长方体公式解决外接球问题大全 专题练习-2023届高三数学一轮复习

长方体公式解决外接球问题大全
一.直接法
1．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（ ）
A ．
9π2 B ． C ．9π D ．27π
2．体积为64的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____________．
3．（多选）已知某正方体的外接球上有一个动点M ，该正方体的内切球上有一个动点N ，若线段MN 的最
1，则下列说法正确的是（ ）
A ．正方体的外接球的表面积为12π
B ．正方体的内切球的体积为43π
C ．正方体的棱长为2
D ．线段MN 的最大值为
二.直棱柱.棱锥转化
4．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，璧如“堑堵”
意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，
“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥，现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C ，其中,AC BC ⊥若12AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -的体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C 的外接球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．8π
C ．16π D
5．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑-P ABC 中，PA ⊥平面,24ABC AB BC PA ===，则鳖臑-P ABC 外接球的表面积是（ ）
A ．36π
B ．72π
C ．144π
D ．288π
6．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，=2AB ，1AC =，AC BC ⊥，则此球的表面积等于（ ） A ．5π
B ．8π
C ．16π
D ．20π
7．已知三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，若3,2,PA AB BC ===的表面积为___________.
三.面面垂直转化
8．已知三棱锥-P ABC 的顶点都在球O 上，
AB =1BC =，5AC =，平面PAB ⊥平面ABC ，且PA PB ⊥，则球O 的体积为_______．
9．已知四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 上，3AB =，4BC =，1CD =，AD =5AC =，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA PD ⊥，则球O 的体积为__________．
10．在平面四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AC ⊥BC ，∠DAC ＝∠BAC ＝30°，现将△ACD 沿AC 折起，并连接BD ，使得平面ACD ⊥平面ABC ，若所得三棱锥D ABC -的外接球的表面积为4π，则三棱锥D ABC -的体积为______
四.对棱相等对角线转化
11．在四面体-P ABC 中，3PA BC ==，2PB AC ==，PC AB ==则该四面体外接球的体积为______．
12．四面体A ﹣BCD 中，AB ＝CD ＝5，AC BD ==AD BC ==A ﹣BCD 外接球的表面积为_____．
五.升级版综合类
13．在正三棱锥-P ABC 中，M ，N 分别是棱PC ，BC 的中点，且AM MN ⊥，设三棱锥-P ABC 外接球的体积和表面积分别是V 和S ．若2AB =，则（ ）
A
．V =
B ．V =
C ．6S π=
D ．24S π=
14．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，4,PB AD ==AB PD ⋅最大时，该四棱锥外接球的表面积为___________.
长方体公式解决外接球问题大全
1．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（ ）
A ．9π2
B ．
C ．9π
D ．27π
2．体积为64的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____________．
3．（多选）已知某正方体的外接球上有一个动点M ，该正方体的内切球上有一个动点N ，若线段MN 的最
1，则下列说法正确的是（ ）
A ．正方体的外接球的表面积为12π
B ．正方体的内切球的体积为43
π
C ．正方体的棱长为2
D ．线段MN 的最大值为【答案】ABC
【分析】设正方体的棱长为a ，即可求出正方体的内切球与外接球半径，进而求出,M N 的最小值，由此求出a 的值，然后对应各选项一一判断即可得出答案.
4．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，璧如“堑堵”
意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，
“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥，现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C ，其中,AC BC ⊥若12AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -的体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C 的外接球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．8π
C ．16π
D ．3
111ABC A B C 的外接球的半径，求出表面积
111ABC A B C 的外接球的半径为111ABC A B C 的外接球的表面积为5．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑-P ABC 中，PA ⊥平面,24ABC AB BC PA ===，则鳖臑-P ABC 外接球的表面积是（ ）
A ．36π
B ．72π
C ．144π
D ．288π
1AC =，AC BC ⊥，则此球的表面积等于（ ）
A ．5π
B ．8π
C ．16π
D ．20π ABC S =，∴PA 5=，
7．已知三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，若3,2,PA AB BC ===的表面积为___________.
故答案为：16π.
二、多选题(共0分)
三、填空题(共0分)
8．已知三棱锥-P ABC 的顶点都在球O 上，
AB =1BC =，5AC =，平面PAB ⊥平面ABC ，且PA PB ⊥，则球O 的体积为_______．
9．已知四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 上，3AB =，4BC =，1CD =，AD =5AC =，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA PD ⊥，则球O 的体积为__________．
Rt ADC中，所以球O的体积
故答案为：125 6
【点睛】解题的关键是熟练掌握面面垂直的性质定理，勾股定理，并灵活应用，直角三角形斜边中点，即
10．在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，AC⊥BC，∠DAC＝∠BAC＝30°，现将△ACD沿AC折起，并连接BD，使得平面ACD⊥平面ABC，若所得三棱锥D ABC
-的外接球的表面积为4π，则三棱锥D ABC
-的体积为______
在ABC 中，301=，cos303=在ACD 中，3302
=3cos302=，平面ADC ，平面ADC AC ，BC ⊥AC BC ⊥平面为三棱锥的高，则三棱锥D ﹣ACD
S =故答案为：11．在四面体-P ABC 中，3PA BC ==，2PB AC ==，PC AB ==则该四面体外接球的体积为______．
3
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，将三棱锥放入长方体是解题的关键.
12．四面体A ﹣BCD 中，AB ＝CD ＝5，AC BD ==AD BC ==A ﹣BCD 外接球的表面积为_____．
13．在正三棱锥-P ABC 中，M ，N 分别是棱PC ，BC 的中点，且AM MN ⊥，设三棱锥-P ABC 外接球的体积和表面积分别是V 和S ．若2AB =，则（ ）
A
．V =
B ．V =
C ．6S π=
D ．24S π=
【答案】C
【分析】如图，根据题意，利用线面垂直的判定定理和性质证明PB PA ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，将三棱锥-P ABC 补成以PA PB PC 、、为棱的正方体，
则正方体的外接球即为三棱锥-P ABC 的外接球，求出外接球的半径，结合球的体积和表面积公式计算即可求解.
【详解】如图，取AC 的中点D ，连接PD 、BD ，则//MN PB ，
,PD BD D =⊂平面PBD ,AC AM A AC =PA PC ⊂、平面根据正三棱锥的特点可得故可将三棱锥
14．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，4,PB AD ==AB PD ⋅最
大时，该四棱锥外接球的表面积为___________.
22
PD，当且仅当
⋅12
PD AB PD
224
+=，所以
AP AD
故答案为：24π。