四川省乐山沫若中学2019-2020学年高一4月第一次月考数学试题 Word版含解析

若中学2020年下期高一数学第一次月考
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.AB MB BO BC OM →→→→
→
⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
化简后等于（ ） A. BC →
B. AB →
C. AC →
D. AM →
【答案】C 【解析】 【分析】
利用向量运算律运算，向量的加法即可.
【详解】AB MB BO BC OM AB BC BO OM MB →→→→→
→→→→→
⎛⎫⎛⎫++++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
AB BC BO OM MB →→→→→→
⎛⎫⎛⎫
=++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
AC 故选：C
【点睛】本题考查了向量的加法以及向量运算律，属于容易题. 2.已知集合{}
3A x N x =∈≤，{,1}B a =，若A B B =，则实数的值a 为（ ）
A. 0
B. 0，2
C. 0，2，3
D. 1，2，3
【答案】C 【解析】 【分析】
计算得到{}
{}30,1,2,3A x N x =∈≤=，根据题意得到B A ⊆，得到答案. 【详解】{}
{}30,1,2,3A x N x =∈≤=，A B B =，即B A ⊆，故0,2a a ==或3a =.
故选：C .
【点睛】本题考查了根据集合的交集结果求参数，意在考查学生的计算能力.
3.已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点
3)P ，则sin α的值是（ ）
A.
12
333【答案】D 【解析】 【分析】
直接利用三角函数定义得到答案. 【详解】3)P ，则233
sin 2412
α==+. 故选：D .
【点睛】本题考查了三角函数值的定义，属于简单题. 4.函数()21x f x =- ） A. {|0}x x ≥
B. {|0}x x ≤
C. {|0}x x >
D.
{|0}x x <
【答案】A 【解析】 【分析】
要使函数有意义，需被开方数大于等于零，再根据指数函数的性质解不等式即可. 【详解】解：因为()21x f x =-所以210x -≥
21x ∴≥
解得0x ≥即{|0}x x ≥ 故选：A
【点睛】本题考查函数的定义域的计算，指数函数的性质，属于基础题.
5.设点(1,2),(2,3),(3,1)A B C --，且23AD AB BC =-，则点D 的坐标为（ ） A. （2，16） B. (2,16)--
C. （4，16）
D. （2，0）
【答案】A 【解析】
【分析】
设(),D x y ，利用坐标表示出,,AD AB BC ，根据坐标运算可建立方程组，解方程组求得结果. 【详解】设(),D x y ，则：(1,2)AD x y =+-，(3,1)AB =，(1,4)BC =-
232(3,1)3(1,4)(3,14)AB BC ∴-=--=，
13214x y +=⎧∴⎨-=⎩，解得：216
x y =⎧⎨=⎩，即()2,16D 本题正确选项：A
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题.
6.已知函数1
(1)()3(1)
x x f x x x +<⎧=⎨
-+≥⎩，则[(0)]f f =（ ） A. 1 B. 2
C. 3
D. 6
【答案】B 【解析】 【分析】
利用分段函数解析式，由内到外依次计算可得. 【详解】解：因为1
(1)()3(1)x x f x x x +<⎧=⎨
-+≥⎩
()0011f ∴=+=
()[(0)]1132f f f ∴==-+=
故选：B
【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.
7.已知0.20.3
2log 0.2,2,0.2a b c ===，则
A. a b c <<
B. a c b <<
C. c a b <<
D.
b c a <<
【答案】B 【解析】 【分析】
运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【
详
解
】
22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,
<<=则
01,c a c b <<<<．故选B ．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
8.已知向量BA ＝(4，－3)，向量BC ＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( ) A. 等腰非直角三角形 B. 等边三角形 C. 直角非等腰三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C 【解析】 【分析】
由向量BA 得出向量AB 的坐标，然后利用平面向量的数量积运算法则求出AC •BC ，得出值为0，可得两向量互相垂直，最后分别求出三向量的模，发现互不相等，进而得出三角形
ABC 为直角非等腰三角形．
【详解】∵BA ＝(4，－3)，BC ＝(2，－4)， ∴AC ＝BC －BA ＝(－2，－1)， ∴CA ·CB ＝(2,1)·(－2,4)＝0，
∴∠C ＝90°，且|CA |＝5|CB |＝5|CA |≠|CB |. ∴△ABC 是直角非等腰三角形． 故选C.
【点睛】此题考查了三角形的形状判断，CA ·CB ＝0是解本题的关键. 9.将函数()sin 26f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象向右平移6π
个单位，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A. ()g x 为奇函数 B. 直线2
x π=
是()g x 的图象的一条对
称轴
C. ()g x 的最小正周期为2π
D. 132g π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用函数的平移变换求出函数的关系式，进一步利用三角函数的性质求出结果． 【详解】解：将函数()sin 26f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象向右平移6π
个单位，得到函数()g x 的图象，
则6co 2()sin 2sin 26s 2g x x x x πππ⎛⎫
⎛⎫=-
-⎛
⎫=- ⎪⎝⎭-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
根据余弦函数的奇偶性可知()cos 2g x x =-为偶函数，且最小正周期为22
T π
π==， 令2x k =π，()k Z ∈，解得2k x =π，()k Z ∈，故函数的
对称轴为2
k x =π
，()k Z ∈，当1k =时，2
x π=
，
21cos 332g ππ⎛⎫
∴=-= ⎪⎝⎭
，综上可得，正确的为B
故选：B
【点睛】本题考查三角函数的平移变换，余弦函数的性质，属于基础题.
10.2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专
项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下： 级数
一级
二级
三级
每月应纳税所得额x 元（含税） 3000x ≤ 300012000x <≤ 1200025000x <≤ 税率 3
10
20
现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项
附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（ ） A. 1800 B. 1000
C. 790
D. 560
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意分段计算李某的个人所得税额；
【详解】解：李某月应纳税所得额（含税）为：1800050001000200010000---=元， 不超过3000的部分税额为30003%90⨯=元，
超过3000元至12000元的部分税额为()10000300010%700010%700-⨯=⨯=元， 所以李某月应缴纳的个税金额为90700790+=元． 故选：C ．
【点睛】本题考查了分段函数的应用与函数值计算，属于基础题．
11.已知函数()f x 是R 上的偶函数.若对于0x ≥都有()()11f x f x -=+，且当[0,2)x ∈时，
2()log (1)=+f x x ，则(2019)(2020)f f -+的值为（ ）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】
代换得到函数周期为2，故()()(2019)(2020)10f f f f -+=+，计算得到答案. 【详解】当0x ≥时，()()11f x f x -=+即()()()2f x f x f x -=+=，函数周期为2.
()()(2019)(2020)(2019)(2020)101f f f f f f -+=+=+=.
故选：C .
【点睛】本题考查了求函数值，意在考查学生对于函数周期的灵活运用.
12.已知O 为ABC ∆所在平面内一点，且满足2
2
2
2
2
2
OA BC OB CA OC AB +=+=+，则O 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由已知可得
，即 ，则有
，又因为
，OB CB OC -=，所以有
，即
，同理可证得
，又垂心的性质可知O 点的轨迹一定通过ABC ∆的垂心．故本题正确选项为D.
考点：向量的运算，三角形的垂心.
【思路点睛】本题主要考察向量的运算以及三角形的四心的概念，首先要对已知条件
进行化简，在花间的过程中要正确运用向量的加减法，能够得出
，说明
，即点O 三角形
边的高上，三个连等式可列三个等式，
只要证明O 两条边的高上即可.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.计算11
2
012(2019)ln 43e -⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________.
【答案】2 【解析】 【分析】
根据分数指数幂的性质及对数的性质计算可得.
【详解】解：1
1
2
01213(2019)ln 1124322e -⎛⎫⎛⎫-++=-++= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
故答案为：2
【点睛】本题考查对数的性质以及分数指数幂的性质，属于基础题. 14.若幂函数()a g x x =的图象经过点(4,2)P ，则(2)g 的值为________.
2【解析】 【分析】
代入点计算幂函数为()1
2g x x
=，再代入数据计算得到答案.
【详解】幂函数()a
g x x =的图象经过点(4,2)P ，即42a =，故1
2
a =
，()12g x x =. 12
(2)22g ==2.
【点睛】本题考查了求幂函数的值，意在考查学生的计算能力. 15.函数()2
sin 1
x
f x x x =++的最大值与最小值之和等于______． 【答案】0 【解析】 【分析】
先判断函数()f x 为奇函数，则最大值与最小值互为相反数． 【详解】解：根据题意，设函数()f x 的最大值为M ，最小值为N ， 又由()()()2
2sin sin 11x x f x x x f x x x -⎛⎫
-=
+-=-+=- ⎪++⎝⎭
，则函数()f x 为奇函数， 则有M N =-，则有0M N +=； 故答案为0
【点睛】本题考查函数的奇偶性，利用奇函数的性质求解是解题关键． 16.已知下列命题
①若//a b ，//b c ，则//a c ；
②向量a 与b 不共线，则a 与b 都非零向量；
③已知A ，B ，C 是平面内任意三点，则0AB BC CA →→→
++=；
④若O 为ABC 所在平面内任一点，且满足20OB OC OB OC OA →→→→→
⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则ABC 为等腰三角形；
⑤若向量a 与b 同向，且a b >，则a >b ． 则其中正确命题．．．．的序号为__________． 【答案】②③④ 【解析】
【分析】
根据向量的概念以及向量的运算，进行对命题的真假判断即可.
【详解】①当0b =时，若//a b ，//b c ，此时a 与c 不一定平行，因此不正确； ②零向量与任何向量平行，向量a 与b 不共线，所以a 与b 都是非零向量，故正确； ③根据向量加法的三角形法则，可判断0AB BC CA →→→
++=是正确的；
④2OB OC OB OC OA CB AB AC →→
→→→
→→→
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
22
0AB AC AB AC AB AC →→→→→→
⎛⎫⎛⎫
=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, AB AC ∴=即ABC 为等腰三角形，所以④是正确的；
⑤向量的模有大小，但向量本身是没有大小的，即向量不能比较大小，所以不正确； 故答案为：②③④
【点睛】本题考查了向量的概念，向量的加法法则及向量的运算律，属于较易题. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17.设全集U =R ，集合{}
14A x x =≤<，{}
23B x a x a =≤<-． （1）若2a =-，求B A ⋂，U B C A ⋂； （2）若A
B A =，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）[)1,4B A =，{|41U B A x x ⋂
=-≤<或}45x ≤<；
（2）1
2
a ≥ 【解析】 【分析】
(1)由集合A 求出其补集，直接利用集合的运算即可； (2)由A
B A =即B A ⊆，分两种情况讨论求参数的取值范围.
【详解】（1）集合{}
14A x x =≤<，或}4x ≥，2a =-时，{}45B x =-≤<， 所以[)1,4B
A =，
或}45x ≤<
（2）若A B A =则B A ⊆，分以下两种情形：
①B φ=时，则有23a a ≥-，∴1a ≥
②B φ≠时，则有12134
a a a <⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩
，解得1
12a ≤<
综上所述，所求a 的取值范围为12
a ≥
． 【点睛】本题考查了集合交、补集的运算以及集合的关系，属于较易题. 18.已知40,sin 2
5
π
αα<<
=
． (1)求tan α 的值； (2)求cos 2sin 2παα⎛⎫
++
⎪⎝
⎭
的值． 【答案】（1）4
3；（2）825
【解析】 【分析】
（1）根据同角三角函数的基本关系即可求解. （2）由二倍角公式，诱导公式求值即可.
【详解】（1）
4
0,sin 2
5
π
αα<<
=
， 23
cos 1sin 5
αα∴=-=，
sin 4
tan cos 3
ααα∴==
（2） 22
cos 2sin cos sin cos 2πααααα⎛⎫
++
=-+ ⎪⎝
⎭
， 且4sin 5
α
，3cos 5α=，
∴原式91638
2525525
=-+=
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、诱导公式，需熟记公式，属于基础题.
19.如图，平行四边形ABCD 中，AB a →
=，AD b →
=，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，F 为BC 上一点，且1
3
BF BC =
．
（1）以a ，b 为基底表示向量AM →与HF →
；
（2）若3a =，4b =，a 与b 的夹角为120︒，求AM HF →→
．
【答案】（1）12AM b a →
=+，16HF a b →=-；（2）11
3
-
【解析】 【分析】
(1)由题可得：1
3
BF BC =，利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到；
(2)先求出34cos1206a b =⨯⨯︒=-，再由(1)得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积.
【详解】（1）∵平行四边形ABCD 中，AB a →
=，AD b →
=，H ，M 是AD ，DC 的中点，
1
3
BF BC =，
∴111
222
AM AD DM AD DC AD AB b a →
→
→
→
→→→=+=+=+=+，
11112326
HF AF AH AB BF AD a b b a b →→→→→→=-=+-=+-=-
（2）∵3a =，4b =，a 与b 夹角为120︒，∴34cos1206a b ⋅=⨯⨯︒=-，
∴22111111262612
AM HF b a a b a b a b →
→
⎛
⎫⎛⎫⋅=+
⋅-=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111111
916626123
=⨯-⨯+⨯-=-． 【点睛】本题考查了向量的加法，减法法则，考查了向量数量积的运算，属于较易题.
20.设函数()()2sin cos2cos sin 2sin 0f x x x πϕϕϕϕ=+-<<在6
x π
=时取得最大值．
（1）求函数()f x 的解析式及最小正周期；
（2）若函数()g x 的图象与函数()f x 的图象关于直线x =对称，求函数()12
π
g x =的单调递增区间．
【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝
=⎪⎭，其最小正周期为π；
（2）,2k k πππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ 【解析】 【分析】
(1)由二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简，再由在6
x π
=
时取得最大值，结合
0ϕπ<<求出ϕ的值，则函数解析式即可求出；
(2)设出函数()g x 的图象上的点的坐标，由对称性求得函数()g x 的解析式，再由复合函数的单调性求得()g x 的的单调递增区间.
【详解】（1）()2
2sin cos cos sin 2sin f x x x ϕϕϕ=+-
()sin 1cos2cos sin 2sin x x ϕϕϕ=-+- ()sin 2cos cos2sin sin 2x x x ϕϕϕ=+=+
∵6
x π
=
时()f x 求得最大值，∴226
2
k π
π
ϕπ⨯
+=+
，即26
k π
ϕπ=+
．
又因0ϕπ<<，所以6
π=．于是函数()f x 的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫
+
⎝
=⎪⎭
，其最小正周期为π；
（2）设(),x y 是函数()g x 图象上任一点，则其关于直线12x π
=的对称点为,6πx y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，该点在函数()f x 的图象上， ∴sin 2sin 2cos 26
62πππy x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=-+=-=
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，于是()cos2g x x =．
由222k x k πππ-≤≤，解得2
k x k π
ππ-
≤≤，k Z ∈．
∴函数()g x 的单调递增区间为,2k k π
ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦
()k Z ∈． 【点睛】本题考查了利用二倍角和两角和的公式进行化简，三角函数的最值求解析式，三角函数的性质，考查了学生的计算能力，属于一般题. 21.已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．
（1）当[]02x ∈，
时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]
1
2，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）3
(0,1)(1,)2
； （2）不存在. 【解析】 【分析】
（1）结合题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案；
（2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数a 的值，得到答案．
【详解】（1）由题意，函数()()log 3 (0a f x ax a =->且1)a ≠，设()3g x ax =-， 因为当[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，即30ax ->对任意[]
0,2x ∈时恒成立， 又由0a >，可得函数()3g x ax =-在[]0,2上为单调递减函数， 则满足()2320g a =->，解得32
a <， 所以实数a 的取值范围是3(0,1)(1,)2
． （2）不存在，理由如下：
假设存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]
1
2，上为减函数，并且最大值为1， 可得()11f =，即log (3)1a a -=，即3a a -=，解得3
2
a =，即()323log (3) 2f x x =-，
又由当2x =时，33
332022
x -
=-⨯=，此时函数()f x 为意义， 所以这样实数a 不存在．
【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应
用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题．
22.已知向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，且a ，b 满足关系3ka b a kb +=-，其中0k >．
（1）求a 与b 的数量积用k 表示的解析式()f k ；
（2）a 能否和b 垂直？a 能否和b 平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k 值； （3）求a 与b 夹角的最大值．
【答案】（1）()()21,04k f k k k
+=>；
（2）a 和b 不可能垂直，a 和b 平行时，23k =（3）
3
π 【解析】 【分析】
(1)由向量1a =，1b =且3ka b a kb +=-，两边平方化简可得241ka b k =+，即可求出；
(2)若a b ⊥可得21
04k k
+=是否有解来判断a 能否和b 垂直；若//a b 可得2114k k +=是否有解来判断a 能否和b 平行；
(3)设a 与b 夹角为θ，根据向量的夹角公式可得2111
cos 4442a b
k k k k a b
θ+=
==+≥⋅，从而可求得a 与b 夹角的最大值.
详解】（1）∵3ka b a kb +=-，两边平方，得2
2
3ka b a kb +=-， ∴(
)2
2
2
2
2
2
232k a ka b b a ka b k b
+⋅+=-⋅+，
∵()cos ,cos a αα=，()cos ,sin b ββ=， ∴2
1a =，2
1b =，代入得：
()
22221312363k ka b ka b k ka b k ++=-+=-+，
化简得241ka b k =+，
即21
4k a b k
+=
∴()()21
,04k f k k k
+=>．
（2）若a b ⊥，则
21
cos 04a b
k k a b
θ+===⋅，
方程无解，故a 与b 不垂直；
若//a b ，因为21
cos 4a b
k k a b
θ+==⋅，则
21
14k k
+=，解得23k =± 即当23k =//a b （3）设a 与b 夹角为θ，则
2111
cos 4442a b
k k k k a b
θ+===+≥⋅，0k >，
即1cos 2
θ≥
， ∴a 与b 夹角的最大值为
3
π． 【点睛】本题考查了向量模长和向量的数量积的计算，向量夹角公式的应用，考查了学生的计算能力，属于一般题.。