辽宁省实验中学分校高一数学下学期期末考试

辽宁省实验中学分校2011-2012学年高一下学期期末考试
数学试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

(1) sin2cos3tan4的值 ( )
(A) 小于0 (B) 大于0 (C) 等于0 (D) 不存在
(2) 已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10xy = （ ） (A) 98 (B) 88 (C) 76 (D) 96 (3) 在正方体内任取一点,则该点在正方体的内切球内的概率为 ( ) (A)
12π (B) 6π (C) 3π (D) 2
π
(4) 某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。

为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 （ ）
(A) 9 (B) 18 (C) 27 (D) 36
(5) 天气预报报导在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%，这三天中恰有两天下雨的概率是 （ ）
(A) 0.432 (B) 0.6 (C) 0.8 (D) 0.288
(6) 若向量i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋m j ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是 ( )
(A)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ (B)(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 (C)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ (D)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 (7) 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定
(8) 右图是某赛季甲，乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲，乙两人这几场比赛得分的中位数的和是 （ ）
(A) 62 (B) 63 (C) 64 (D) 65
(9) 33
0,cos ,sin()2
55
π
αβπααβ<<
<<=
+=-，则cos β的值为 （ ）
(A) －1
(B) －1或725
-
(C) 2425
-
(D) 2425
±
(10) 右图是一算法的程序框图，若输出结果为5040S =，则在判断框中应填入的条件是（ ）
(A) 9k ≤ (B)8k ≤ (C) 7k ≤ (D) 6k ≤
(11) 已知点P 是单位正方体1111ABCD A BC D -中异于点
A 的一个顶点，则→→
⋅AP AB 的值为（ ）
(A) 0 (B) 1
(C) 0或1
(D) 任意实数
(12) 已知函数2()cos ()1(0,0)f x A x A =ω+ϕ+>ω>的最大值为3，()f x 的图像在y 轴
上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为1，则(1)(2)(3)(10)f f f f ++++=
（ ）
(A) 0 (B) 100 (C) 150 (D)200
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13) 下表是某厂1～4
由其散点图知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是 y ^
＝－0.7x ＋a ，则a ＝________.
(14) △ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝________.
(15) 如右图所示程序框图，则该程序框图表示的算法 的功能是
(16) △ABC 中，c b a ,,分别是角C ,B ,A 的对边，且)(222为常数m mc b a =+，若
2012cot B
cot A cot C
=+，则m =__________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(17) (本小题满分12分)已知(1,2),(2,8)-A B .
(Ⅰ)若13→
→=AC AB ,23
→→
=-DA AB ，求→CD 的坐标；
(Ⅱ)设(0,5)G ，若→→⊥AE BG ，→BE ∥→
BG ，求E 点坐标．
(18) (本小题满分12分)从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率96.0)(=A P ．
(Ⅰ) 求从该批产品中任取1件是二等品的概率P ；
(Ⅱ) 若该批产品共100件，从中依次抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率)(B P ．
(19) (本小题满分12分) 已知向量(3sin ,1)4x m =，2(cos ,cos )44
x x
n =，()f x m n =⋅ (Ⅰ)若()1f x =，求cos()3
x π
+
的值；
(Ⅱ)在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，且满足1
cos 2
a C c
b +
=，求函数()f B 的取值范围．
(20) (本小题满分12分) 某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果如图表所示．
(Ⅰ) 分别求出y x b a ,,,的值；
(Ⅱ) 从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组应各抽取多少人?
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．
(21) (本小题满分12分)在△ABC 中，
c b a ,,分别为三个内角C B A ,,的对边，2
3
π
π<<C ，
且
C
A C
b a b 2sin sin 2sin -=-. (Ⅰ) 判断△ABC 的形状；
(Ⅱ) 若2=+→
→
BC BA ，求→
→
⋅BC BA 的取值范围．
(22) (本小题满分12分)已知定义在区间]3
2,[ππ-上的函数)(x f y =的图像关于直线
6
π
-
=x 对称，当]3
2,6[π
π-
∈x 时，函数()sin()=ω+ϕf x A x (0,0,)22
ππ
>ω>-
<ϕ<A 的图像如下图所示。

(Ⅰ) 求函数)(x f y =在]3
2,
[π
π-上的解析式； (Ⅱ) 求方程2
2
)(=x f 的解．
辽宁省实验中学分校2011—2012学年度下学期期末考试 数学参考答案： 一、选择题
ADBBA BACCD CD 二、填空题
13. 5.25 14. 1
15. 求使10000) (531≥⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯成立的最小正整数n 的值加2。

16. 4025 三、解答题
18. 解：(Ⅰ)记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”
．则01A A ，互斥，且01A A A =+，故 01()()P A P A A =+2201()()(1)2(1)1.=+=-+-=-P A P A p p p p 于是20.961p =-．
解得120.20.2p p ==-，（舍去）．
(Ⅱ)记0B 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则0B B =． 若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有1000.220⨯=件， 故495316991007980)(0=⨯⨯=B P ．495
179
4953161)(1)()(00=-=-==B P B P B P
19. 解
：
(Ⅰ)
()2111cos cos cos sin ,4442222262
x x x x x x f x m n π⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭
而()11,sin .262x f x π⎛⎫=∴+=
⎪⎝⎭21cos cos 212sin .326262
x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(Ⅱ)22211cos ,,222
a b c a C c b a c b ab +-+=∴⋅
+=即222
1,cos .2b c a bc A +-=∴=
又
()0,,3
A A π
π∈∴=
又
20,,36262B B ππππ<<
∴<+< ()31,.2f B ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭
21. 解：(Ⅰ)
C A C b a b 2sin sin 2sin -=- 两边取导数得C
C
A b b a 2sin 2sin 2sin -=-，得C A b a 2s i n s i n =由正弦定理得：C
A
B A 2sin sin sin sin =，故
C B 2s i n
s i n =，从而C B 2=或π=+C B 2。

若C B 2=，且
2
3
π
π
<
<C ，则π>+C B ，故π=+C B 2。

从而C A =，
故△ABC 是等腰三角形。

(Ⅱ)2=+→
→
BC BA ，两边平方得4cos 22
2
=++B ac c a ，由c a =故2
22cos a
a B -=，而C B 2c o s c o s -=，且-1<<C 2cos -21,故
1cos 21<<B ，故3
4
12<<a ,又→
→
⋅BC BA 2
22cos cos a B a B ac -===，故2
<3→→⋅BC BA <1
22. 解：(Ⅰ)由图像知2π2πA =1,T =4(π-)=2π,ω=
=136
T 。

当2[,]63
ππ
∈-x 时，将π(,1)6代入()f x 得()sin()166ππ=+ϕ=f 。

因为,22ππ-<ϕ< 故3
π
ϕ=。

所以2[,]63ππ∈-x 时，()s i n ()3π=+f x x 。

由()=y f x 关于直线6
π=-x 对称，当。