2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷(十三)数学(文)试题

2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（十三）
文科数学试题
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一､选择题：本大题共12小题，每小題5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U =R ，集合{|||1},{|(2)0}A x x B x x x =<=-<，则A B =（ ）
A. {|01}x x <<
B. {|12}x x <<
C. {|10}x x -<<
D. {|01}x x ≤<
【答案】A 【解析】 【分析】
计算{}
11A x x =-<<，{}
02B x x =<<，再计算交集得到答案.
【详解】{}
{|1}11A x x x x =<=-<<，{}
{|(2)0}02B x x x x x =-<=<<， 故{}
01A B x x ⋂=<<. 故选：A .
【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
2.若复数z 满足i 2i z =-，则复数z 的虚部为（ ） A. 2i B. 2i - C. 2 D. 2-
【答案】D 【解析】 【分析】
化简得到12z i =--，得到复数虚部. 【详解】i 2i z =-，则212i
z i i
-==--，故复数z 的虚部为2-. 故选：D .
【点睛】本题考查了复数的化简，复数的虚部，意在考查学生的计算能力. 3.下列命题中，真命题是（ ） A. 若||||a b =，则a b =；
B. 命题“2,0∈≥∀x R x ”的否定是“2,0x R x ∀∈<”；
C. “1x >”是“21x >”的充分不必要条件；
D. 对任意1
,sin 2sin x R x x
∈+≥ 【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量模，命题的否定，必要不充分条件，均值不等式依次判断每个选项得到答案. 【详解】取()0,1a =，()1,0b =，则满足1a b ==，a b ≠，A 错误；
命题“2
,0∈≥∀x R x ”的否定是“2
,0x R x ∃∈<”，B 错误；
当1x >时，21x >，充分性；当21x >时，取2x =-，不满足1x >，故不必要，C 正确； 取1sin 2x =-，1
sin 0sin x x
+
<，D 错误； 故选：C .
【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的计算能力和推断能力.
4.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：
()()()()()1122334455,,,,,,,,,x y x y x y x y x y ，据收集到的数据可知12345100x x x x x ++++=，由最小二
乘法求得回归直线方程为ˆ0.6754.8y
x =+，则12345y y y y y ++++的值为（ ）
A. 68.2
B. 341
C. 355
D. 366.2
【答案】B 【解析】 【分析】
计算20x =，则0.6754.868.2y x =+=，计算得到答案.
【详解】12345100x x x x x ++++=，故20x =，则0.6754.868.2y x =+=， 故123455341y y y y y y =+=+++. 故选：B .
【点睛】本题考查了回归方程的中心点，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合．若点(,3)(0)a a a ≠是角α终边上一点，则tan()4
π
α-=（ ）
A. -2
B. 12
-
C.
12
D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义求得tan α的值，再利用两角差的正切公式，求得tan()4
π
α-的值．
【详解】解：∵点(,3)(0)a a a ≠是角α终边上一点，∴3tan 3a
a
α==， 则1tan 1
tan(
)4
1tan 2
π
ααα--=
=-+，
故选B ．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，属于基础题．
6.已知双曲线22
21y x b -= ）
A. 2
B. 3
【答案】A 【解析】 【分析】
写出一条渐近线的方程，一个虚轴端点坐标，由点到直线距离公式得b 的关系，然后再得c ，得离心率．
【详解】双曲线虚轴一个端点为(0,)b ，一条渐近线方程为y bx =，即0bx y -=，
∴
23
2
1
b b -=
+，
3b =，又1a =， ∴22132c a b =+=+=，离心率为2c
e a
==． 故选：A ．
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出b ，
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）
A.
38
π B.
32
π C.
3π D.
33π 【答案】C 【解析】 【分析】
如图所示，三视图的直观图为边长为1的正方体中的1A ABCD -，计算3
R =
，得到体积. 【详解】如图所示：三视图的直观图为边长为1的正方体中的1A ABCD -，
故外接球的半径为2221113
2R ++==
，故3433V R ππ==. 故选：C .
【点睛】本题考查了根据三视图求外接球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
8.将函数2
()2cos 16f x x ππ⎛⎫
=-
- ⎪⎝
⎭
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，最后得到的图象对应的函数为奇函数，则ϕ最小值为（ ） A .
13
B.
23
C.
56
D.
16
【答案】D 【解析】 【分析】
化简()cos 23f x x ππ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，()cos 3x g x π
ππϕ⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭
=，故,32k k Z πππϕπ--=-+∈，解得答案. 【详解】2
()2cos 1cos 263f x x x ππππ⎛
⎫
⎛
⎫=-
-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 平移后得到的函数为()cos 3x g x π
ππϕ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭
=， 函数为奇函数，故,3
2
k k Z π
π
πϕπ-
-=-
+∈，故1
,6
k k Z ϕ=
+∈，0ϕ>， 故当0k =时，ϕ最小值为16
. 故选：D .
【点睛】本题考查了三角函数平移，根据三角函数奇偶性求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 9.巳知圆锥的底面圆心为O ，,SA SB 为圆锥的两条母线，且SA 与圆锥底面所成的角为30︒，60AOB ︒∠=，则SB 与平面SOA 所成的角的正弦值为（ ）
A.
B.
34
C.
12
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
如图所示，C 为AO 中点，连接BC ，SC ，设底面半径为r ，BSC ∠为SB 与平面SOA 所成的角，计算得到答案.
【详解】如图所示：C 为AO 中点，连接BC ，SC ，设底面半径为r ，
SA 与圆锥底面所成的角为30SAO ∠=︒，故
33SO r =
，233
SB r =， 60AOB ∠=︒，故OAB 为等边三角形，3
2
BC r =
，故BC AO ⊥，易知SO BC ⊥， 故BC ⊥平面SOA ，故BSC ∠为SB 与平面SOA 所成的角，
332sin 4
233
r
BC BSC SB r ∠===. 故选：B .
【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的
计算能力和空间想象能力.
10.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角12
π
α=，现在向该大止方形区域内随机地投
掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是( )
A.
5
8
B.
12
C.
34
D.
78
【答案】A 【解析】
【分析】
由解三角形得：直角三角形中较小的直角边长为1，由12
π
α=
，得此直角三角形另外两直角边长为长度，
进而得小正方形的边长和大正方形的边长，由几何概型中的面积型得解． 【详解】设直角三角形中较小的直角边长为1，则由直角三角形中较小的锐角12
π
α=，
得此直角三角形另外直角边长为2
则小正方形的边长为1+
设“飞镖落在阴影部分”为事件A ， 由几何概型中的面积型可得：
(
)(
21
(11258P A ++⨯⨯+==， 故选A ．
【点睛】本题考查几何概型中的面积型，解三角形、正方形面积公式属中档题．
11.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，设函数
()1
x g x e
--=，13x
，则()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，分析可得函数()f x 与()g x 的图象都关于直线1x =对称，作出两个函数图象，分析其交点情况即可得到答案.
【详解】由题意，函数()f x 满足()()11f x f x +=-可知， 函数()f x 的图象关于直线1x =对称，
又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称， 由函数()1
x g x e
--=可知，函数()g x 的图象关于直线1x =对称，
画出函数()f x 与()g x 的图象如图所示：
设图中四个交点的横坐标为1234,,,x x x x ， 由图可知，14322,2x x x x +=+=，
所以函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为4. 故选：B
【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性、指数函数的图象与性质；考查数形结合思想和运算求解能力；利用函数的奇偶性和对称性作出函数图象是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.
12.过抛物线24y x =的焦点F 且倾斜角为45︒的直线交抛物线于,A B 两点，以,AF BF 为直径的圆分别与
y 轴相切于点,M N ，则MNF 的面积为（ ）
A.
433
B. 22
C. 1
D.
2
【答案】D 【解析】 【分析】
如图所示，直线l ：1y x =-，联立方程得到1212
6
1x x x x +=⎧⎨
=⎩，计算22MN =.
【详解】如图所示：()1,0F ，连接1O M ，2O N ，过点2O 作21O Q MO ⊥于Q ，
直线l ：1y x =-，故241
y x y x ⎧=⎨=-⎩，故2610x x -+=，12126
1x x x x +=⎧⎨
=⎩. 故()()
2
21121212111
422222
MN O Q O Q AF BF x x x x x x ===-=-=+-=
故1
22
S MN OF =
⋅=故选：D .
【点睛】本题考查了抛物线中的面积问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量()1,2a λ=+，()11b =-,，若a b ⊥，则实数λ=________________. 【答案】1 【解析】 【分析】
直接利用向量垂直公式计算得到答案.
【详解】a b ⊥，故()120a b λ⋅=-++=，故1λ=. 故答案为：1.
【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，属于简单题.
14.已知点(,)x y 满足约束条1
122x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，则2z x y =-的最大值是________________.
【答案】1 【解析】 【分析】
如图所示：画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域，
2
z x y
=-，则1
22
z
y x
=-，故z 表示直线在y轴截距的
1
2
-倍，
根据图象，当直线过点()
1,0时，即1,0
x y
==时z有最大值为1.
故答案：1.
【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图象是解题的关键.
15.已知ABC
的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，若tan b a B=，且A为钝角，则A B
-=________________.
【答案】
2
π
【解析】
【分析】
根据正弦定理得到sin cos sin
2
A B B
π⎛⎫
==+
⎪
⎝⎭
，解得答案.
【详解】tan
b a B
=，则sin sin tan
B A B
=⋅，A为钝角，即sin cos sin
2
A B B
π⎛⎫
==+
⎪
⎝⎭
，
,
2
A
π
π
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，0,
2
B
π
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，故
2
A B
π
-=.
故答案为：
2
π
.
【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
16.如图，将1张长为2m，宽为1m的长方形纸板按图中方式剪裁并废弃阴影部分，若剩余部分恰好能折叠成一个长方体纸盒(接缝部分忽略不计)，则此长方体体积的最大值为________________3
m.
【答案】427
【解析】 【分析】
设阴影部分长为x ，宽为y ，则12
y x =，故()32221222x
V y x x x x -=⋅-⋅=-+，求导得到单调性得到最值.
【详解】设阴影部分长为x ，宽为y ，则1
2
y x =， 则()32221222x
V y x x x x -=
⋅-⋅=-+，()0,1x ∈，则()()'2341131V x x x x =-+=--， 故函数在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，故max 14327
V V ⎛⎫== ⎪⎝⎭
. 故答案为：
427
. 【点睛】本题考查了利用导数其最值，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
三、解答题
17.已知各项均为正数的等差数列{}n a 满足：313a a =，且12,4,2a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设{}n a 的前项和为n S ，令1
n n
b S =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ； 【答案】（1）2n a n =（2）1
11
n T n =-
+ 【解析】 【分析】
（1）直接利用等差数列等比数列公式计算得到答案. （2）计算1111
n n S n b n =
=-+，根据裂项相消法计算得到答案.
【详解】（1）设{}n a 公差为d ，由题意得()11
1123216
a d a a a d +=⎧⎨⨯+=⎩，解得12,2n a d a n ===.
（2）(1)n
S n n =+，所以1111(1)1
n n S n n
b n n =
==-++， 12111
11111223
11n n T b b b n n n n =++
+=-+-+
+
-+--+111
n =-+. 故数列{}n b 的前n 项和111
n
T n =-
+. 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，裂项相消法求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为平行四边形，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且
2,
1PA AB AC ===，点E 是PD 的中点.
（1）求证：//PB 平面AEC ； （2）求D 到平面AEC 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（22 【解析】 【分析】
（1）连接BD 交AC 于F 点，连接EF ，在PBD △中，//EF PB ，得到证明. （2）计算2
2
EAC S ∆=
，根据等体积法得到D EAC E DCA V V --=，计算得到答案. 【详解】（1）连接BD 交AC 于F 点，连接EF ，
在PBD △中，E 是PD 中点，F 是BD 中点，//EF PB ， 又EF ⊂面AEC ，PB ⊄面AEC ，故 //PB 面AEC .
（2）
//,DC AB AC AB ⊥，,DC AC ∴⊥又DC PA ⊥，PA AC A =，
DC ∴⊥面PDC ，PC ⊂平面PDC ，DC PC ∴⊥，
在Rt PDC 中，2222211132222
EC PD PA AD PA AC CD ==+=++=， 同理32AE =
，在等腰三角形AEC 中，112
1222EAC S AC EF ∆∴=⋅⋅=⨯=， 设D 到平面AEC 的距离为h ，由D EAC E DCA V V --=，得1
1
33
EAC ADC S h S EH ∆∆⋅⋅=⋅⋅， 即
2
112
h =⨯，解得2h =D 到平面AEC 2. 【点睛】本题考查了线面平行，点面距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力. 19.在脱贫攻坚中，某市教育局定点帮扶前进村100户贫困户.驻村工作队对这100户村民的贫困程度以及家庭平均受教育程度进行了调査，并将该村贫困户按贫困程度分为“绝对贫困户”与“相对贫困户”，同时按家庭平均受教育程度分为“家庭平均受教育年限5≥年”与“家庭平均受教育年限<5年”，具体调査结果如下表所示：
平均受教育年限5≥年 平均受教育年限<5年 总计 绝对贫困户 10 40 50 相对贫困户 20 30 50 总计 30
70
100
（1）为了参加扶贫办公室举办的贫困户“谈心谈话”活动，现通过分层抽样从“家庭平均受教育年限5≥年”的30户贫困户中任意抽取6户，再从所抽取的6户中随机抽取2户参加“谈心谈话”活动，求至少有1户是绝对贫困户的概率；
（2）根据上述表格判断：是否有95%的把握认为贫困程度与家庭平均受教育程度有关？
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++
参考数据：
【答案】（1）3
5
（2）有95%的把握认为贫困程度与家庭平均受教育程度有关 【解析】 【分析】
（1）通过分层抽样，相对贫困户4户，记为A ､B ､C ､D ，绝对贫困户2户，记为E ､F ，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率；
（2）计算2 4.762 3.841k ≈>，得到答案.
【详解】（1）通过分层抽样，相对贫困户4户，记为A ､B ､C ､D ，绝对贫困户2户，记为E ､F ，
从其中选2户参加谈心谈话活动的所有组合为：AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF 共15种，至少有一户是绝对贫困户有9种， 至少有一户是绝对贫困户的概率为户93
155
P =
=. （2）22
100(30104020)100 4.7627030505021
k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，由参考数据可知()2
3.8410.05P k ≥=.
所以有95%的把握认为贫困程度与家庭平均受教育程度有关.
【点睛】本题考查了概率的计算，独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.
20.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率12e =，直线0x y +=与圆222x y b +=相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点(4,0)N 的直线l 与椭圆交于不同两点，线段,A B 的中垂线为l '，若l '在y 轴上的截距为4
13
，求直线l 的方程.
【答案】（1）22
143
x y +=（2）440x y --=
【解析】 【分析】
（1）根据离心率得到2
2
43
a b =，根据相切得到2a =，得到答案. （2）设()11:
(4),0,,l y k x k A x y =-≠，()22,B x y ，AB 中点()00,Q x y ，联立方程得到
2
1223243k x x k +=+，计算2221612,3434k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
得到2
1443k y x k k =-++，计算得到答案. 【详解】（1）由题意得，2222
22
14
c a b e a a -===，即2
243a b =，
直线0x y +-=与圆222x y b +=
相切得，2b a =
==. 故椭圆的方程是22
143
x y +=.
（2）由题意得直线l 的斜率k 存在且不为零，设()11:(4),0,,l y k x k A x y =-≠，
()22,B x y ，AB 中点()00,Q x y ，
联立22(4)
14
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()2222343264120k x k x k +-+-=，2122
3243k x x k +=+， 又()
()()2
2
223243464120k k k ∆=--+->，解得11
: 22
k -
<<且 0k ≠， ()2
120022
1612,
4243
34x x k k
x y k x k k +===-=-++，得2221612,3434k k Q k
k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由()001
:l y y x x k
'
-=--，即222121163434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，
化简得21443k y x k k =-
++，令0x =得2
444313
k k =+，解得1
4k =或3k =， 由于1122k -<<且0k ≠，故1
4k =，直线l 的方程为1 (4)4
y x =-，即440x y --=.
【点睛】本题考查了椭圆方程，直线和椭圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和应用能力. 21.已知函数()2
21x
f x axe x x =--+.
（1）若1a =，求()f x 的单调区间；
（2）若1x ≥时()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.
【答案】（1）见详解；（2）2
a e
≥ 【解析】 【分析】
（1）利用导数判断函数的单调性
（2）采用分离参数的方法，然后构造新的函数，根据导数研究新函数的单调性，并判断新函数的值域与a 的关系，可得结果.
【详解】（1）由1a =，所以()2
21x
f x xe x x =--+，
则()()
2
'212'2x
x
x
f x xe x x e x x e =--+=+--
即()()()222
1'x
x
x
x f x e xe e x +-=-=-+，
令()'0f x =，则1x =-或ln 2x = 所以当1x <-或ln 2x >时，()'0f x > 当1ln 2x -<<时，()'0f x <
所以函数()f x 的单调递增区间是()(),1,ln 2,-∞-+∞ ()f x 的单调递减区间是()1,ln 2-
（2）由1x ≥，()0f x ≥，所以
2
210x
axe x x --+≥，即221
x
x x a xe +-≥
故由题意可知221
x
x x a xe +-≥在[)1,+∞成立 令()221
x
x x h x xe
+-=，即()max a h x ≥ ()()()()()2
22
21'21'
'x x x x
x xe x x xe h x xe +--+-=
化简得()()()
()
2
2
11'x x e x x h x xe --+=
所以当1x ≥时，()'0h x ≤ 则函数()h x 在[
)1,+∞单调递减，
所以()()max 21h x h e
== 所以2a e
≥
【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性以及参数的范围问题，熟练掌握分离参数的方法，灵活构造函数，达到化繁为简，属中档题.
(二)选考题：共10分.请考生在22､23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos (02)ρθθθπ=+≤<，点1,
2M π⎛⎫
⎪⎝⎭
，以极点O 为原点，以极轴为x
轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线2:112x t l y t ⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
(t 为参数)与曲线C 交于,A B 两点.
（1）若P 为曲线C 上任意一点，当||OP 最大时，求点P 的直角坐标； （2）求
11
||||
MA MB +的值. 【答案】（1）(4,2)P （2）4 【解析】 【分析】
（1）根据极坐标公式得到曲线C 是以()2,1
为圆心，半径为r =
max ||2OP r =，得到答案.
（2
）将直线的参数方程代入圆方程得到12121t t t t +==-，1212
11
||||t t MA MB t t ++=，计算得到答案. 【详解】（1）由2sin 4cos ρθθ=+得22sin 4cos ρρθρθ=+，22
24x y y x ∴+=+，
即2
2
(2)(1)5x y -+-=，故曲线C 是以()2,1
为圆心，半径为r =
的圆.
原点O 在圆C
上，故max ||2OP r ==OP 的中点为圆心点(2,1)C ，
∴点P 的直角坐标为(4,2)P .
（2）由2sin 4cos ρθθ=+得22sin 4cos ρρθρθ=+，22
24x y y x ∴+=+，
将:112x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
代入2224x y y x +=+
并整理得：210t --=， 设A B ，两点对应
的
参数分别为12,t t ，则12121t t t t +==-， 由参数t 的几何意义得：
12121212
11||||4||||||||t t t t MA MB MA MB MA MB t t t t +-++=====，
故
11
4||||
MA MB +=. 【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 23.已知()|21||1|f x x x =+--.
（1）将()f x 的解析式写成分段函数的形式，并求函数()f x 的值域； （2）若1a b +=，对任意,(0,)a b ∈+∞，
41
9()f x a b
+≥恒成立，求x 的取值范围. 【答案】（1）2,11()3,1212,2x x f x x x x x ⎧
⎪+≥⎪
⎪=-<<⎨⎪
⎪
--≤-⎪⎩
，()f x 值域为3,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭（2）133x -≤≤
【解析】 【分析】
（1）()f x 的解析式写成分段函数，画出图像得到答案. （2）利用均值不等式得到
4141()9a b a b a b ⎛⎫
+=++≥ ⎪⎝⎭
，解不等式9()9f x ≤得到答案. 【详解】（1）由已知得2,11()3,1212,2x x f x x x x x ⎧
⎪+≥⎪
⎪=-<<⎨⎪
⎪
--≤-⎪⎩
，画出图像：根据图像知()f x 值域为3,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭.
（2）
,(0,)a b ∈+∞，41414()559a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪
⎝⎭
.
当且仅当
4a b b a
=时取“=”号，即2a b =时等号成立. 所以原不等式恒成立，只需9()9f x ≤，即()1f x ≤，根据图像解得133
x -≤≤
.
【点睛】本题考查了绝对值函数的值域，均值不等式求最值，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。