北京市2020年海淀、朝阳、西城区高三数学一模考试题型分析

北京市2020年海淀、朝阳、西城区
高三数学一模考试题型分析
小题部分：
大题部分 一、圆锥曲线 海淀20题（14分）
已知椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>，1(,0)A a -，2(,0)A a ，(0,)B b ，
△12A BA 的面积为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M
与直线2A B 交于点Q . 求证：△BPQ 为等腰三角形.
特殊的图形（等腰三角形） 直线方程的设法（两种都可以）的选择影响做题速度，最后部分也可用斜率相加为0作出 。

这道题表示点的坐标是根本
朝阳19题（14分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，圆222:O x y r +=（O 为坐标原点）.过点(0,)b 且
斜率为1的直线与圆O 交于点(1,2)，与椭圆C 的另一个交点的横坐标为8
5
-.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程和圆O 的方程；
（Ⅱ）过圆O 上的动点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若直线1l 的斜率为(0)k k ≠且
1l 与椭圆C 相切，试判断直线2l 与椭圆C 的位置关系，并说明理由.
题目不难，但是计算量太大
西城20题（15分）
设椭圆E:
x 22
=1,直线l 1经过点M(m,0),直线l 2经过点N(n,0),直线l 1∥直线l 2,且直线l 1,l 2
分别与椭圆E 相交于A,B 两点和C,D 两点.
(Ⅰ)若M,N 分别为椭圆E 的左、右焦点,且直线l 1⊥x 轴,求四边形ABCD 的面积; (Ⅱ)若直线l 1的斜率存在且不为0,四边形ABCD 为平行四边形,求证:m +n =0; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形ABCD 能否为矩形,说明理由.
特殊四边形问题两种思路（这个是利用边相等），证明是不是矩形是看看斜率是否为-1
二、函数与导数 海淀20题
已知函数()e x f x ax =+． （Ⅰ）当1a =-时，
①求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； ②求函数()f x 的最小值；
（Ⅱ）求证：当(2a ∈-，0)时，曲线()y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点． 导数部分:就是第二问，零点问题，但是题目不是直接做的，找了中介x
e x
+>1x x ->1ln 可以不用这个不等式 分别讨论 ⎩⎨
⎧≥<<1
1
0x x 都可推导出1
'e ()x g a x
x =+
+>0 l (1)e n x g ax x x =++- 注意取点不是0,1 2，是1
,e e
，也就是有,ln x e x 和可以考虑一
下这个
朝阳20题
已知函数()1
1
e x x x
f x -+=-
．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；
（Ⅲ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线e x
y =在点00(,e )x x 处的切线也是曲线ln y x
=的切线．
导数部分 ： 零点问题，定义域不是有间断点，设计到取点（整数点，不行，就中间点） 切线方程问题 （在一点和过一点的切线方程问题） 等量代换
西城19题（14分）
设函数f(x)=alnx +x 2−(a +2)x,其中a ∈R.
(Ⅰ)若曲线y =f(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为π
4,求a 的值;
(Ⅱ)已知导函数f′(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x ∈(1,e)时,f(x)>−e 2.
导数部分：构造新函数 2
()ln()224
a a a f a a =--. ……………… 11分
设2()2ln 2g x x x x x =--，(1,e)x ∈. 则()()22a a g f =，(1,e)2
a
∈. …… 12分
所以()2ln 2g x x x '=-.
三、概率部分
海淀18题：超几何分布（14分）
科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障.下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：
其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）.
（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；
（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X 表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由.
朝阳18题：N 次独立重复事件（14分）
某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：
（Ⅰ）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率； （Ⅱ）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，
以X 表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检
测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由.
西城18题：超几何分布（14分）
2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X 的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m 个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70
分以
上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出m 的最小值.(结论不要求证明)
四、立体几何 朝阳17题（14分）
如图，在三棱柱111ABC
A B C 中，平面11ACC A 平面ABC ，四边形11ACC A 是正方形，
点D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点，4AB ，1
2AA ，25BC ．
（Ⅰ）求证：1AB CC ；
（Ⅱ）求二面角1D
AC C 的余弦值；
（Ⅲ）若点F 在棱11B C 上，且11
14B C B F ，判断平面
1AC D 与平面1A EF 是否平行，并说明理由．
海淀16题（14分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中， AB ⊥平面11BB C C ，122AB BB BC ===，13BC =，
点E 为11A C 的中点.
（Ⅰ）求证：1C B ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A BC E --的大小.
西城16题（14分）
如图,在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中,AA 1⊥平面ABCD ,底面ABCD 满足AD ∥BC ,且AB =AD =AA 1=2,BD =DC =2√2. (Ⅰ)求证:AB ⊥平面ADD 1A 1;
(Ⅱ)求直线AB 与平面B 1CD 1所成角的正弦值.
A B
B 1
E
C
C 1
A 1
D
F
E
C
A
B
五、三角函数
海淀17题（14分）三角函数，常规考试方法，就是自由选择，有点创新
已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；
（Ⅱ）从①11ω=，22ω=； ②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[2π-
,]6
π
上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。

朝阳16题（14分）常规考试方法，就是自由选择，有点创新
在△ABC 中，sin cos()6
b A a B
π． （Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若5c ， ．求a .
从①7b
， ②4
C
π
这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

西城17题（14分）
已知△ABC 满足
,且b =√6,A =
2π3
,求sinC 的值及△ABC 的面积.
从①B =π
4,②a =√3,③a =3√2sinB 这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.。