陕西省西工大附中2016届高三第六次适应性训练数学(理)试卷(含答案)

2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第六次适应性训练
数学（理）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设复数z 满足11z
i z
+=-，则z =（ ）
A ．1
B
C
D ．2
2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石 3．设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4. 已知圆C ：22230x y x ++-=，直线l ：20()x ay a a R ++-=∈，则（ ） A ．l 与C 相离 B ．l 与C 相切
C ．l 与C 相交
D ．以上三个选项均有可能 5．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如
右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A ．81 B.71 C.61 D.5
1
6．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此三棱锥的体积为（ ）
A ．
6 B ． C ． 3 D ． 2
7．ABC ∆的三内角,,A B C 所对边长分别是c b a ,,，若s i n s i n s i n B A c
C a b
-+=+，则角B 的大
小为（ ）
A ．6π
B ．65π
C ．3π
D ．3
2π
8．某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A ．12
9．设命题P ：,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤，则p ⌝是（ ）
A. ,()n N f n N ∀∉∈且()f n n ≤
B. ,()n N f n N ∀∈∉或()f n n >
C. 00,()n N f n N ∃∈∉且00()f n n >
D. 00,()n N f n N ∃∈∉或00()f n n >
10．在一块并排10垄的田地中，选择3垄分别种植A,B,C 三种作物，每种作物种植一垄。

为有利于作物生长，要求任意两种作物的间隔不小于2垄，则不同的种植方法共有（ ）
A ．180种
B ．120种
C ．108种
D ．90种
11．已知 A B 、
为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅
,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是 A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 12．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）
A ．(,1)(0,1)-∞-
B ．(1,0)(1,)-+∞
C ．(,1)(1,0)-∞--
D ．(0,1)(1,)+∞
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题
共4小题，每小题5分，共20分）
13．执行右图所示的程序框图，输出结果y 的值是 ．
14.25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为 .
15．如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数
()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴
影部分
的概率等于 .
16．在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A （0a >）,P 是函数
x
y 1
=(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则
满足条件的正实数a 的值为 .
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）． 17．(本小题满分12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束。

（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3
件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和数学期望.
18．(本小题满分12分)已知数列{}n a 各项均为正数，且11a =，22
11n n n n a a a a ++-=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设21
n n
b a =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求
证:2n T <. 19．（本小题满分12分）如图，已知四棱台1111ABCD A BC D -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16A A =，且1A A ⊥底面ABCD ，点,P Q 分别在棱
1,D D B C 上。

（1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；
（2）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为3
7
，求四面体ADPQ 的体积．
20．（本小题共12分）已知抛物线：2
2(0)y px p =>的焦点F 在双曲线：22
136
x y -
=的右准线上，抛物线与直线:(2)(0)l y k x k =->交于,A B 两点，,AF BF 的延长线与抛物线交于,C D 两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若AFB ∆的面积等于3，求k 的值；
（3）记直线CD 的斜率为CD k ，证明：CD k
k
为定值，并求出该定值．
21．(本小题满分12分)已知函数()ln x
f x x k
=-（0k >）
（1）求()f x 的最小值；
（2）若2k =，判断方程()10f x -=在区间()0,1内实数解的个数；
（3）证明：对任意给定的0M >，总存在正数0x ，使得当0x x >时，恒有ln 2
x
x M ->．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与ΔABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。

（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O
的半径，且AE MN
==
EBCF的面积.
23．（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1：
cos
sin
x t
y t
α
α
=
⎧
⎨
=
⎩
（t为参数，t≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O
为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin
ρθ
=，C3
：ρθ
=．
（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求||
AB的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4 - 5：不等式选讲
设a，b，c，d均为正数，且a + b = c + d，证明：
（1）若ab cd
>
（2
||||
a b c d
-<-．
2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第六次适应性训练
数学（理）参考答案
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.
1. A 2．B 3．A 4．C 5. D 6. A
7．B 8．D9．D10．B11. C 12. A
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二．填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．1 14. 30 15．
5
12
16．10
G
A
E F
O
N
D
B C
M
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）．
17. 解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，
11
23253
()10
A A P A A ==……………4分
（2）X 的可能取值为200,300,400
2
2251
(200)10A P X A ===
311232323
53
(300)10
A C C A P X A +=== 3
(400)1(200)(300)5
P X P X P X ==-=-==
故X 的分布列为
20030040035010105
EX =⨯+⨯+⨯=……………12分
18．解：（1）由已知得：11()(1)0n n n n a a a a +++--=
∵{}n a 各项均为正数，∴11n n a a +-=
∴数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列, ∴n a n =. ……………6分
(2)由（1）知 2
1n b n = 当2n ≥时 21111
(1)1n n n n n <
=--- 222111
123n T n ∴=++++
111111
1(1)()()222231n n n
≤+-+-++-=-<- ……………12分
19．由题设知，1,,AA AB AD 两两垂直，
以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，
z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为
11(0,0,0),(3,0,6),(0,6,0),(0,3,6),(6,,0)A B D D Q m ，
其中,06m BQ m =≤≤ ……………2分
（1）若P 是1DD 的中点，则99
(0,,3),(6,,3)22
P PQ m =-- ，
又1(3,0,6)AB =
，
于是118180AB PQ =-= ，
所以1AB PQ ⊥
，即1AB PQ ⊥……………6分
（2）由题设知，1(6,6,0),(0,3,6)DQ m DD =-=-
是平面
PQD 内的两个不共线向量。

设1(,,)n x y z =
是平面PQD 的一个法向量，
则1110,0,n DQ n DD ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即6(6)0,360.
x m y y z +-=⎧⎨-+=⎩ 取1(6,6,3)n m =- 。

又平面AQD 的一个法向量是2(0,0,1)n =
，所以
121212cos ,||||n n n n n n <>==
37
= 解得4m =，或8m =（舍去），此时(6,4,0)Q
设1(01)DP DD λλ=≤≤ ，而1(0,3,6)DD =-
，由此得点(0,63,6)P λλ-， 所以(6,32,6)PQ λλ=--
因为//PQ 平面11ABB A ，且平面11ABB A 的一个法向量是3(0,1,0)n =
， 所以30PQ n = ，即320λ-=，得23
λ=，从而(0,4,4)P
故四面体ADPQ 的体积
111
66424332
ADQ V S h ∆==⨯⨯⨯⨯= ……………12分
20．解：（1）双曲线：
22
136
x y -=的右准线方程为：1x = 所以(1,0)F ，则抛物线的方程为：24y x =……………4分
（2）设22
12
12(,),(,),44
y y A y B y
由24(2)
y x
y k x ⎧=⎨=-⎩得2480ky y k --= 216320k ∆=+> 12124
,8y y y y k
+=
=-
12112AFB S y y ∆=⨯⨯-=
3==
解得2k =………8分
（3）设233(,),4
y C y 则2213
13(1,),(1,)44y y FA y FC y =-=- 因为,,A F C 共线，所以221331(1)(1)044y y y y ---=即2
3131
4()40y y y y +--=
解得：31y y =（舍）或314y y =-
所以21144(,),C y y -同理222
44
(,),D y y -
12221244
44CD
y y k y y -
+
=-1212
2y y
k y y =-=+ , 故2CD k k =（定值）……………12分
21.解：（1）11()x k f x k x kx
-'=
-= 当0x k <<时，()0f x '<，当x k >时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,)k 单调递减，在(,)k +∞单调递增， 从而min ()()1ln f x f k k ==-……………4分
（2）2k =时，()1ln 12
x
f x x -=
-- 因为11()102f e e -=
>，1
(1)102
f -=-<，且()f x 的图像是连续的， 所以()10f x -=在区间1
(,1)e
内有实数解，从而在区间()0,1内有实数解；
又当(0,1)x ∈时，11
()02f x x
'=-<，所以()f x 在(0,1)上单调递减，
从而()10f x -=在区间()0,1内至多有一个实数解， 故()10f x -=在区间()0,1内有唯一实数解. ……………8分 （3） 证明：由（1）知：min (ln )1ln 33
x x -=- 所以0x >时，1ln 3ln 3
x
x -+≥ ① 由
1ln 323
x x
M ->-+得：6(1ln3)x M >-+ 所以6(1ln3)0x M >-+>时，1ln 323
x x
M ->-+ ②
由①②知：取06(1ln3)0x M =-+>，则当0x x >时， 有
1ln 3ln 23x x M x ->-+≥即ln 2
x
M x ->成立. ……………12分 22．解：（1）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线
又因为O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE AF =，故AD EF ⊥ 从而//EF BC ……………5分
（2）由（1）知，AE AF =，AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为O 的弦，所以O 在AD 上，连结,OE OM ，则OE AE ⊥
由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以30OAE ∠=
， 因此ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形
因为AE =4,2AO OE ==
因为12,2OM OE DM MN ===
=1OD =，于是5,AD AB ==
所以四边形EBCF
的面积为
2211(232223
⨯⨯-⨯⨯=
………10分 23．解：（1）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，
曲线3C
的直角坐标方程为220x y +-=.
联立2222
20,0
x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得0,0,x y =⎧⎨=⎩
或23.2
x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以2C 与3C 交点的直角坐标为(0,0)
和3
)2
……………5分 （2）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<
因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B
的极坐标为,)αα
所以|||2sin |4|sin()|3
AB π
ααα=-=-
当56
π
α=
时，||AB 取得最大值，最大值为4……………10分 24．解：（1
）因为22a b c d =++=++
由题设,a b c d ab cd +=+>
得22>
5分
（2
>
22>，即
a b c d ++>++因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是
2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-
因此||||a b c d -<-……………10分。