
y 1y 2＝k 2(x 1－
5)(x 2－
5)＝k 2
[]x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋5＝－16k 2
4＋9k 2，
P A →·PB →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 2－x 0，y 2)＝(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋y 1y 2＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋y 1y 2＝
(9x 20－185x 0＋29)k 2＋4x 20－36
4＋9k 2
，
令P A →·PB →＝t ，则(9x 20－185x 0＋29)k 2＋4x 20－36＝t (4＋9k 2)，
9x 20－185x 0＋29＝9t ，且4x 20－36＝4t ，
解得x 0＝1195，此时t 的值为－12481
.
当直线l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝5，代入椭圆方程，解得A ⎝⎛⎭⎫5，－43，B ⎝⎛⎭⎫5，4
3， P A →·PB →＝⎝⎛⎭⎫－2
95，－43·⎝⎛⎭⎫－295，43＝2081－169＝－12481， ∴当直线l 与x 轴垂直时，P A →·PB →
也为定值－12481
.
综上，在x 轴上存在一个定点P ⎝⎛⎭⎫1195，0，使得P A →·PB →
的值为定值－12481
.
合理分配高考数学答题时间
找准目标，惜时高效
——合理分配高考数学答题时间
经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。

临近高考，在短短不到50天的时间里，怎样让成绩再上一个台阶？靠战术上的硬拼俨然很快就会碰到瓶颈，此刻，同学们更需要的是战略上的调整，在实力一定的情况，科学地分配答题时间，是做一个成功的应试者必备的战略技巧。

“我们每次考试的时候都做不完，尤其后面的两道大题都没有时间看。

”常常听到同学们痛苦地抱怨。

高考，作为一场选拔性考试，它必然存在一定的难度梯度。

就我省的高考数学卷而言，可以按“16/3/3原则” 将其分为三大部分，即客观题（16道）、简易解答题（解答题前3题）与压轴题（解答题后3题）。

学会合理分配这三个部分的答题时间，可以让考生以从容不迫的心态面对考试，亦可从最优化的角度帮助考生挣分。

一般而言，我们建议用40分钟左右的时间解决前面的客观题（选择填空题），再用剩下的时间应对解答题。

但正如没有一个放之四海皆准的战略一样，考试时间的合理分配也不可用一条标准划定，时间的分配需要结合自身的具体实力。

在考试前，考生需要量身设定自己的考试目标，再选择不同战略战术。

对于基础比较薄弱的同学，重在保简易题。

鉴于客观题部分主要是对基础知识点的考察，可以稍稍放慢速度，把时间控制在50-60分钟，力求做到准确细致，尽量保证70分的基础分不丢分。

之后的三道简易解答题每题平均花10-15分钟完成。

至于后三道大题，建议先阅读完题目，根据题意把可以联想到的常考知识点写出来，例如涉及函数单调性、切线斜率的可对函数求导，圆锥曲线的设出标准方程、数列里求出首项等等。

如果没有其它的思路，不要耽误太多时间，把剩下的时间倒回去检查前面的题目。

对于目标分数在100-120之间的同学，在保证正确率的情况下，客观题尽量在40分钟内完成。

简易解答题每道应控制在每道题10分钟左右解决。

对于倒数第三题，是压轴部
分相对容易的一题15分钟内尽可能多的写出解题内容，如果时间有限，比较繁琐的计算则可以先放一放，但尽量保证前四道题解答的完整和规范，避免不必要的扣分。

后面难度比较大的两道压轴题不要轻易放弃，把会做的步骤都写出来，即便思路不能完全解决问题，也把一些采分点尽量罗列出来。

对于冲击130分以上的同学，需要把快速准确地在30分钟左右完成客观题，简易解答题的三道题分别按照7分钟、8分钟、10分钟左右的时间进行限时训练，提高解题速度。

剩下的时间以3：4：5的比例分配到最后三道大题中，同时审题细致、解题步骤合乎规范，会做的题尽量拿全分。

简而言之，结合自身实力，找准目标，争分夺秒、惜时高效地安排答题时间，是成功应对高考的助推器。