高二数学期中试卷讲评人教实验版(B)知识精讲

高二数学期中试卷讲评人教实验版（B ）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
期中试卷讲评
【模拟试题】
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1、实数c b a ,,不全为0的条件是（ ） A. c b a ,,均不为0
B. c b a ,,中至少有一个为0
C. c b a ,,至多有一个为0
D. c b a ,,至少有一个不为0
2、设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数（a +b i ）（c +d i ）为实数的充要条件是（ ） A. ad －bc =0 B. ac －bd =0 C. ac +bd =0 D. ad +bc =0
3、命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则┐p 是（） A. 有些三角形不是等腰三角形 B. 所有三角形是等腰三角形 C. 所有三角形不是等腰三角形 D. 不是所有三角形是等腰三角形
4、用数学归纳法证明：n n <-++++
12131211 （*N n ∈，且1>n ）时，第一步即证下列哪个不等式成立（ ）
A. 21<
B. 2211<+
C. 231211<++
D. 23
1
1<+ 5、已知x y 2
2
4+=，则
22
xy
x y +-的最小值为（）
A. -2
B. -
4
3
C. 222-
D. 222+ 6、若a 、b 、c 满足6432
+-=+a a c b ，442
+-=-a a c b ，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A.a b c >≥
B.c a b >≥
C.b c a >>
D. a c b >≥
7、用数学归纳法证明
24
11
n n 13n 12n 11n 1≥
++⋅⋅⋅++++++()*N n ∈时，由k n =到1k n +=时，不等式左边应添加的项是（ ）
A. ()1k 21+
B. 2k 211k 21++
+ C. 1k 12k 211k 21+-+++ D.2
k 11k 12k 211k 21+-
+-+++ 8、若zz z z ++=3，则z 对应的点的轨迹是（）
A. 圆
B. 两点
C. 线段
D. 直线
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9、若复数z 满足||z =5，且()34+i z 为纯虚数，则z=____________
10、甲乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表：
利用22⨯列联表的独立性检验估计，认为“成绩与班级有关系”犯错误的概率是____________
11、在数列}{n a 中，*11,22,1N n a a a a n
n
n ∈+=
=+，则猜想这个数列的通项公式为____________
12、以下推理过程省略的大前提为：。

∵ab b a 22
2≥+
∴ab b a b a 2)(22
2
2
2
++≥+ 把下列推理恢复成完整的三段论： 因为2
1
tan =
α，所以2cot =α；
三、解答题（本大题共4题，共40分）
13、(1) 观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？
（2）把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立： 1）如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交。

2）如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线平行。

14、已知数列
,)
13)(23(1,,1071,741,411+-⨯⨯⨯n n ，计算4321,,,S S S S ，猜想n
S 的表达式，并用数学归纳法进行证明。

15、用适当的方法证明：
（1）15175+>+
（2）已知x ，y ∈R +，且x +y ＞2，求证:
x
y
y x ++11与中至少有一个小于2。

16、已知：2
3150sin 90sin 30sin 2
22=
++
2
3125sin 65sin 5sin 222=
++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： _____________________________________________________=2
3
（ * ） 并给出（ * ）式的证明。

[参考答案]
1、D
2、解析：,,,a b c R ∈复数()()a bi c di ++=()()ac bd ad bc i -++为实数，∴0ad bc +=，选D ；
点评：复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考点，属于比较基本的题目，主要考查复数的分类和几何性质。

3、解析：像这种存在性命题的否定命题也有其规律：命题p ：“存在x A ∈使P （x ）成立”，┐p 为：“对任意x A P x ∈，有不成立()”，它恰与全称性命题的否定命题相反，故答案为C 。

点评：简易逻辑题，比较抽象，不少学生在有些问题的看法上常出现一些自己也说不清道不明的疑惑，但要依据具体的规则进行详细的处理。

4、C 5、解：
设x y ==22cos sin θθ，
则
2241
xy x y ++=+-sin cos sin cos θθ
θθ
设sin cos θθ+=t ， 则-≤≤
22t
且sin cos θθ=-t 21
2
∴+-=--=+∈-+22211
212222222xy x y t t t ()()[]， 6、解：0)2(442
2
≥-=+-=-a a a c b ∴c b ≥
又 ∵⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=+4464322a a c b a a c b ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=1
5422
2
a c a a b
∴04
3
)2
1(12
2
>+-=-+=-a a a a c ∴a c > ∴a c b >≥ 故选D 7、C
8、提示：设z x yi x y R =+∈（，），
则()()()()x yi x yi x yi x yi +-+++-=3 即x y x 2223++= 即()x y ++=1422，
这是以()-10，为圆心，以2为半径的圆的方程。

故选A
9、解：设z x yi x y R =+∈（，） 由得||()z x y =+=525
122
()()()()()34343443+=++=-++i z i x yi x y x y i 是纯虚数 ∴3-=+≠x y x y 40
2430
3()()且
联立，解之，得或()()()123434
3x y x y ==-⎧⎨⎩=-=⎧⎨⎩
∴=-=-+z i z i 4343或
10、解：由表中数据计算，得到K 2的观察值为455.0653.0>≈k ，从而有50%的把握认
为“成绩优秀与班级有关系”，即“成绩优秀与班级有关系”犯错误的概率为0.5。

11、解：3222,11121=+=
=a a a a ，2122223=+=a a a ，42，5
2
22334=+=a a a ，……
∴}{n a 的通项公式1
2
+=
n a n 12、解：若b a ≥，那么c b c a +≥+
大前提：ααtan 1
cot =
小前提：2
1
tan =α
结论：2cot =α
13、解析：（1）设f(n)为n 个点可连的弦的条数，则
（2）
1）一个平面如和两个平行平面中的一个相交，则必然和另一个也相交，此结论成立； 2）若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面也相互平行，此结论不成立。

点评：当前提为真，结论可能为真的推理。

一定要理解合情推理的必要性。

14、证明：414111=⨯=
S 72741412=⨯+=S 10
31071723=⨯+=S 13
4131011034=⨯+=S
于是可以猜想1
3+=n n
S n
下面用数学归纳法来证明 （1）当1=n 时，左边4
11==S 右边4
1
113113=+⨯=+=
n n 猜想成立。

（2）假设当k n =时，猜想成立，即
+
⨯+⨯741
41113)13)(23(110
71+=+-++⨯k k k k 那么，当1+=k n 时
)13)(23(11071741411+-++⨯+⨯+⨯k k ]1)1(3][2)1(3[1
++-++k k )
43)(13(143)43)(13(1132++++=++++=k k k k k k k k 1
)1(31
)43)(13()1)(13(+++=++++=
k k k k k k
所以当1+=k n 时猜想也成立。

15、分析：选用分析法
证明：欲证15175+>+
只需证22)151()75(+>+
，
展开得：12+235>16+215,即235>4+215 只需证(235)2>(4+215)2，即4>15， 这显然成立。

故15175+>+
成立。

（2）选用反证法 证明：假设
x
y
y x ++11与均不小于2， 即
y x +1≥2，x
y +1≥2， ∴1+x ≥2y ，1+y ≥2x 。

将两式相加得:x +y ≤2， 与已知x +y >2矛盾， 故
x
y
y x ++11与中至少有一个小于2。

16、解：一般形式: 2
3
)120(sin )60(sin sin
222
=++++ ααα
证明：左边 = 2
)
2402cos(12)1202cos(122cos 1 +-++-+-ααα =
)]2402cos()1202cos(2[cos 21
23 ++++-ααα = -+-+-
240cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 2[cos 2
123ααα ]240sin 2sin α
= ]2sin 2
32cos 212sin 232cos 212[cos 2123ααααα+---- =
右边=2
3
∴原式得证
（将一般形式写成 2
2
23sin (60)sin
sin (60),2
ααα-+++=
2223
sin (240)sin (120)sin 2
ααα︒︒-+-+=
等均正确。

）。