北京市八一学校2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

{ } U = R ，集合 M = x∣x2 - 2ax + 4 < 0 , N = {x |1 £ x £ 2} 的关系如图所示，其中区域
I，II 构成 M ，区域 II，III 构成 N .若区域 I，II，III 表示的集合均不是空集，则实数 a
的取值范围是
.
五、解答题 16．在① A I B = A ；② A Ç B = Æ 这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答．
(2)求 x12 + x22 、 x1 - x2 .（结果用 k 表示）
(3)是否存在实数
k
，使
(
2x1
-
x2
)
(
x1
-
2x2
)
=
-
3 2
成立？若存在，求出
k
的值，若不存在，
请说明理由. 19．水果市场将 120 吨水果运往各地商家，现有甲，乙，丙三种车型供选择，每辆车 的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型
甲乙丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆）
400 500 600
(1)若全部水果都用甲，乙两种车型来运送，需运费 8200 元.问分别需甲，乙两种车型
各几辆？ (2)市场可以调用甲，乙，丙三种车型参与运送（每种车型至少 1 辆），已知它们的总
辆数为 16，分别求出三种车型的辆数.
所以， y ³ y ，
Î
M
，所以
1 1
+ -
1+ 11+ 1-
a a a a
=
-
1 a
ÎM
，
11+
1 a 1 a
=
a a
-1 +1
Î
M
，
1+ 则
1-
a a a a
-1 +1 -1 +1
=
2a 2
=
aÎM
，
当
a
¹
-1,
0,1
时，4
个元素
a,
1+ 1-
a a
,
-
1 a
,
a a
-1 +1
中，任意两个元素都不相等，
所以集合 M 中有且仅有 4 个元素， 故选：C 11． 0 或1 【分析】根据题设条件可得 A 为单元素集合，就 m = 0, m ¹ 0 分类讨论后可得实数 m 的值.
（） A．3
B．2
C．1
D．0
4．已知 a,b Î R ，则“ ab = 0 ”是“ a2 + b2 = 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知命题 p : $x Î[-1, 3], x - a - 2 £ 0 .若 p 为假命题，则 a 的取值范围为（ ）
( ) 20．已知集合 P 中的元素有 3n n Î N* 个且均为正整数，将集合 P 分成元素个数相等且
两两没有公共元素的三个集合 A, B,C ，即
P = A U B U C, A I B = Æ, A I C = Æ, B I C = Æ ，其中
A = {a1, a2,L,an}, B = {b1,b2,L,bn},C = {c1, c2,L, cn} .若集合 A, B,C 中元素满足
条件.（充分不必要，必要不充分，
三、双空题
14．若关于
x,
y
的方程组
ìax - by = 5 íîx - 2 y = -3
与
ì2x íîax
+y=4 + by = 3
的解集相等，则
a
=
试卷第21 页，共33 页
；b =
.
四、填空题 15．1881 年英国数学家约翰•维恩发明了 Venn 图，用来直观表示集合之间的关系.全集
故
9
-
3q
+
2
=
0
，得到
q
=
11 3
，所以
p
+
q
=
1
+
11 3
=
14 3
，
故选：C. 10．C
【分析】由题意可求出
a,
1 1
+ -
a a
,
-
1 a
,
a a
-1 +1
都在
M
中，然后计算这些元素是否相等，继而判
断 M 的元素个数的特点.
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aÎM 【详解】因为若
，则
1 1
+ -
a a
【详解】由 A È B = R ，可知 a ³ 1 。
故答案为：[1, +¥)
【点睛】此题考查通过集合的并集求参数，属于简单题目。 13．充分不必要 【分析】利用不等式的性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可的结论.
【详解】当 y ³ 0 时， y = y ；当 y < 0 时， y = - y > y .
【详解】因为 A 有且只有两个子集，故 A 为单元素集合.
当
m
=
0
时，
A
=
{x
|
2
x
+1
=
0}
=
ìíî
1 2
ü ý þ
，符合；
当 m ¹ 0 时，则有 D = 4 - 4m = 0 即 m = 1. 综上， m = 0 或 m = 1. 故答案为： 0 或1. 【点睛】本题考查集合中元素个数与其子集个数之间的关系以及集合含义的正确理解，一
-
2x
+
1 2
+
m
=
0
无实数根.
(1)若 p, q 均为真命题，求实数 m 的取值范围；
(2)若 p, q 中有一个真命题，一个是假命题，求实数 m 的取值范围.
18．已知 x1 、 x2 是方程 4kx2 - 4kx + k +1 = 0 的两个实数根.
(1)求 k 的取值范围；
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c1 < c2 < L < cn , ak + bk = ck , k = 1,2,L, n ，则称集合 P 为“完美集合”.
(1)若集合 P = {1, 2, 3},Q = {1, 2,3, 4,5, 6} ，判断集合 P 和集合 Q 是否为“完美集合”？并
说明理由.
(2)若集合 P = {1, x,3, 4,5, 6} 为“完美集合”，求正整数 x 的值以及相应的集合 A, B,C .
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1．D
参考答案：
【分析】利用交集的定义可求得集合 M Ç N .
【详解】因为集合 M = {-2,-1,0,1} ， N = {x -3 £ x < 0} ，则 M Ç N = {-2, -1} .
故选：D. 2．A 【分析】利用两种特殊命题的否定即可求出结果.
【详解】根据存在量词命题的否定知，命题“ $x > 0, x3 < 1”的否定为 "x > 0, x3 ³ 1， 故选：A. 3．B
【分析】由题意，
A
Ç
B
即方程组
ì í î
y y
= =

x2 x
-
2
的解的个数，再联立方程求解即可.
【详解】由题意，
A
Ç
B
即方程组
ì í î
y y
= =
x2 x
-
2
的解的个数，即
x2
-
x
-
2
=
0
，解得
x=
-
1
或
x = 2 .故 A I B = {(-1,-1),(2, 2)} ，则 A Ç B 中元素的个数为 2.
北京市八一学校 2023-2024 学年高一上学期 10 月月考数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 M = {-2,-1,0,1} ， N = {x -3 £ x < 0} ，则 M Ç N = （ ）
般地，如果有限集中元素的个数为 n ，那么其子集的个数为 2n ，对于集合{x | f ( x) = 0} ，
它表示方程 f ( x) = 0 的解的集合，讨论含参数的方程的解的时，要考虑二次项系数是否为
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零.
12．[1, +¥)
【分析】由 A È B = R ，易得 a ³ 1 。
{ } 已知集合 A = {x 2a -1 < x < a}, B = x x2 £ 1 ．
(1)若 a = -1 ，求 (ðR A) U B ；
(2)若________，求实数 a 的取值范围．
17．已知命题 p ：方程 x2 + 2x + m = 0 有两个不相等的负实数根，命题 q ：方程
x2
【详解】因为
p
:
1 2
£
x
£1，
q:
a
£
x
£
a
+ 1 ，又
q
是
p
的必要不充分条件，
所以
ìïa í
£
1 2
0 ≤≤a
，解得
1
2 ，经检验满足题意.
ïîa +1 ³ 1
故选：D. 7．C
【分析】原方程等价于 (| x | -6)( x + 2) = 0 ，求解即可.
【详解】解：因为 x2 - 4 x -12 = 0 Û| x |2 -4 x -12 = 0 Û (| x | -6)( x + 2) = 0 ， 解得| x |= 6 或| x |= -2 (舍)，
由| x |= 6 ，解得 x = 6 或 x = -6 ，
所以原方程的解集为{-6, 6} .
故选：C. 8．B 【分析】根据题设得 x2 - 6x + t = (x + a)(x + b) ，从而得到 a + b = -6, ab = t ，再利用 t 为正整 数，即可求出结果. 【详解】由题可设 x2 - 6x + t = (x + a)(x + b) ，则 x2 - 6x + t = x2 + (a + b)x + ab ，
【分析】利用条件 A Ç (ðR B) = {2} ，得到 2 Î A，从而求出 p = 1，进而求出集合 A ，得到
-3Î B ，即可求出结果.
【详解】因为 A Ç (ðRB) = {2} ， 2 Î A，所以 4 + 2 p - 6 = 0 ，得到 p = 1，
当 p = 1时，由 x2 + x - 6 = 0 ，解得 x = 2 或 x = -3 ，所以 -3Î B ，
A．(-¥, -3]
B． ( -¥,1]
C．(-¥, -3)
D． (-¥,1)
6．设
p
:
1 2
£
x
£
1;
q
:
a
£
x
£
a
+
1
，若
q
是
p
的必要不充分条件，则实数
a
的取值范围是
（）
A．
æ çè
0,
1 2
ö ÷ø
B．
æ çè
0,
1 2
ù úû
C．
éêë0,
1 2
ö ø÷
D．
éêë0,
1 2
ù úû
7．方程 x2 - 4 x -12 = 0 的解集是（ ）
答案第21 页，共22 页
所以 a + b = -6, ab = t ， 又 t 为正整数，所以 a,b 都是负整数，
故 a = -1,b = -5 或 a = -5,b = -1，此时 t = 5 ；
a = -2, b = -4 或 a = -4,b = -2 ，此时 t = 8 ；
a = -3, b = -3 ，此时 t = 9 ； 所以满足题意的 t 的取值有 3 个， 故选：B. 9．C
值为（ ）
A．4
B． 5 3
C．
14 3
D．5
10．设非空数集
M
同时满足条件：①
M
中不含元素
-1,
0,1
；②若
aÎ
M
，则 1 + 1-
a a
Î
M
.
则下列结论正确的是（ ）
A．集合 M 中至多有 2 个元素
B．集合 M 中至多有 3 个元素
C．集合 M 中有且仅有 4 个元素
D．集合 M 中至少有 5 个元素
二、填空题 11．已知集合 A = {x | mx2 + 2x +1 = 0} 有且只有两个子集，则实数 m = .
12．集合 A = {x | x ³ 1}， B = {x | x £ a} ， A È B = R ，则实数 a 的取值范围是
13．设 x 、 y Î R ，则“ x > y ”是“ x > y ”的 充要，既不充分也不必要）
【分析】由题意 Øp 为真命题，再根据一次函数恒成立性质求解即可.
【详解】由题意 Øp : "x Î[-1,3], x - a - 2 > 0 为真命题，故 "x Î[-1,3] ， x > a + 2 恒成立，故
-1 > a + 2 ，即 a < -3 .
故选：C 6．D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系即可求解.
故选：B 4．B 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】
ab
=
0
Û
ìa íîb
= ¹
0 0
或
ìa íîb
= =
0 0
或
ìa íîb
¹ =
0 0
；
a2
+
b2
=
0
Û
ìa íîb
= =
0 0
；
所以“ ab = 0 ”是“ a2 + b2 = 0 ”的必要不充分条件. 故选：B 5．C
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A．{-2, 2, -6,6} B．{-2, 2}
C． {-6, 6}
D． Æ
8．要使二次三项式 x2 - 6x + t 在整数范围内可因式分解， t 为正整数，那么 t 的取值可
以有（ ） A．2 个
B．3 个
C．5 个
D．6 个
{ } { } 9．已知 A = x∣x2 + px - 6 = 0 , B = x∣x2 + qx + 2 = 0 ，且 A Ç (ðRB) = {2} ，则 p + q 的
A．{-2, -1, 0,1} B．{0,1}
C．{-2}
D．{-2, -1}
2．命题“ $x > 0, x3 < 1”的否定为（ ）
A． "x > 0, x3 ³ 1
B． "x £ 0, x3 ³ 1
C． $x > 0, x3 ³ 1
D． $x £ 0, x3 ³ 1
{ } 3．已知集合 A = ( x, y)∣y = x2 - 2 , B = {( x, y)∣y = x} ，则 A Ç B 中元素的个数为