2020年广东省阳江市阳春第二高级中学高二数学理月考试卷含解析

2020年广东省阳江市阳春第二高级中学高二数学理月
考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列说法中正确的是
A．若为真命题，则均为真命题．
B．命题“”的否定是“”．
C．“”是“恒成立“的充要条件．
D．在△ABC中，“”是“”的必要不充分条件．
参考答案：
B
略
2. 如图是函数的部分图象，f(x)的两零点之差的绝对值的最小值为，则f(x)的一个极值点为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
3. ，为两个互相垂直的平面，、b为一对异面直线，下列条件：
①//、b ；②⊥、b ；③⊥、b ；④//、b且
与的距离等于b与的距离，其中是⊥b的充分条件的有（） A．①④ B．① C．③ D．②③
参考答案：
C
4. 若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
5. 已知等差数列的前项和为，若（）
A．72 B．68 C．54 D．90
参考答案：
A
6. 已知函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
令，这样原不等式可以转化为，构造新函数，求导，并结合已知条件，可以判断出的单调性，利用单调性，从而可以解得，也就可以求解出，得到答案.
【详解】解:令，则，
令，则，
在上单调递增，
，故选A.
【点睛】本题考查了利用转化法、构造函数法、求导法解决不等式解集问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.
7. 在二项式的展开式中，二项式系数的和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
先由二项式系数的和为解出n，然后利用二项式展开通项式确定有理项的项数，然后利用插空法求出有理项互不相邻的排法数，除以排列总数即为所求概率.
【详解】解：因为二项式系数的和为
解得n=8
二项式的展开通项式为
其中当k=0、3、6时为有理项
因为二项式的展开式中共有9项，全排列有种排法，
其中3项为有理项，6项为非有理项，且有理项要求互不相邻
可先将6项非有理项全排列共种
然后将3项有理项插入6项非有理项产生的7个空隙中共种
所以有理项都互不相邻的概率为
故选：D.
【点睛】本题主要考查二项式系数和，以及排列中的不相邻问题。

二项式系数和为，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和等于；相邻捆绑法，不相邻插空法是解决排列中相邻与不相邻问题的两种基础方法.
8. 已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
9. 已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作x轴的垂线，
交椭圆于A，B两点.若等边的周长为，则椭圆的方程为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
由题意可得等边的边长为，则，
由椭圆的定义可得，即，
由，即有，则，
则椭圆的方程为，故选A．
10. 已知、、、都是正数，，则有（）
A． 0＜＜1 B． 1＜＜2 C． 2＜＜ 3 D． 3＜＜4
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设随机变量的分布列为,则的值为．
参考答案：
略
12. 等轴双曲线的渐近线方程为．
参考答案：
略
13. 函数y=的最小值是__________．
参考答案：
略
14. 已知椭圆，过点作直线l交椭圆C于A，B两点，且点P是AB 的中点，则直线l的方程是__________．
参考答案：
15. 若上是减函数，则的最大值是▲▲▲
参考答案：
-1
略
16. 某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图．现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”．
（1）记甲班“口语王”人数为m，乙班“口语王”人数为n，则m，n的大小关系
是．
（2）甲班10名同学口语成绩的方差为．
参考答案：
（1）m＜n；（2）86.8.
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】（1）由茎叶图分别求出甲班平均分，乙班平均分，由此能求出甲班“口语王”人数m和乙班“口语王”人数n，由此能求出结果．
（2）利用方差公式能求出甲班10名同学口语成绩的方差．
【解答】解：（1）由茎叶图知：
甲班平均分=（60+72+75+77+80+80+84+88+91+93）=80，
乙班平均分=（61+64+70+72+73+85+86+88+94+97）=79，
∵在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”，
∴甲班“口语王”人数m=4，乙班“口语王”人数n=5，
∴m＜n．
故答案为：m＜n．
（2）甲班10名同学口语成绩的方差为：
S2甲= [（60﹣80）2+（72﹣80）2+（75﹣80）2+（77﹣80）2+（80﹣80）2+（80﹣80）2+（84﹣80）2+（88﹣80）2+（91﹣80）2+（93﹣80）2]=86.8．
故答案为：86.8．
17. 某班共50人报名参加两项比赛，参加A项共有30人，参加B项共有33人，且A,B两
项都不参加的人数比A,B都参加的人数的多1人，则只参加A项不参加B项的有人.
参考答案：
.9
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：
（Ⅰ）PA∥平面EDB
（Ⅱ）AD⊥PC．
参考答案：
【考点】直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接OE，证明OE∥PA，即可证明PA∥平面EDB；（Ⅱ）证明AD⊥平面PCD，即可证明AD⊥PC．
【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接OE
∵底面ABCD是正方形，∴O为AC中点，
∵在△PAC中，E是PC的中点，
∴OE∥PA，…
∵OE?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．…
（Ⅱ）∵侧棱PD⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，
∴PD⊥AD，
∵底面ABCD是正方形，
∴AD⊥CD，
又PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD．…
∴AD⊥PC．…
19. 已知f（x）=1﹣lnx﹣x2
（Ⅰ）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求曲线f（x）的切线的斜率及倾斜角α的取值范围．
参考答案：
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，即可求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求导数，确定切线的斜率及倾斜角α的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=1﹣lnx﹣x2，
∴f′（x）=﹣﹣x，
x=1时，f′（1）=﹣，f（1）=，
∴曲线f（x）在x=1处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即10x+8y﹣17=0；
（2）x＞0，f′（x）=﹣﹣x≤﹣1，
∴曲线C在点P处切线的斜率为﹣﹣x，倾斜角α的取值范围为（，]．
20. 已知椭圆ε：（a>b>0），动圆：，其中b a. 若A是椭圆ε上的点，B是动圆上的点，且使直线AB与椭圆ε和动圆均相切，求A、B两点的距
离的最大值.
参考答案：
解析：设A、B，直线AB的方程为
因为A既在椭圆上又在直线AB上，从而有
将（1）代入（2）得
由于直线AB与椭圆相切，故
从而可得，（3）……………………5分
同理，由B既在圆上又在直线AB上，可得
，（4）……………………10分
由（3）、（4）得，
即，当且仅当时取等号
所以A、B两点的距离的最大值为. …………………………20分.
21. （本题满分12分）如图所示，已知是的外角的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交的外接圆于点F，连接FB,FC
（1）求证：
（2）求证：
（3）若AB是外接圆的直径，
BC=6cm,求AD的长.
参考答案：
（1）证明：∵AD平分，∴,
∵四边形AFBC内接与圆，∴
∴
∴
(2) ∵
∴与，,∴
(3) AB是外接圆的直径，∴
∵,∴,
∴∵,
略
22. 如图(1)在等腰中，、、分别是、、边的中点，现将
沿翻折，使得平面平面.(如图(2))
(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)设三棱锥的体积为、多面体的体积为，求的值.
参考答案：
（1）证明：如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，
又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．………………4分
（2）∵平面平面于
AD⊥CD，且平面
∴平面，
又平面，
∴……………………7分
又∵，且
∴平面，
又平面
．………………9分
（3）由（2）可知平面，所以是三棱锥的高∴……………………………………11分
又∵、分别是、边的中点，
∴三棱锥的高是三棱锥高的一半
三棱锥的底面积是三棱锥底面积的一半
∴三棱锥的体积…………………………………12分∴…………………………………13分∴…………………………………14分。