2020-2021初三数学上期中模拟试卷(带答案)

2020-2021初三数学上期中模拟试卷(带答案)
一、选择题
1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
2．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A ．随时打开电视机，正在播新闻
B ．优秀射击运动员射击一次，命中靶心
C ．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上
D ．长度分别是3cm ，5cm ，6cm 的三根木条首尾相接，组成一个三角形
3．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①c ＞0；
②若点B （32-，1y ）、C （52
-，2y ）为函数图象上的两点，则12y y <； ③2a ﹣b=0； ④2
44ac b a
-＜0，其中，正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ） A ．（1，-5） B ．（3，-13） C ．（2，-8） D ．（4，-20）
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 （忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB 的面积为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 7．如图，Rt AOB V 中，AB OB ⊥，且AB OB 3==，设直线x t =截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O 旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
9．如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B ＝135°，P′A ∶P′C ＝1∶3，则P′A ∶PB ＝( )
A ．1∶2
B ．1∶2
C ．3∶2
D ．1∶3
10．如图，直线y=kx+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD ．直线y=kx+c 与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）
①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k ＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k ．
A ．①②③
B ．②③⑤
C ．②④⑤
D ．②③④⑤
11．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．
12．求二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为()1,0x 、()2,0x ，其中101x <<，有下列结论：①0abc >；
②232x -<<-；③421a b c -+<-；④()21a b am bm m ->+≠-；⑤13
a >；其中，正确的结论有（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
二、填空题
13．已知一元二次方程x 2＋kx －3＝0有一个根为1，则k 的值为__________．
14．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，若∠D ＝20°，则∠CBA 的度数是__．
15．关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3＝0有实数根，则k 应满足的条件是_____.
16．如图，△ODC 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且∠AOC =105°，则∠C = __．
17．如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得10AD cm ，点D 在量角器上的读数为60o ，则该直尺的宽度为____________cm ．
18．小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角尺，他将直尺、光盘和三角尺按图所示方法放置于桌面上，并量出AB ＝3 cm ，则此光盘的直径是________ cm ．
19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是正方形，点C （0，4），D 是OA 中点，将△CDO 以C 为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C 与点O 重合，写出此时点D 的对应点的坐标：_____．
20．若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根，则m 的值为______．
三、解答题
21．在硬地上抛掷一枚图钉，通常会出现两种情况：
下面是小明和同学做“抛掷图钉实验”获得的数据： 抛掷次数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
针尖不着地的频数m
63 120 186 252 310 360 434 488 549 610 针尖不着地的频率m n 0.63 0.60 0.63 0.60 0.62
0.61 0.61
（1）填写表中的空格；
（2）画出该实验中，抛掷图钉钉尖不着地频率的折线统计图；
（3）根据“抛掷图钉实验”的结果，估计“钉尖着地”的概率为 ．
22．已知：如图，AB 是⊙O 的弦，⊙O 的半径为10，OE 、OF 分别交AB 于点E 、F ，OF 的延长线交⊙O 于点D ，且AE=BF ，∠EOF=60°．
（1）求证：△OEF 是等边三角形；
（2）当AE=OE 时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
23．三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A ，B 中，可随机选择其中的一个通过．
（1）三辆汽车经过此收费站时，都选择A 通道通过的概率是 ；
（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B 通道通过的概率．
24．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，4OC =，42AC =
(1)求点O 到AC 的距离；
(2)求ADC ∠的度数．
25．已知关于x的方程220
++-=.
x ax a
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
试题分析：A选项既是轴对称图形，也是中心对称图形；
B选项中该图形是轴对称图形不是中心对称图形；
C选项中既是中心对称图形又是轴对称图形；
D选项中是中心对称图形又是轴对称图形.
故选B．
考点: 1.轴对称图形；2.中心对称图形．
2．D
解析：D
【解析】
分析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
详解：A．是随机事件，故A不符合题意；
B．是随机事件，故B不符合题意；
C．是随机事件，故C不符合题意；
D．是必然事件，故D符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
3．B
解析：B
【解析】
【详解】
∵抛物线与y 轴交于正半轴，
∴c ＞0，①正确；
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大，
∴y 1＞y 2②错误；
∵对称轴为直线x=﹣1， ∴﹣2b a
=﹣1， 则2a ﹣b=0，③正确；
∵抛物线的顶点在x 轴的上方， ∴2
44ac b a
-＞0，④错误； 故选B.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
解：222
24=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．
【点睛】
本题考查二次函数的性质． 5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选B ．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
解析：D 【解析】【分析】
由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB=1
lr
2
，
计算即可．
【详解】
解：∵正方形的边长为3，∴弧BD的弧长=6，
∴S扇形DAB=11
lr=
22
×6×3=9．
故选D．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．
【详解】
解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，
∴∠AOB=∠A=45°，
∵CD⊥OB，
∴CD∥AB，
∴∠OCD=∠A，
∴∠AOD=∠OCD=45°，
∴OD=CD=t，
∴S△OCD=1
2
×OD×CD=
1
2
t2（0≤t≤3），即S=
1
2
t2（0≤t≤3）．
故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象；
故选D．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．
8．B
解析：B
【分析】
根据旋转的性质和图形的特点解答．
【详解】
∵图案绕点O 旋转120°后可以和自身重合，∠AOB 为120° ∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的13 ， ∵图形的面积是12cm 2，
∴图中阴影部分的面积之和为4cm 2；
故答案为B ．
【点睛】
本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键． 9．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，∴BP =BP ′，∠ABP +∠ABP ′=90°，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =BC ，∠CBP ′+∠ABP ′=90°，∴∠ABP =∠CBP ′，
在△ABP 和△CBP ′中，∵BP =BP ′，∠ABP =∠CBP ′，AB =BC ，
∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ），∴AP =P ′C ，
∵P ′A ：P ′C =1：3，∴AP =3P ′A ，连接PP ′，
则△PBP ′是等腰直角三角形，
∴∠BP ′P =45°，PP ′=2PB ，
∵∠AP ′B =135°，∴∠AP ′P =135°﹣45°=90°，
∴△APP ′是直角三角形，
设P ′A =x ，则AP =3x ，根据勾股定理，PP ′=22'AP P A -=22(3)x x -=22x ， ∴PP ′=2PB =22x ，解得PB =2x ，∴P ′A ：PB =x ：2x =1：2．
故选B ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P ′A 、P ′C 以及P ′B 2倍转化到同一个直角三角形中
是解题的关键．
10．B
解析：B
【解析】
试题解析：∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
∵抛物线对称轴是x=1，
∴b＜0且b=-2a．
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0．
∴①abc＞0错误；
∵b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＞0，
∴②3a+b＞0正确；
∵b=-2a，
∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，
∴④4a+2b+c＜0错误；
∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，
∴k＜0．
∵OA=OD，
∴点A的坐标为（c，0）．
直线y=kx+c当x=c时，y＞0，
∴kc+c＞0可得k＞-1．
∴③-1＜k＜0正确；
∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，
得x1=0，x2=k b a -
由图象知x2＞1，
∴k b
a
-
＞1
∴k＞a+b，
∴⑤a+b＜k正确，
即正确命题的是②③⑤．故选B．
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】
解：A 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B 、是中心对称图形，故本选项符合题意； C 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
由抛物线开口方向得a ＞0，由抛物线的对称轴为直线12b
x a
=-
=-得2b a =＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得c ＜0，则abc ＜0；由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2；抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，2x =-时，421a b c -+<-；抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，当1x =-时，
y a b c =-+最小值，当x m =得：2y am bm c =++，且1m ≠-，
∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +；对称轴为直线12b
x a =-
=-得2b a =,由于1x =时，0y >，则a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13
a c >-,然后利用1c <-得到13
a >-. 【详解】
∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线12b
x a
=-
=-，∴b=2a＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c＜0，∴abc＜0， 所以①错误；
∵抛物线2
y ax bx c =++与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为
1x =-，由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称
轴性，∴抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，∴当2x =-时，421a b c -+<-, 所以③
∵抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，∴当1x =-时，y a b c =-+最小值， 当x m =代入2
y ax bx c =++得：2
y am bm c =++，
∵1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +,所以④错误； ∵对称轴为直线12b
x a
=-
=-，∴2b a =, ∵由于1x =时，0y >，∴a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13
a c >-,
根据图象得1c <-，∴1
3
a >-
，所以⑤正确. 所以②③⑤正确, 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与x 轴、y 轴的交点，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），a 决定抛物线开口方向；c 的符号由抛物线与y 轴的交点的位置确定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；当x ＝1时，y ＝a b c ++；当1x =-时，
y a b c =-+.
二、填空题
13．2【解析】【分析】把x=1代入已知方程列出关于k 的新方程通过解新方程来求k 的值【详解】∵方程x2+kx −3=0的一个根为1∴把x=1代入得12+k×1−3=0解得k=2故答案是：2【点睛】本题考查了
解析：2 【解析】 【分析】
把x=1代入已知方程，列出关于k 的新方程，通过解新方程来求k 的值． 【详解】
∵方程x 2+kx−3=0的一个根为1， ∴把x=1代入，得 12+k×1−3=0， 解得，k=2. 故答案是：2. 【点睛】
本题考查了一元二次方程的知识点，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程解的应用.
14．70°【解析】【分析】根据圆周角定理可得：∠ACB=90°∠A=∠D ＝20°根据三角形内角和定理可求解【详解】因为AB 为⊙O 的直径所以∠ACB=90°因为∠D ＝20°所以∠A=∠D ＝20°所以∠CB
解析：70°
【分析】
根据圆周角定理可得：∠ACB=90°，∠A=∠D＝20°，根据三角形内角和定理可求解．【详解】
因为AB为⊙O的直径，
所以∠ACB=90°
因为∠D＝20°
所以∠A=∠D＝20°
所以∠CBA=90°-20°=70°
故答案为：70°
【点睛】
考核知识点：圆周角定理．熟记圆周角定理是关键．
15．k≤且k≠0；【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义解答即可【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根∴△=(-4)2-4k×3≥0且k≠0解得k≤且k≠0故
解析：k≤4
3
且k≠0；
【解析】
【分析】
利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义解答即可.【详解】
∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，
∴△=(-4)2-4k×3≥0且k≠0，
解得k≤4
3
且k≠0，
故答案为：k≤4
3
且k≠0
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义及判别式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别式△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根；解题时，要注意a≠0这个隐含的条件.
16．【解析】【分析】先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数可得∠AOB的度数再根据△AOD中AO=DO可得∠A的度数进而得出△ABO中∠B的度数可得∠C的度数【详解】解：∵∠AOC的度数为105°由旋转可
解析：45
【解析】
【分析】
先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，
AO=DO ，可得∠A 的度数，进而得出△ABO 中∠B 的度数，可得∠C 的度数． 【详解】
解：∵∠AOC 的度数为105°， 由旋转可得∠AOD=∠BOC=40°， ∴∠AOB=105°-40°=65°， ∵△AOD 中，AO=DO ， ∴∠A=
1
2
（180°-40°）=70°， ∴△ABO 中，∠B=180°-70°-65°=45°， 由旋转可得，∠C=∠B=45°， 故答案为：45°． 【点睛】
本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．
17．【解析】【分析】连接OCODOC 与AD 交于点E 根据圆周角定理有根据垂径定理有：解直角即可【详解】连接OCODOC 与AD 交于点E 直尺的宽度：故答案为【点睛】考查垂径定理熟记垂径定理是解题的关键 解析：
533
【解析】 【分析】
连接OC ,OD ,OC 与AD 交于点E ，根据圆周角定理有1
30,2
BAD BOD ∠=∠=︒根据垂径定理有：1
5,2
AE AD == 解直角OAE △即可. 【详解】
连接OC ,OD ,OC 与AD 交于点E ，
1
30,2
BAD BOD ∠=∠=︒ 10
3.cos303
AE OA =
=︒
5
tan 303,3
OE AE =⋅︒=
直尺的宽度：
1055
33 3.
333 CE OC OE
=-=-=
故答案为5
3 3
【点睛】
考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.
18．【解析】【分析】先画图根据题意求出∠OAB=60°再根据直角三角形的性质和勾股定理即可求得结果【详解】解：∵∠CAD=60°∴∠CAB=120°∵AB和AC 与⊙O相切∴∠OAB=∠OAC=∠CAB=
解析：3
【解析】
【分析】
先画图，根据题意求出∠OAB=60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理即可求得结果．【详解】
解：∵∠CAD=60°，
∴∠CAB=120°，
∵AB和AC与⊙O相切，
∴∠OAB=∠OAC=∠1
2
CAB=60°，
∴∠AOB=30°，
∵AB=3cm，
∴OA=6cm，
∴2233cm
OB OA AB
=-=
所以直径为2OB=63cm
故答案为：63．
【点睛】
本题考查了切线长定理，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．19．（42）【解析】【分析】利用图象旋转和平移可以得到结果【详解】解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°得到△CBD′则BD′=OD=2∴点D坐标为（46）；当将点C与点O重合时点C向下平移4个单位得到△
解析：（4，2）．
【解析】
【分析】
利用图象旋转和平移可以得到结果.
【详解】
解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°，得到△CBD′，
则BD′=OD=2，
∴点D坐标为（4，6）；
当将点C与点O重合时，点C向下平移4个单位，得到△OAD′′，
∴点D向下平移4个单位．故点D′′坐标为（4，2），
故答案为（4，2）．
【点睛】
平移和旋转：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移.
定义在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角.
20．-
1【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0求出m的取值即可【详解】解：由已知得△=0即4+4m=0解得m=-
1故答案为-1【点睛】本题考查的是根的判别
解析：-1
【解析】
【分析】
根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m的取值即可．
【详解】
解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．
故答案为-1.
【点睛】
本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
三、解答题
21．（1）见表格解析；（2）见解析；（3）0.39．
【解析】
【分析】
（1）先由频率＝频数÷试验次数算出频率；
（2）根据表格作出折线统计图即可；
（3）根据表格观察抛掷的次数增多时，频率稳定到哪个数值，这就是概率．
【详解】
解：（1）
抛掷次数n1002003004005006007008009001000针尖不着地的频数m63120186252310360434488549610针尖不着地的频率0.630.600.620.630.620.600.620.610.610.61
（3）通过大量试验，发现频率围绕0.39上下波动，于是可以估计概率是1﹣0.61＝0.39．【点睛】
考核知识点：用频率表示概率.求出频率是关键.
22．（1）见解析；（2）
503 25π
【解析】
【分析】
（1）作OC⊥AB于点C，由OC⊥AB可知AC=BC，再根据AE=BF可知EC=FC，因为OC⊥EF，所以OE=OF，再由∠EOF=60°即可得出结论．
（2）在等边△OEF中，因为∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，所以∠A=∠AOE=30°，故∠AOF=90°，再由AO=10可求出OF的长，根据S阴影=S扇形AOD﹣S△AOF即可得出结论．【详解】
解：（1）证明：作OC⊥AB于点C，
∵OC⊥AB，∴AC=BC．
∵AE=BF，∴EC=FC．
∵OC⊥EF，∴OE=OF．
∵∠EOF=60°，∴△OEF是等边三角形．；
（2）∵在等边△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，∴∠A=∠AOE=30°．∴∠AOF=90°．
∵AO=10，∴OF=
3103 tan10
AO AOE
⋅∠=⨯=．
∴
1103503
10
233
ACF
S=⨯⨯=
V
,
2
9010
25
360
AOD
S
π
π
⋅⋅
==
扇形
．
∴
503
25
ACF
AOD
S S Sπ
∆
=-=-
阴影扇形
．
23．（1）1
8
；（2）
1
2
【解析】
【分析】
（1）用树状图分3次实验列举出所有情况，再看3辆车都选择A通道通过的情况数占总情况数的多少即可；
（2）由（1）可知所有可能的结果数目，再看至少有两辆汽车选择B通道通过的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】
解：（1）画树状图得：
共8种情况，甲、乙、丙三辆车都选择A通道通过的情况数有1种，
所以都选择A通道通过的概率为1
8
，
故答案为：1
8
；
（2）∵共有8种等可能的情况，其中至少有两辆汽车选择B通道通过的有4种情况，
∴至少有两辆汽车选择B 通道通过的概率为4182
=． 【点睛】
考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键． 24．(1)22；(2)135°． 【解析】 【分析】
（1）作OM ⊥AC 于M ，根据等腰直角三角形的性质得到AM=CM=22，根据勾股定理即可得到结论；
（2）连接OA ，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC=∠MCO=45°，求得∠AOC=90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论． 【详解】
(1)作OM AC ⊥于M ， ∵42AC =， ∴22AM CM ==， ∵4OC =，
∴2222OM OC MC =-=； (2)连接OA ，
∵OM MC =，090OMC ∠=， ∴045MOC MCO ∠=∠=， ∵OA OC =， ∴045OAM ∠=， ∴090AOC ∠=， ∴045B ∠=， ∵0180D B ∠+∠=， ∴0135D ∠=．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（1）12
，3
2-；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可. （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可. 试题解析：（1）设方程的另一根为x 1，
∵该方程的一个根为1，∴1111
{
2
11
a x a x +=-
-⋅=
.解得13
2{12x a =-=. ∴a 的值为
12
，该方程的另一根为3
2-.
（2）∵()()2
22241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>， ∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.。