湖北省天门市、仙桃市、潜江市2021学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)

天门、仙桃、潜江2021-2022学年度第二学期期末联考试题
高二数学(理科)
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.双曲线2
2
19
y x -=的渐近线的斜率是( )
A. 19±
B. 13
±
C. 3±
D. 9±
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用渐近线公式得到答案.
【详解】双曲线2
2
19
y x -=渐近线方程
：33y x k =±⇒=±
答案为C
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题.
2.若3()22(1)5f x x f x '
=+-,则()1f =( )
A. 6-
B. 15-
C. 15
D. 6
【答案】B 【解析】 【分析】
对()f x 求导,在导函数里取1x =,解得'(1)f ,代入函数,再计算(1)f 【详解】3
2
()22(1)5'()62'(1)f x x f x f x x f '
=+-⇒=+
'(1)62'(1)'(1)6f f f =+⇒=-
3()25(1)1125f x x x f -⇒=--=
答案为B
【点睛】本题考查了导数的计算,属于简单题.
3.命题“2
,x x R e x ∀∈>”的否定是( ) A. 2
,x x R e x ∀∈≤ B. 0
200,x x R e
x ∃∈>
C. 0
200,x x R e x ∃∈≤
D. 2
,x
x R e x ∀∈<
【答案】C 【解析】 【分析】
命题的否定：任意变存在，并对结论进行否定. 【详解】命题的否定需要将限定词和结论同时否定，
题目中：∀为限定词，x ∈R 为条件，2e x x >为结论；而∀的否定为∃，2e x x >的否定为
2x e x ≤，
所以2
,x
x R e x ∀∈>的否定为0
200,x x R e x ∃∈≤
故本题正确答案为C.
【点睛】本题考查了命题的否定,属于简单题.
4.现有A B C D E 、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( ) A. 120种 B. 5种
C. 35种
D. 53种
【答案】D 【解析】 【分析】
先计算每个同学的报名方法种数,利用乘法原理得到答案.
【详解】A 同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择. 同理BCDE 四位同学也各有3种选择,乘法原理得到5333333⨯⨯⨯⨯= 答案
D
【点睛】本题考查了分步乘法乘法计数原理,属于简单题目.
5.小明同学在做市场调查时得到如下样本数据
他由此得到回归直线的方程为ˆ 2.115.5y
x =-+，则下列说法正确的是( ) ①变量x 与y 线性负相关 ②当2x =时可以估计11.3y = ③6a = ④变量x 与y 之间是函数关系 A. ① B. ①②
C. ①②③
D. ①②③④
【答案】C 【解析】 【分析】
根据数据和回归方程对每一个选项逐一判断得到答案. 【详解】① 2.1b =-⇒变量x 与y 线性负相关,正确 ②将2x =代入回归方程，得到11.3y =，正确 ③将(,)x y 代入回归方程，解得6a =，正确 ④变量x 与y 之间是相关关系，不是函数关系，错误 答案为C
【点睛】本题考查了回归方程的相关知识，其中中心点(,)x y 一定在回归方程上是同学容易遗忘的知识点.
6.
(11
3x dx -=⎰ ( )
A.
2
π
B. 2
C.
22
π
-
D.
22
π
+
【答案】A 【解析】 【分析】
将定积分分为前后两部分,前面部分奇函数积分为0,后面部分转换为半圆,相加得到答案.
【详解】
(
1
11
1
1
3302
2
x dx xdx π
π
---=+=+
=
⎰
⎰⎰
【点睛】本题考查了定积分计算的两个方法,意在考查学生的计算能力和转化能力.
7.已知随机变量ξ服从正态分布2
(1,)N σ，若(3)0.031P x >=，则(13)P x -<<=( )
A. 0.031
B. 0.969
C. 0.062
D. 0.938
【答案】D 【解析】 【分析】
随机变量ξ服从正态分布(
)2
1,N σ
,则P(x>3)=P(x<-1),利用概率和为1得到答案. 【详解】随机变量X 服从正态分布(
)2
1,N σ
,
P(X>3)=P(X<-1)=0.031,
P(-1<x<3)=1-20.031=0.938⨯
答案为D.
【点睛】本题考查了正态分布,利用正态分布的
对称性是解决问题的关键.
8.若l m n ，，是互不相同的空间直线，αβ，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若l n α
βαβ⊂⊂，，，则//l n
B. 若l αβα⊥⊂，，则l β⊥
C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥
D. 若l n m n ⊥⊥，，则l m
【答案】C 【解析】
析：对于A ，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理； 对于B ，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理； 对于C ，考虑面面垂直的判定定理；
对于D ，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理．
解答：解：选项A 中，l 除平行n 外，还有异面的位置关系，则A 不正确． 选项B 中，l 与β的位置关系有相交、平行、在β内三种，则B 不正确．
选项C 中，由l∥β，设经过l 的平面与β相交，交线为c ，则l∥c，又l⊥α，故c⊥α，
又c?β，所以α⊥β，正确．选项D 中，l 与m 的位置关系还有相交和异面，故C 不正确． 故选C ．
9.下列不等式中正确的有( )
①sin ,(,0)x x x >∈-∞；②1,x
e x x R ≥+∈；③ln ,(0,)x
x x e x <<∈+∞ A. ①③ B. ①②③
C. ②
D. ①②
【答案】B 【解析】 【分析】
逐一对每个选项进行判断,得到答案.
【详解】①()sin ,,0x x x >∈-∞,设函数()sin f x x x =-,()f x 递减,()(0)0f x f >=,即
sin x x >,正确
②1,x
e x x R ≥+∈,设函数()1x
g x e x =--,()g x 在(0,)+∞递增,()g x 在(,0)-∞递减,
()(0)0g x g ≥=,即1x e x ≥+,正确
③ln ,(0,)x
x x e x <<∈+∞,由②知x e x >,设函数()ln m x x x =-,()m x 在(0,1)递减,()m x 在(1,)+∞递增,()(1)10m x m ≥=>,即ln ,(0,)x
x x e x <<∈+∞正确 答案为B
【点睛】本题考查了利用导函数求函数的单调性进而求最值来判断不等式关系,意在考查学生的计算能力.
10.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”,某高中学校为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐,规定：每场知识竞赛
前三名的得分都分别为,,a b c ()a b c >>且,,a b c N *
∈；选手最后得分为各场得分之和，在
六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都是11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，下列说法正确的是( ) A. 乙有四场比赛获得第三名
B. 每场比赛第一名得分a 为4
C. 甲可能有一场比赛获得第二名
D. 丙可能有一场比赛获得第一名 【答案】A 【解析】 【分析】
先计算总分，推断出5a =，再根据正整数把,,a b c 计算出来，最后推断出每个人的得分情况，得到答案.
【详解】由题可知()626111148a b c ++⨯=++=,且,,a b c 都是正整数
=8a b c ++
当4a ≤时，甲最多可以得到24分，不符合题意 当6a ≥时，2b c +≤，不满足 推断出，a=5, b=2, c=1 最后得出结论:
甲5个项目得第一,1个项目得第三
乙1个项目得第一,1个项目得第二，4个项目得第三 丙5个项目得第二,1个项目得第三, 所以A 选项是正确的.
【点睛】本题考查了逻辑推理,通过大小关系首先确定a 的值是解题的关键,意在考查学生的逻辑推断能力.
11.口袋中装有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任意取出3个小球，以ξ表示取出球的最大号码，则()E ξ= ( ) A. 4.5 B. 4
C. 3.5
D. 3
【答案】A 【解析】 【分析】
首先计算各个情况概率,利用数学期望公式得到答案.
【详解】3335(3)1
10
C P C ξ===
2335(4)3
10
C P C ξ===
2435(5)6
10
C P C ξ===
故3()345 4.5101016451010
E ξ=⨯
+⨯+⨯==. 故本题正确答案为A.
【点睛】本题考查了概率的计算和数学期望的计算,意在考查学生的计算能力.
12.已知抛物线2
2(0)C y px p =>：，过点(3,0)P 的任意一条直线与抛物线交于,A B 两点，抛物线外一点(),0Q t ，若∠OQA =∠OQB ，则t 的值为( ) A. p - B. p
C. 3
2
-
D. 3-
【答案】D 【解析】 【分析】
设出点和直线，联立方程得到关于y 的韦达定理，将OQA OQB ∠=∠转化为,QA QB 斜率相反，将根与系数关系代入得到答案. 【详解】设
221212(,),(,)22y y A y B y p p
，设直线AB ：
3
x ay =+又
22y px =22(3)y p ay ⇒=+2260y pay p ⇒--= 224240p a p ∆=+>恒成立
1212
26y y pa
y y p +=⎧⎨
=-⎩ BQ AQ OQA OQB k k ∠=∠⇒=-
即2
112
12122
2
2
1()()222y y y y y y t y y y y p t
t p
p
=-
⇒
+=+--
3t =-
答案为D
【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,定点问题,设直线方程时消去x 可以简化运算,将角度关系转化为斜率关系是解题的关键,计算量较大,属于难题.
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.若复数
323i
a i
-+是纯虚数，则实数a = _________________ 。

【答案】2 【解析】 【分析】
将复数化简为标准形式,取实部为0得到答案.
【详解】232(32)(3)36(29)3(3)(3)9
i i a i a a i
a i a i a i a -----+==++-+ 3602a a -=⇒=
【点睛】本题考查了复数的计算,属于简单题.
14.孙悟空、猪八戒、沙和尚三人中有一个人在唐僧不在时偷吃了干粮，后来唐僧问谁偷吃了干粮，孙悟空说是猪八戒，猪八戒说不是他，沙和尚说也不是他。

他们三人中只有一个说了真话，那么偷吃了干粮的是__________． 【答案】沙和尚 【解析】 【分析】
用假设法逐一假设偷吃干粮的人,再判断得到答案.
【详解】(1) 假设偷吃干粮的是孙悟空,则猪八戒和沙和尚都是真话,排除
(2) 假设偷吃干粮的是猪八戒,则孙悟空和沙和尚都是真话,排除 (3) 假设偷吃干粮的是沙和尚,则只有猪八戒说的真话,满足 答案是沙和尚
【点睛】本题考查了逻辑推理的知识,意在考查学生的逻辑推理能力,属于基础题.
15.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三所不同的学校去任教，每所学校至少分配一人且甲、乙两人不在同一所学校，则共有________ 种不同的分配方案（用数字作答）。

【答案】30 【解析】 【分析】
首先不考虑甲乙的特殊情况,算出总的分配方案,再减去甲乙同校的情况,得到答案.
【详解】将四名老师分配到三个不同的学校，每个学校至少分到一名老师有23
4336C A ⨯=种
排法；
甲、乙两名老师分配到同一个学校有3
36A =种排法；
故有甲、乙两名老师不能分配到同一个学校有36-6=30种排法. 故答案为30．
【点睛】本题考查了排列组合里面的捆绑法和排除法,属于基本题型.
16.已知函数()f x 对任意的x ∈R 都有2019
2019()()0,(1)f x f x f e '-+<=，那么不等式
2019()x f x e ->的解集为_________。

【答案】(),1-∞ 【解析】 【分析】
首先构造函数2019()()x
g x f x e
=,根据()g x 函数的单调性和特殊值解得答案.
【详解】构造函数2019()()x
g x f x e
=,则()()20192019'()20190x
x g x f x e
f x e '=+<
()g x 在R 单调减, ()2019()111g f e -⇒==
()2019()1(1)x g x x g f e -⇒>=> 1x <
【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式的知识,根据等式特点熟练构造出函数是本题的关键.
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.已知二项式2
12
1
(2
)x x
+． （1）求展开式中的常数项；
（2）设展开式中系数最大的项为t mx 求t 的值。

【答案】（1）7920；（2）12. 【解析】 【分析】
(1)直接利用展开式通项,取x 次数为0,解得答案.
(2)通过展开式通项最大项大于等于前一项和大于等于后一项得到不等式组,解得答案.
【详解】解：（1）展开式中的通项(
)
1221224311212122r
r
r r r r
r T C x
C x
x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭
，令2430r -=得8r =所以展开式中的常数项为84
1227920C =
（2）设展开式中系数最大的项是1r T +，则1211112121211312
12221013
3322r r r r r r r r
C C x C C -+----⎧≥⇒≤≤⎨≥⎩ 所以4r =代入通项公式可得12t =.
【点睛】本题考查了二项式定理的常数项和最大项,意在考查学生的计算能力.
18.如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，
22AB BC CD ==，⊿SAD 是正三角形。

（1）试在棱AB 上找一点M ，使得BC ∥平面SDM ；
（2）若平面SAD ⊥ABCD ，在（1）的条件下试求二面角S MD A --的正弦值。

【答案】（1）M 为AB 边的中点；（2. 【解析】 【分析】
(1)由BC 平面SDM 得到BC ∥DM ，在底面ABCD 中,根据关系确定M 为AB 中点. (2)取AD 的中点N ，MD 的中点E ，接,NE SE 可证明∠SEN 为二面角的平面角，在三角形中利用边关系得到答案.
【详解】解：(1)因为BC ∥平面SDM ,BC ABCD ⊆平面,
平面SDM ⋂平面ABCD DM =,所以BC ∥DM 由题设可知点M 为AB 边的中点 （2）平面SAD ⊥平面ABCD ,平面SAD ⋂平面ABCD AD =,取AD 的中点N ,连接
,SN MN ,在正三角形SAD 中N 为AD 则SN ⊥AD ,由两平面垂直的性质可得SN ⊥平面
ABCD .取MD 的中点E 连接,NE SE 可证明∠SEN 为二面角的平面角.设
4,2,,,AB a MD a AD SN EN a =====则，在直角三角形SEN 中SE =，
所以sin
7SN SEN SE =
==
为所求 【点睛】本题考查了线面平行，二面角的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
19.2019年6月湖北潜江将举办第六届“中国湖北（潜江）龙虾节”，为了解不同年龄的人对“中国湖北（潜江）龙虾节”的关注程度，某机构随机抽取了年龄在20—70岁之间的100人进行调查，经统计“年轻人”与“中老年人”的人数之比为2:3。

（1）根据已知条件完成上面的22⨯列联表，并判断能否有99﹪的把握认为关注“中国湖北（潜
江）龙虾节”是否和年龄有关？
（2）现已经用分层抽样的办法从中老年人中选取了6人进行问卷调查，若再从这6人中选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“中国湖北（潜江）龙虾节”的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望。

附：参考公式2
2
(),()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=
++++其中n a b c d =+++。

临界值表：
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】
(1)首先将列联表填写完整，根据公式计算2k ，再与临界值表作比较得到答案. (2)首先计算关注人数的概率，再写出分布列，计算数学期望. 【详解】解：
其中10,30,40,20a b c d ====代入公式的2k ≈16.67 6.635>，故有99﹪的把握认为关注“中国湖北（潜江）龙虾节”和年龄有关.
（2）抽取的6位中老年人中有4人关注，2人不关注，则ξ可能取的值有123、、
342
3
6
),1,2,3i i
C C P i i C ξ-===（所以ξ的分布列为
131
1232555
E ξ=⨯
+⨯+⨯= 【点睛】本题考查了列联表的计算，分布列和数学期望的计算，意在考查学生的计算能力.
20.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>）的离心率为
3
，一个焦点在直线4y =-上，直线l 与椭圆交于P Q ，两点，其中直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k 。

（1）求椭圆方程； （2）若121
9
k k ⋅=-，试问⊿OPQ 的
面积是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理
由。

【答案】（1）2
219
x y +=；
（2）是定值32. 【解析】 【分析】
(1)根据离心率公式和焦点公式计算得到答案.
(2)设点和直线，联立方程，根据韦达定理得到根与系数关系，计算PQ 和点到直线距离，表示出面积，根据121
9
k k ⋅=-
化简得到答案. 【详解】解：（1）由题意可知椭圆的一个焦点为0（）
即而c e ==所以3,1a b ==椭圆方程为2
219
x y +=
（2）设()()1122,P x y Q x y ，，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立椭圆
方程得(
)
2
22
9118990k x kmx m +++-=，则1221891km x x k -+=+，2122
99
91
m x x k -=+
PQ == 点O
到直线的距离d =
所以12POQ
S PQ d =⋅= 由()221212*********
9
k x x km x x m y y k k x x x x +++===-化简得22921k m =-代入上式得3
2
POQ S =
若直线斜率不存在易算得32POQ S =
综合得，三角形POQ 的面积是定值
32
【点睛】本题考查了椭圆的方程的计算，面积的表示和定值问题，计算量较大，意在考查学生的计算能力.
21.已知函数2
()x x f x e
=
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数2
()()()1g x f x kf x =-+恰有四个零点，求实数k 的取值范围。

【答案】（1）单调增区间()0,2，单调减区间(),0-∞或()2,+∞；（2）2
244
e k e >+.
【解析】 【分析】
(1)求导数，根据导数的正负确定函数单调性.
(2)设()t f x =转换为二次方程，确定二次方程有两个不同解，根据方程的两个解与极值关系得到范围.
【详解】解：(1)()2
2x
x x f x e
='-令()0f x '>得，得02x <<，故函数()f x 的单调增区间为02（，）单调减区间为(),0-∞或()2,+∞ （2）令()t f x =因为关于t 的方程至多有两个实根， ①当()0g x ∆<时显然无零点，此时不满足题意；
②当2010t kt ∆=-+=时有且只有一个实根，结合函数()f x 的图像，可得此时至多上零点也不满足题意
③当022k k ∆>><-时即或，此时210t t kt -+=关于的方程有两个不等实根12t t 、设
121212,1t t t t k t t <+==且若要()g x 有四个零点则()120t f x t <<<极大值而
()()242f x f e ==极大值
，所以22244)10k e e -⋅+<（解得2244e k e >+又2
2424
e e +>故
2
244
e k e >+
【点睛】本题考查了函数的单调性，函数的零点问题，综合性大，计算较难，意在考查学生对于函数导数知识的综合灵活运用和计算能力.
四、选考题（本题满分10分，请考生从第22、第23两小题中任选一题做答） 22.在直角坐标系中直线l 的参数方程为32x t
y t
=--⎧⎨
=+⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：4cos()3
π
ρθ=-.
（1）求直线l 的普通方程及曲线C 直角坐标方程； （2）若曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值.
【答案】（1）直线l 的普通方程为10x y ++=，曲线C 的直角坐标方程为
22(1)(4x y -+=；（22-. 【解析】 【分析】
(1)直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.
(2)计算圆心到直线的距离，判断相离，再利用公式d r -得到答案.
【详解】解：（1）直线l 的普通方程为10x y ++=，曲线C 的直角坐标方程为
()(2
2
14x y -+-=
（2）曲线C 的圆心到直线l 的距离2d =
=>所以直线与圆相离，
则曲线C
上的点到直线l 的距离的最小值为2d r -=
【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程，将圆上的点到直线的距离转化为圆心到直线的距离是解题的关键.
23.已知函数()3f x x x a =+--.
（1）当2a =时，求不等式()21f x x >-的解集；
（2）若不等式()4f x <对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(),3-∞；（2）71a -<<. 【解析】 【分析】
(1)当2a =时，讨论x 取值范围去绝对值符号，计算不等式.
(2)利用绝对值不等式求函数最大值为3a + ，计算34a +<得到答案. 【详解】解：（1）当2a =时不等式即为3221x x x +-->- ①当3x <-时不等式可化为521x ->-得2x <-故3x <- ②当32x -≤<时不等式可化为2121x x +>-恒成立故32x -≤< ③当2x ≥时不等式可化
2-60x <得3x <故23x ≤<
综合得，不等式的解集为-3∞（，）
（2）()()333x x a x x a a +--≤+--=+所以()34f x a =+<最大值得71a -<<为所求
【点睛】本题考查了绝对值不等式，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.。