2022届高三第一次联考理科数学试卷

2022届高三第一次联考理科数学试卷
绝密★启用前
试卷类型：A
2022届高三第一次联考
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。

1.已知集合A={x|y=lg(2-x)}，B={x|x^2-3x≤0}，则A∩B=。

A。

{x|1<x<2} B。

{x|≤x<2}
C。

{x|2<x<3} D。

{x|2<x≤3}
2.若复数z的共轭复数满足(1-i)z=-1+2i，则|z|=。

A。

2 B。

3 C。

10 D。

1
3.下列有关命题的说法错误的是。

A。

若“p∨q”为假命题，则p、q均为假命题；
B。

若α、β是两个不同平面，m⊥α，m∥β，则“sinx=β”
必要不充分条件是“x=π+2kπ”；
C。

若命题p：∃x∈R，x≥1，则命题：¬p:∀x∈R，x^2<1；
D。

若命题q：f(x)为偶函数，则q的充分条件是f(-
x)=f(x)。

4.已知某离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5 6
P 1/12 1/6 1/4 1/3 1/6 1/12
则X的数学期望E(X)=。

A。

123/27 B。

1 C。

2 D。

3
5.若复数z满足|z-2-2i|=2，则z的幅角为。

A。

π/4 B。

π/3 C。

π/2 D。

2π/3
6.若cos(θ+α)=1/2，sin(θ-α)=-1/2，且θ∈[0,π/2]，α∈[-
π/2,π/2]，则tan(θ+α)的值为。

A。

√3 B。

1/√3 C。

-√3 D。

-1/√3
7.已知函数f(x)=x^3-x^2-x-1，g(x)=x^2-2x+1，则f(g(x))的值为。

A。

x^6-4x^5+5x^4+2x^3-5x^2-4x B。

x^6-4x^5+5x^4-
2x^3-5x^2+4x
C。

x^6-4x^5+5x^4-2x^3+5x^2-4x D。

x^6-
4x^5+5x^4+2x^3+5x^2+4x
8.设抛物线C：y^2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为2的直线与C交于M，N两点，则FM·FN=。

A。

4 B。

6 C。

7 D。

8
9.已知定义在R上的偶函数f(x)=3sin(ωx+ϕ)-cos(ωx+ϕ)（ϕ∈(0,π)，ω>0），对任意x∈R都有f(x)+f(x+π/2)=1.当ω取最小值时，f(π/6)的值为。

A。

1 B。

3/2 C。

1/2 D。

2
10.若函数f(x)=sinx+cosx在区间[0,π/2]上单调递减，则
f(π/6+α)的最小值为。

A。

-1 B。

-√3/2 C。

-1/2 D。

√3/2
11.已知向量a=3i+4j-2k，b=2i-3j+4k，则a×b的模长为。

A。

5√2 B。

7√2 C。

9√2 D。

11√2
12.已知不等式组{x+y+z≥3，x^2+y^2+z^2≤9}的解集为S，则S的面积的最小值为。

A。

2 B。

3 C。

4 D。

5
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
一、填空题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分。

请将答案填写在答题卡上。

13.已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在区间[0,1]上的最大值
为1，最小值为-1，则f(2)__________。

14.已知函数f(x)=x^3-x^2+ax+b的图像上存在一点(x0,y0)，使得f(x)在点x0处取得最小值，则x0+y0=__________。

15.设向量a=3i-2j+k，向量b=2i+j-3k，则向量a-2b的模长为__________。

16.已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，且f(-1)=0，f(1)=2，
f'(x)>0，f''(x)<0，则f(2)__________。

17.已知向量a=2i-j+3k，向量b=3i+2j-2k，则向量a×b的
模长为__________。

18.若函数f(x)=x^3+3x^2+ax+b在区间[-1,1]上的最小值为-2，则f(2)__________。

19.已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在区间[0,1]上的最大值
为1，最小值为-1，则f(0)+f(1)__________。

20.设函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，且f(1)=2，f'(1)=3，
f''(1)=2，则f(2)__________。

二、解答题：本大题共6小题，每小题10分，满分60分。

请将答案写在答题卡上。

21.已知函数f(x)=x^3-3x^2+5x-7，g(x)=x^3-2x^2+3x-4.
1）求f(x)和g(x)的零点；
2）求f(x)与g(x)的最小正周期；
3）若函数h(x)=f(x)cosx+g(x)sinx，则h(x)的最小正周期为多少？
22.已知函数f(x)=x^3-3x，g(x)=x^2-2x-3.
1）求f(x)和g(x)的零点；
2）求f(x)与g(x)的交点；
3）在同一坐标系内画出f(x)和g(x)的图像；
4）求曲线y=f(x)与y=x的交点的横坐标。

23.已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在区间[0,1]上的最大值为1，最小值为-1.
1）求f(x)的一个零点；
2）求f(x)的导函数f'(x)和二阶导函数f''(x)；
3）若函数g(x)=f(x)+f'(x)+f''(x)，则g(x)在区间[0,1]上的最大值为多少？
24.已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，且f(0)=f(1)=0，f'(0)=-1，f'(1)=2.
1）求a，b，c的值；
2）设函数g(x)=f(x)+f'(x)+f''(x)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为多少？
25.已知函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5，g(x)=x^3-2x^2-5x+2.
1）求f(x)和g(x)的零点；
2）求f(x)与g(x)的交点；
3）在同一坐标系内画出f(x)和g(x)的图像；
4）求曲线y=f(x)与y=g(x)的交点的横坐标。

26.已知函数f(x)=x^3-3x^2+3x-1，g(x)=x^3-2x^2+2x-1.
1）求f(x)和g(x)的零点；
2）求f(x)与g(x)的交点；
3）在同一坐标系内画出f(x)和g(x)的图像；
4）求曲线y=f(x)与y=g(x)的交点的横坐标。

17.（本小题满分12分）
1）由正弦定理得：2bsinCcosA+asinA=2csinBcosA+asinA，化简可得bsinC=csinB，即XXX。

由正弦定理再得
b/sinB=c/sinC，因此b=c，即△ABC为等腰三角形。

2）由角平分线定理得AD/CD=AB/CB，即
AD/DC=(b+c)/b=1+2c/b。

又由题意得BD=2DC，因此
BD/DC=2.由梅涅劳斯定理得AB/AC=BD/DC+1=3，即b/c=3/2.又因为△ABC为等腰三角形，所以b=c，解得b=6.
18.（本小题满分12分）
设球心为O，球半径为R。

由勾股定理得BC=2√3，又由
余弦定理得cosB=1/2，因此AB=√3.由正弦定理得
AC=2sin60°/sin120°=2√3.又因为PA⊥平面ABC，所以PA=R。

设M为PA的中点，则OM=R/2.由勾股定理得BM=√7，
CM=√13.设∠PAB=α，则∠CAM=120°-α，由余弦定理得
cosα=(AB²+BP²-AP²)/(2AB·BP)=(3+R²)/(2R√7)。

同理可得
cos(120°-α)=(3+R²)/(2R√13)。

由余弦定理得cos∠BAC=1/4-
3R²/52，又因为cos∠BAC=cos(α+120°-α)=-1/2cosα-
√3/2cos(120°-α)，代入cosα和cos(120°-α)的值，解得R=√3/3.
因此球O的表面积为4πR²=4π/3.
四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD，且AD=2AB=2BC=2，∠BAD=90°，△PAD为等边三角形，且平面ABCD⊥平面PAD。

点E、M分别为PD、PC的中点。

1）证明：CE//平面PAB；
2）求直线DM与平面ABM所成角的正弦值。

解析：（1）由题意可知，△PAD为等边三角形，因此AP=AD=2.又因为PD=2EM，所以M是PD的中点，即
PM=MD。

因此，PM=MD=1，PC=1+MD=2，PB=2+MD=3.由此可知，△PBC与△PAB相似，且比例系数为1：2.因此，CE//平面PAB。

2）由于直线DM与平面ABCD垂直，因此直线DM与平面ABM的夹角等于平面ABCD与平面ABM的夹角。

由于ABCD为直角梯形，因此平面ABCD为斜面，平面ABM为水平面，所以平面ABCD与平面ABM的夹角为45°。

因此，直线DM与平面ABM所成角的正弦值为sin45°=1/√2.
已知椭圆C：（x^2/9）+(y^2/4)=1，且经过点（-1，2）的离心率为2/3.
1）求椭圆C的标准方程；
2）过点（3，0）作直线l与椭圆C交于不同的A、B两点，试问在x轴上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB 恰好关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

解析：（1）由题意可知，椭圆C的中心为原点。

设椭圆
C的长轴为2a，短轴为2b，则由离心率公式可得：2a/3=2b，
即a=3b。

又因为（-1，2）在椭圆C上，所以有：（-1）
^2/9+2^2/4=1，即9/4+1=9/4，所以点（-1，2）不在椭圆C上。

因此，将椭圆C的标准方程化为：（x^2/9）+(y^2/36)=1.
2）过点（3，0）作直线l，设直线l的斜率为k，则直线
l的方程为y=kx-3k。

将直线l的方程代入椭圆C的标准方程，得到一个关于x的二次方程。

由于直线l与椭圆C有两个交点，因此该二次方程有两个实数根。

设这两个根分别为x1和x2
（x1<x2），则直线l与椭圆C的交点分别为（x1，kx1-3k）
和（x2，kx2-3k）。

若直线QA与直线QB恰好关于x轴对称，则点Q在x轴上。

因此，点Q的坐标为（（x1+x2）/2，0）。

根据解析几何的知识可知，直线l与椭圆C的交点在x轴上的
投影点的横坐标之和为0.因此，有x1+x2=0，即点Q的横坐
标为0.因此，点Q的坐标为（0，0）。

所以，直线QA与直
线QB关于x轴对称。

已知函数f(x)=x-lnx-2.
1）求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
2）函数f(x)在区间(k,k+1)(k∈N)上有零点，求k的值；
3）若不等式（x-m）(x-1)>f(x)对任意正实数x恒成立，
求正整数m的取值集合。

解析：（1）曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为
y=f(1)+f'(1)(x-1)。

由于f'(x)=1-1/x，因此f'(1)=0.又因为f(1)=1-
ln1-2=-1，因此曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-1.
2）函数f(x)在区间(k,k+1)(k∈N)上有零点，即方程f(x)=0在区间(k,k+1)上有实数解。

由于f(x)在(0,1)上单调递减，在[1,+∞)上单调递增，因此f(x)在(0,1)和(k,k+1)上的符号相反。

因此，k的值为1.
3）由于（x-m）(x-1)>f(x)对任意正实数x恒成立，因此
对于x=1和x=m，有（1-m）(1-1)>f(1)和（m-m）(m-1)>f(m)，即-m>1和m0，所以m-1>lnm+1.因此，有e^(m-1)>m+1，即
e^(m-1)/(m+1)>1.由于当m趋近于0时，e^(m-1)/(m+1)趋近于1，因此m的取值集合为(0,1)。

文章中没有明显的段落问题，但需要进行小幅度修改和调整句子结构，以使其更易读懂。

根据最小二乘法估计，回归直线的斜率和截距分别为5.54和0.06.相关指数为e5.46约等于235，e1.43约等于4.2.
参考数据为表中给出的10组数据，其中ui为第i组数据的自然对数，u为所有数据的自然对数的平均值。

考生可自行选择第22或23题作答。

第22题要求求出曲线C1上任意一点的中点轨迹C2的极坐标方程，以及直线l与C2的交点，满足OA=3AB时的k值。

第23题要求求出函数f(x)的解集和a的最小值，其中a的取值范围为1到2.。