有限元法与程序-板的弯曲

2） 相邻单元公共边切向转角：
3） 相邻单元公共边法向转角：
该转角的确定包含了单元全部结 点位移参数，由于非公共边上结 点位移的协调关系不能保证，因 此一般
综上所述，本节构造的位移场不能完全满足收敛的协调性 准则，具体为挠度及切向转角跨单元协调，法向转角跨单 元不协调，因此该单元不是完全协调元。
abdddz
2
➢子矩阵为
a11 a12 a13
[krs ]33 a21
a22
a23
(r,
s
1,
2,
3,
4)
a31 a32 a33
a11
3H
15
b2 a2
0
a2 b2
0
14
ห้องสมุดไป่ตู้
4
5
b2 a2
0 0
a12
3Hb 2 3
5 a2 b2
0i
15 a2 b2
i
5
0
j
aaa222113H33bHH2aba2232(21331)5H05(53baabab2222(5ii000jj5)1ba(15522iba(ba22322ij)j05)(53j000 )i
[S
' i
]33
Eh3 96(1 2 )ab
6
b a
6
b a
0 (1 0 (1
0) 0 )
6 6
a
b a
b
0 0
(1 (1
0 0
) )
(1 )ii (3 2 3 2 4)
2i (1 0 )(1 30 )
2ai (1 0 )(1 30 ) (1 )bi (3 2 20 1)
➢ 对于三角形单元，面积坐标的一、二、三次齐次分别有以 下项：
一次项： Li , L j , Lm
二次项：L2i , L2j , L2m , Li Lj , Lj Lm , LmLi
Li L j Lm 1
Li
Ai A
三次项：L3i , L3j , L3m , L2i Lj , L2j Lm , L2mLi , Li L2j , Lj L2m , LmL2i , Li Lj Lm
a7 (L2j
2Lj Lm )
a8(4Li Lm L2i L2m ) a9 (L2j 2Li Lj )
w L j
wj
wm a4 (Lm
Lj ) a5Li
a6Li
a7 (L2j
L2m
4LjLm )
a8(2Li Lm L2i ) a9 (2Li Lj L2i )
➢ 将结点的面积坐标代入上述两式，可得6个关于 a4~a9的方程，求解后可得a4~a9：
)
最后，待定常数a1~a9代入位移模式，整理后得：
Ni Li (Li L2j L2i L j ) (Lm L2i L2m Li )
1、薄板理论
与平面应力问题不同， 薄板弯曲问题是具有图示 几何特征的结构在横向荷 载作用下的分析。
弹性薄板基本概念
所谓薄板是指板厚δ比板最小尺 寸b在如下范围的平板
wu
x
v
1 ~ 1 1~1
100 80 b 8 5
y
z 中面
平分厚度的平面称中面。
1、薄板理论
➢ 克希霍夫(G.kirchhoff)基本假设
第6章 板的弯曲
6.1 概 述
平板：分薄板和厚板。载荷作用在垂直于板面的方 向 。对于薄板板小挠度问题，它的变形完全由横向 变形确定；对于薄板大挠度问题，则属于几何非线 性问题。对于厚板，应考虑横向剪切变形的影响。
本章介绍弹性板弯曲的有限单元法，对于薄板小挠 度问题，它的变形由挠度所确定，因此可取挠度和 它的若干阶导数作为结点参数建立平板单元 。薄板 弯曲单元类型众多，本章介绍一个矩形单元和一个 三角形单元。此外，本章还介绍一种适合厚板问题 的四边形通用单元，它考虑横向剪切变形的影响， 可以适用于中厚板和薄板，具有较好的性能。
x，y轴的转角θxi、θyi，独立变量为wi。三角形单
元位移模式应包含9个参数。若考虑完全三次多 项式，则有10个参数:
a1 a2 x a3 y a4 x 2 a5 xy a6 y 2 a7 x3 a8 x 2 y a9 xy 2 a10 y 3
➢若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一项。 无法保证对称。经过许多研究，问题最后在面积坐 标下得以解决。
a8(LmL2i L2mLi ) a9 (LiL2j L2i Lj )
采用“＋”组合不 行
➢ 将三个结点的位移和面积坐标代入上式，可得：
a1=wi ， a2=wj， a3=wm。代入上式对Li，Lj求导，
注意Lm=1-Li-Lj，可得
w Li
wi
wm
a4Lj
a5(Lm
Li ) a6Lj
Ni
1 8
(1 i )(1i)(2 i
i
2
2
N xi
1 8
bi
(1
i
)(1
i
)(1
2
)
N yi
1 8
ai (1 i )(1i)(1 2 )
i=1,2,3,4
x
a
i
xi a
y
b
i
yi
b
位移的非完全协调性证明： 1） 相邻单元公共边挠度：
结点位移协调： 代入可以验证位移满足协调条件：
试凑形函数N1 由形函数性质，对N1有:
N1(1)=1；N1(j)=0，j=2,3,4 N1对x，y的偏导数在各结点 2 处均为零。
Q1
Mx1
1
My1
w3 3 yz
4 x
x3
y3
考虑到挠度是非完全四次式，为使自动满足其
它点为零N1(j)=0 ， j=2,3,4。可设
N1 (1 )(1)(a1 b1 c1 d1 2 e1 2 )
板中心挠度 wD/PL2
边中点弯矩 M/P
0.00614
-0.1178
4×4
0.00580
-0.1233
6×6
0.00571
-0.1245
理论解
0.00560
-0.1257
6.3 薄板三角形单元
1、位移模式 ➢ 三角形单元能较好地适应斜边界，实际中广泛应
用。单元的结点位移仍然为结点处的挠度wi和绕
（1）薄板中面法线变形后仍保持为直线。由此，板中面内
剪应变为零，即 zx zy 0 。
（2）忽略板中面的法向应力分量，且不计其引起的应变。
（3）薄板中面内的各点没有平行于中面的位移，即中面不
变形，当 z 0, u v 0 。
利用上述假设将平板弯曲问题转化为二维问题，且 全部应力和应变可以用板中面挠度w表示。
➢ 基本方程
（1）位移：由假设（1）、（3），有
w w(x, y) u w z v w z
x
y
(2)应变
由假设（1）、（2），薄板弯曲问题只需要考 虑三个分量。根据几何方程，应变可表示为
{ }
x y xy
u x
v
y
u
y
v x
z
2w
x
2
2 w
0 i ,0 i
2bi (1 30 )(1 0 )
2bi (1 30 )(1 0 )
(1 )ai (3 2 20 1)
5、单元刚度矩阵
➢ 基本公式 [k] V [B]T [D][B]dxdydz
h
[k]1212
2 h
1 1
1 1
[
B]1T23
[D]33
[B]312
a31
3Ha
2
3
5
b2 a2
j0
15
b2 a2
j
5i0
a32 15H ab(i j )(i j )
a33
Ha2
(2(1
)0 (3
50
)
5
b2 a2
(3
0 )(3
0
)
式中
H
D 60ab
0 i j
0 i j
其中D为薄板刚度
D
Eh3
12(1
2
)
6、等效结点力
➢ 板单元受横向均布载荷p作用，则 等效结点力为
0
ai (3 2 2i 1)
3、单元应力
{ }31
[ D ]33{ }31
[D
]33
[
B]32
[
]e
121
[
S
]312
[
]e
121
4、内力矩
{M} [Df ][] [Df ][B' ]{}e [S' ]{}e
[S’]分块矩阵形式
[S '] [S1' S2' S3' S4' ]
[B]去掉 z 得 形变矩阵[B’]
w(x, y) a1 a2 x a3 y a4 x2 a5 xy a6 y 2 a7 x3 a8 x2 y a9 xy 2 a10 y3 a11x3 y a12 xy3
1-3项刚体位移 4-6项常应变
四次项的选取为了保证坐标的对称性，且曲率与扭率 同阶次。
利用12个结点位移条件，由广义坐标法可建立形函数， 显然十分麻烦。
N x1 i1 0
Nx1 1 Nx1 0
y b i2
b2
c2 d2 a2 e2
0
N x1
0
x i4,1
最后利用本点1，确定a2=b/8， 代回得
Nx1 b(1 )(1)(1-2 )/8
➢ 整理得位移函数
w
[N
]112 {
}e 121
式中形函数 [N ] [N1 N2 N3 N4 ] [N ]i [Ni N xi N yi ]
§6.2 矩形薄板单元
1、结点位移与结点力 ➢ 结点位移
F1
Mx1
1
4
{i }
wi
xi yi
wi
(
w y
)
i
(
w x
)i
My1
➢ 结点力 x
w3
x3
2
3
y
y3
z
{Fi
}
Fi M
xi
M
yi
➢ 正负号按如下规定：对于挠度w和与它对应的结
点力Fz以沿z轴的正向为正；对于转角θx,θy和
{Fd }e
[N ]T pdxdy 1 1 [N ]T pabdd 1 1
{Fd }e
pab 1
i
b
3
a 3
1
j
b
3
m
a 1 b
a
n
1 b
T
a
3 3 3 3 3
例6-1
受中心集中力的四边支承板的计算结果
(边长为1，厚度为0.01，弹模为1，波松比为0.3)
单元数 （1/4板）
2×2
四边固定
上的合力矩 ：
M
x
h
[M ] M y
M
xy
2 h
z{
}dz
2
弹性矩阵
h
2 h
2
z
2[D]{}dz
h3 12
[D]{}
[Df
][
]
➢ 薄板弯曲问题中的弹性矩阵 [Df]
[Df
]
h3 12
[D]
Eh3
12(1
2
)
1
0
1 0
0
1
0
2
➢内力矩表示薄板应力的公式
{
}
12z h3
{M
}
思考题：写出正交各向异性板的弹性矩阵
]i ]i
, ,
/ a2 / b2
(i
1,
2,
3,
4)
2[
N
]i,
xy
2[N ]i, / ab
[Bi ]33
z 4ab
3b a
i
(1
i
)
3a b
i
(1
i
)
ii (3 2 3 2 4)
0
ai (1 i )(1 3i) bi (3 2 2i 1)
bi (1 3i )(1 i)
a4
1 2
(
w,
Ljj
w,
Ljm
),
a5
1 2
( w, Lii
w, Lim
),
a6
1 2
(w,Lii w,Lij w,Lji w,Ljj
),
a7
wj
wm
1 2
(w,Ljj w,Ljm
)
a8
wi
wm
1 2
(
w,
Lii
w,
Lim
)
w,Lij 表示w对Li的 偏导数在j点的值。
a9
wi
wj
1 2
(w,Lii w,Lij w,Lji w,Ljj
利用所有点N1的导数为零条件，经推导,可得
NN11(1d (1)(1)(1)(2)(-2- 222)/28)
练习： 试凑形函数Nx1？
由形函数性质，对Nx1有:Nx1(i)=0，i=1,2,3,4 Nx1 对x，y（本点除外）的偏导数在各结点均为零。
Nx1 (1 )(1)(a2 b2 c2 d2 2 e2 2 )
与它们对应的结点力矩Mx,My则按右手定则标出 的矢量沿坐标轴正方向为正。
➢ 单元结点位移列阵及结点力列阵
{
}e 121
[1Ti
T
2
T 3
T 4
]T
{F
}e 121
[ F1T
F2T
F3T
F4T
]T
F1 1
2
Mx1
My1 w3
y
m
z
y3
4 x
x3
2、位移模式
矩形薄板单元有4个结点，12个结点位移分 量，1个挠度独立变量，根据选取位移函数的原 则，取：
y
2
2w 2 xy
➢ 形变分量：中面x和y方向的曲率与x，y方向的扭
率。
2w x 2
{}
2w y 2
2
2w
xy
{} z{}
chi
➢ 应力
x
{} y [D]{} z[D]{}
xy
[D]
E
1
1
0 0
1 2
0
0
1
2
板应力分布图
➢ 内力：板单位宽度上 弯矩Mx 、 My和 Mxy ， 为应力分量在板截面
Li Lj Lm及其一阶导数在三个结点为零， 对于确定待定参数 无用；考虑到用结点位移表示待定参数时计算方便，不考虑二
次和三次的前三项。因此，只能在剩下的6个三次项中选择三
个或利用某种线性组合。考虑对称性，假设位移模式为：
w a1Li a2Lj a3Lm a4LjLm a5LmLi a6LiLj a7 (LjL2m L2jLm )
3、单元应变
{
}
x y xy
u x v y u y
v x
z
2w
x2
2 w
y
2
2w 2
xy
{ }31
[
B]312{
}e 121
[ B1
B2
B3
B4 ]{ }e
[
N
]i,
xx
[Bi ]33 z [N ]i,yy
z
[ [