分布函数

第一章分布函数
在研究气象学中的问题时，人们对于动力气象学中的一套思想方法是较为熟悉的。

现在我们仍然研究气象学中的种种实际问题，但是思考这些问题的着眼点变了。

这种新的思考方法会涉及到一些新的物理概念。

我们希望它能引导我们，发现新的气象规律。

这一章我们要对后边反覆用到的“分布函数”概念作一个统一的说明。

分布函数的概念是很容易理解又十分有用的。

抓住这个概念可以方便地引出很多气象上的新问题，它也是在新框架中作进一步讨论的思维工具。

这一章先从易于理解的实例引出这个概念，进而对它作数学分析，指出它与概率密度分布函数的关系。

此后将问题引到气象学中，起到在新思路下提出问题的目的。

§1 实例
1.1 人口中的年龄构成
人口的年龄构成对于社会学家来说，是一个十分重要的问题。

一个国家如果儿童、少年过多，那么教育、就业等一系列环节都会遇到难题。

反之，一个国家老年人过多又会遇到另一些难题。

所以，一个国家的不同年龄的人各占多少，即人口在年龄上的分配(分布)是了解一个国家状况的重要数据。

描述一个国家(或地区)人口年龄构成的简明方法是给出一张人口数与年龄数的直方柱图。

图
1．1就是给出的一个例子[1] 。

它是经过人口普查，分档统计出处于不同年龄组 (例如以十岁为一个年龄组)各有多少人，进而绘出的一张人口的年龄构成直方图。

年龄 图1．1 人口数量在年龄上的分布 (日本，1975年10月1日，年龄低于90岁部分)
人口在年龄上的这种分布关系，我们称为分布函数。

1.2 颗粒度
为了取暖，很多人家要买煤。

煤里有多少大块，有多少煤沫是个重要问题。

这可以说成是个颗粒度问题。

煤是用某种手段先从煤矿中把它破碎后才取人
口
数（
百万
）
出来的，大块的，中等的，小的都有。

所谓颗粒度也就是不同大小的个体(煤块)在总体中(1吨或100公斤等等)各占了多少。

它也是一个分布函数。

表1．1给出了颗粒度分布的一个实例，它分析的不是煤块大小的分布，而是大气中的尘埃的大小的分布[2]。

表1.1 飞尘微粒直径与其相应的个数
直
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 径
3 11 20 22 29 41 2
4 2
5 13 9 5
6 3 个
数
显然颗粒度问题涉及众多自然科学领域中的问题。

各星系中有众多的恒星，它们有大有小。

银河系(或其他)中大小不同的恒星各占多少，这是颗粒度问题。

下了一阵冰雹，大小不同的雹粒各占多少，这在气象上称为冰雹谱，而类似的还有雨滴谱、云滴谱，这些也是颗粒度问题。

河床中的沙砾、卵石，果园中苹果的大小，甚至一个地域的人体的身高……它们都有一个个体的线径(有时是直径)大小与其在总体中占有个数的多少的关系问题。

这两个变量的对应关系就是我们称的分布函数。

1.3 分子速率分布
气体分子一直处于不断的运动状态中。

但每个分子的运动速率(速度的绝对值)不仅变化极快，而且各个分子并不相同。

人们会问，在一个确定的宏观条件下(如一瓶温度为T的单一成分的气体)不同的时刻具有不同运动速率的分子个数是否保持固定的比例关系?如果是，这个比例关系是什么?
麦克斯韦(J ．C ．Maxwell 对此作出了肯定的回答，他给出的定量关系是
v v e kT
m N N kT mv ∆=∆-2223..)2(42
ππ (1．1) 这里m 、k 、T 分别为分子的质量、玻耳兹曼常数和绝对温度，N ，v 是体系中分子的总个数和分子运动速率 ΔN 是运动速率介于v 到v +Δv 范围内的分子个数。

图1.2 麦克斯韦分子运动速率分布
图1．2就是(1.1)式对应的函数图形。

图中横坐标为速度v ，纵坐标则是分子的相对数量ΔN /N 。

两条线分别对应100°K 和200°K 。

麦克斯韦把宏观条件下确定的由众多分子组成的集合作为研究对象，得出了分子速率分布律。

因此，我们可以把整个地球(或半球、或一区域)大
气总体看成由众多空气微团组成的集合，来研究大气体系的风速分布律。

这种问题完全是仿照麦克斯韦的思路，面对大气而提出来的。

在后边我们将对它作进一步的讨论。

1.4 黑体辐射
黑色的物体不仅吸收各种波长的光，而且也放射各种波长的光。

在确定的温度下，黑体通过不同波长的光所辐射出去的能量并不相同。

这就构成了一个能量(实为能量密度)在各个波长上的分布问题。

这又是一个重要的分布函数。

普朗克(M ．P1anck)借助于光量子的概念从统计物理中导出了黑体辐射能在波长上的分布律，他得出 1
18)(/5-⋅=kt hc e hc u λλπλ (1．2) 这里h ，c 分别为普朗克常数、光速。

u 是单位面积单位时间从波长为λ±0.5这个波段中发射出来的能量，我们也可以把它说成与黑体发射出来的波长介于λ±0.5区间的光子个数相对应的一个量。

对于确定的温度，u 就仅是λ的函数。

普朗克定律[4]给出的关系我们在图1．3中绘出。

普朗克定律给出了不同波长的光的光子个数与波长的关系。

可是不同波长的每个光子具有的能量并不相同。

所以(1．2)式也可以变换成不同能量(波长，或者更准确些说成频率)的光子个数的分布律。

换言之，我们可以把黑体的光谱曲线看成一种
能量谱分布。

图1．3 普朗克黑体辐射
如果我们回到大气科学中，那么从对比中我们也可以提出一个类似问题，即大气体系中是否也有能量谱分布问题。

如果以单位质量的大气具有的能量为横坐标，而以该能量占有的大气数量(质量)为纵坐标，我们能量
密度
（
1014erg/cm 3s ） 频率（1014/s ）
可以效仿普朗克找出大气的能量谱分布，在后边将会看到我们得到的结果。

以上的几个例子都是我们讲的分布函数的具体实例。

从中看到分布函数也像其他函数那样可以用图形，列表或者数学解析式来表示。

而它们所以被称为分布函数关键在于这类函数有特定的物理含义。

其共同特点是它们都面对一个确定的物理系统(体系、集合)，给出了某些物理量在系统内的分布比例。

下一节我们对此作深一步的综合分析。

§2 分布函数
有了上一节的具体事例这里再来归纳分布函数的共同特征就容易理解多了。

而理解了分布函数就会使我们对不少经常打交道的研究对象产生新的理解思路。

前面几个实例中我们都首先明确了研究分析的系统是什么。

我们把研究对象的总体称为系统，或者称为体系，有时则用目前数学常用的概念——集合称呼它。

一个国家的全体人口、一个河床中的全部卵石、一场阵雨中全部落下来的冰雹、一瓶气体中的全部分子……都是我们面对的系统(体系、集合)。

一般地说，每个系统中含有的物质数量N是可以知道的。

或者说这个集合中有多少个元素是可以知道的。

例如一个国家的总人口数，一瓶气体中有多少分子(这常达1023这么大)等等都是已知的。

有时总体过大，则仅分析一个采来的样本群体——如1000个冰雹等。

集合(体系、系统)中含有N个可区分开的小单
元(元素，个体、粒子，在气象上常称大气微团)，而每个单元对于某物理量x(可能是矢量)都具有一个确定的值——如x1，x2，……x i，这样我们总是可以得到(这个调查可能极困难)一个对应表，其一般形式(一维时)如下：
表1．2 物理量x在集合中的分布
物理量的值x1x2…x i…x i→x i+Δx 对应的物质数量n1n2…n i…Δn
如果物理量x仅能离散的取值，那么表中x1,x2...代表x的一切可能取的离散值，如x为连续变量，应当用表中最后一项的表示方法。

即当x i从变到x i→x i+Δx时，物质的数量变化了Δn。

表1．2中统计出在N个单元组成的总体内物理量x为不同的值的单元各有多少个。

它实际上表示了各x值占有了多少物质。

或说x在N中的分布。

表l.2还使我们看到每个x值都有一个确定的n值与之对应。

从数学上讲这就表明n是x的函数。

所以可以把表1．2表示为一个函数关系
n=g(x) (1．3a)
g(x)就是我们说的分布函数。

以上是计对x仅能取某些离散值的场合归结出来的分布函数。

当x是连续变量时从表1．2的最后一项不难想到“每有单位增量的物质数量的增量应当与x值的大小有关。

即应有x为任一值时都有唯一的(dn/dx)值与它对应。

这种一一对应关系自然也对应一个系数，它就是x为连续变量时的分布函数g(x)。

在今后的研究中我们处理的多属这种
类型的分布函数。

如果x为一个矢量，我们也不难仿照上述思路定义相应的分布函数。

对此的处理将在讨论了概率(下一节)以后再讨论。

设想在某区域布满了充分多的雨量筒，而一场阵雨恰好下在此区域内。

我们如仅把测到有降水的N个雨量筒作为一个集合(它把阵雨形成的降水分布都包括了进来)，那么每个雨量筒的雨量就可以看成是表1．2中的x 。

而各x值占有的雨量筒个数n就构成了表1.2，它也就给出了这场阵雨对应的雨量分布函数。

表1.3给出了§1中的4例和本例中x和n的代表意义。

从中不难看出它们都是表1.2的特例。

表1.3 5个例子中的x和n的代表意义
例l 例2 例3 例4 例5
x含义人的年
龄飞尘直
径
分子运
动速率
光子能
量
降水量
n含义人数个数分子个
数光子个
数
雨量筒
个数1
根据以上分析，系统(集合)内的物质数量n仅可能大于等于零。

故应有
g(x)≥0 (1．4)
显然，如果x是离散地取值，那么所有的x可雨量筒个数能值所对应的g(x)值的和应恰好集合(体系)内含有的元素(单元)总数N相等。

即
1这里的雨量筒个数相当于对应的降水面积（因为雨量筒遍布地面）
∑=
i
i x g
N)
((1.5a)
而当x为连续变量时，上述求和应为积分代替⎰=dx
x
g
N)
((1.5b)
为了便于统一分析和理论上的需要，我们进而定义一个相对分布函数f(x)。

它就是把分布函数g(x)以元素总个数N去除而得到的，即
N
x
g
x
f/)
(
)
(=(1.6)
由于有(1.5a)和(1.5b)显然有
∑
=)
(
1x
f离散时(1.7a)
⎰=dx
x
f)
(
1连续时(1.7b)
这表明f(x)有数学上讲的归一性。

§3 分布函数与概率分布等价
分布函数是统计物理学中广为应用的概念。

在我们没有具体把它用于讨论气象学问题之前，先分析一下它与概率论中的概率分布的关系。

前面讨论的所有分布函数都是从一个确定性系统中抽象出来的。

应当说，这样做的时候我们可以不涉及任何不确定性或随机性的问题。

这一节则指出确定性系统中存在的上述分布函数恰好与在理想实验中得到的表征随机性的函数——概率分布(有时为概率密度分布函数)相当。

理想实验是现代科学工作中的一种强有力的
思想实验。

它时常帮助人们辨明事理。

爱因斯坦给出的质量与能量的关系式(E=m2)，其实也可以从一个巧妙的理想实验中得出。

在这里我们要用一个理想实验把确定性的分布函数与随机事件中的概率分布联系起来。

表1．4 在由6×10个小面积组成的一个集合中给出了每个小面积单元(元素)上的x值。

这可以理解为某次气象卫星观测得到的某一有限区内各个象素上的灰度值，也可以认为它是某区域内降水量的分布。

从这个确定的分布中(表1，4) 可以依表1.2的要求统计出x为各种值出现的次数。

这列于表1.5中。

它实际上已给出了分布函数。

现在做的理想实验是这样的：把表1.4中的各个小面积全部剪开。

把这60个小纸片(每个代表一个小面积)充分混合，然后从中任抽一张小纸片，读取纸片上的x值。

如上过程可以在理论上重复充分多次(例如105)，我们仅分析一下实验中每次抽出的纸片上x值为各具体值(1，2，…，9)的概率是多少，那么结论也就引出来了。

表1．5 由表1．?统计出的x的分布
x值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 该值的个数 4 10 11 11 8 4 6 3 3
被抽中概率.06 .16 .18 .18 .13 .06 .10 .05 .05 从概率论角度看，在随机抽样中，每次抽得的
变量值x不一样，那么x就是个随机变量。

随机变量的值x不同，被抽中的概率也不同，这就构成了一个概率分布。

根据古典概率定义，在N个事件中如有M个有利于事件A，那么事件A的概率P（A）为
)
( (1．8)
P/
A
N
M
针对表1.4，x为各种值在理想实验中被抽中的概率，就是表1．5中第二行给出的个数分别用总个数(60)去除而得到的结果。

表1.5中的第三行给出的就是x在随机实验中出现的概率分布。

由于上节最后定义了相对分布函数f(x)就是分布函数g(x)被总个数N去除，因而我们自然得到“相对分布函数与理想实验中得出的概率分布是同一个函数”。

如x为连续变量，不难类似地得出其相对分布函数与对应的理想实验得出的概率密度分布函数是同一个函数。

概率分布有归一性，上一节我们得出相对分布函数也有归一性[见(1.7)式]。

这从另一侧面反映出它们是同一个函数。

我们分析的分布函数都是在一定的物质系统中，就某物理量在其中的占有情况而抽象出来的。

物质系统内某物理量一经确定，这个分布函数也就确定了。

这个函数与物质系统的状态的客观存在是相呼应的。

至于理想实验，实际上可以不进行，有些也根本不可能进行。

它仅是帮助我们思考问题的思维工具。

借助于它，我们看到分布函数与从随机事件中抽象出来的概率分布相等价，这就为借用概率论和信息论的成果架起了思想和方法上的桥梁。

例如已经知道相对分布函数为g(x)，依概率论，可以轻易的求出变量x在物质系统(集合)中的平均值为
⎰=dx
x)
((1.9)
xf
x
这已经显示了相对分布函数的一个用途。

分布函数的一个重要特征是在自变量中可以不包含几何坐标的变量。

这个特征就使它有效地(也是巧妙地)回避了由于含有几何坐标而带来的许多难题，从而既研究了气象问题又克服了地理分布带来的复杂性。

这是分布函数的重要优点。

这也就提醒我们不要仅仅依靠它来预知各个地理位置上的要素值。

由于分布函数与相对分布函数的比值是N，而N对于确定的系统是个常数，所以今后在一般叙述中并不严格区分这两个名词。

某些气象文献中直接把概率分布称为分布函数。

我们希望读者注意到本书介绍的分布函数的概念远远超出了过去在气象统计中讲的概率分布的概念。

认为这里讲的就是早已讨论过的气象要素概
率分布问题，就堵塞了进一步阅读本书的思路。

希望不要造成误解。

分布函数与熵的关系将在第三章介绍。

有关分布函数与概率分布的关系的讨论可参考文献[5]。

参考文献
[1] 沈益民，近三十年世界人口普查和人口概况，群众出版社，114，(1987)。

[2] 方开泰等，统计分布，科学出版社，235，(1987) 。

[3] 阿瑟·贝塞，现代物理概念，何瑁等译，上海科学技术出版社,266，(1984)。

[4] 龚昌德，热力学与统计物理学，高等教育出版社，238，(1982)。

’
[5] 张学文，相对分布函数和气象熵，气象学报，(44)，214--219，(1986)。

（说明：每章的开始页码与原书相同，本章结尾时
比原书上的页码多1页）。