2019版一轮复习理数通用版：第八单元 数 列

第八单元 数 列
教材复习课“数列”相关基础知识一课过
1．数列的有关概念
n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
S 1，n ＝1，
S n －S n －1
，n ≥2.
[小题速通]
1．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1
2(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21的值为( )
A ．5 B.72 C.92
D.132
解析：选B ∵a n ＋a n ＋1＝1
2，a 2＝2，
∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
－32，n 为奇数，
2， n 为偶数.
∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝7
2
. 2．数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n －1
a n
(n ∈N *)，则a 2 018＝( )
A.12 B ．3 C ．－12
D.23
解析：选D由a1＝3，a n＋1＝a n－1
a n，得a2＝
a1－1
a1＝
2
3，a3＝
a2－1
a2＝－
1
2，a4＝
a3－1
a3＝
3，……，
由上可得，数列{a n}是以3为周期的周期数列，
故a2 018＝a672×3＋2＝a2＝2 3.
3．已知数列{a n}满足a n＝
3
2n－11
(n∈N*)，前n项的和为S n，则关于a n，S n的叙述正确
的是()
A．a n，S n都有最小值B．a n，S n都没有最小值C．a n，S n都有最大值D．a n，S n都没有最大值
解析：选A①∵a n＝
3
2n－11
，∴当n≤5时，a n<0且单调递减；当n≥6时，a n>0，且
单调递减．
故当n＝5时，a5＝－3为a n的最小值；
②由①的分析可知：当n≤5时，a n<0；当n≥6时，a n>0.故可得S5为S n的最小值．
综上可知，a n，S n都有最小值．
4．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n＋2n＋1(n∈N*)，则a5＝________.
解析：依题意得a n＋1－a n＝2n＋1，a5＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＝1＋3＋5＋7＋9＝25.
答案：25
[清易错]
1．易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
2．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成a n＝S n－S n－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．
1．已知数列的通项公式为a n＝n2－8n＋15，则()
A．3不是数列{a n}中的项
B．3只是数列{a n}中的第2项
C．3只是数列{a n}中的第6项
D．3是数列{a n}中的第2项或第6项
解析：选D令a n＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{a n}中的第2项或第6项．
2．已知数列{a n}的前n项和为S n＝3＋2n，则数列{a n}的通项公式为________．
解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n
－2n －
1＝2n －
1.
因为当n ＝1时，不符合a n ＝2n －
1，
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
5，n ＝1，
2n －1，n ≥2.
答案：a n ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
5，n ＝1，2n －1，n ≥2
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．
(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b
2，其中A 叫做a ，b 的等
差中项．
2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )
2
. 3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．
(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．
[小题速通]
1．在等差数列{a n }中，已知a 2与a 4是方程x 2－6x ＋8＝0的两个根，若a 4>a 2，则a 2 018
＝( )
A ．2 018
B ．2 017
C ．2 016
D ．2 015
解析：选A 因为a 2与a 4是方程x 2－6x ＋8＝0的两个根，且a 4>a 2，所以a 2＝2，a 4＝4，则公差d ＝1，所以a 1＝1，则a 2 018＝2 018.
2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＝3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 5＝( ) A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
解析：选C ∵等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＝3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和， ∴a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝3， 解得a 3＝1，
∴S 5＝5
2
(a 1＋a 5)＝5a 3＝5.
3.正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 4＋a 10－a 2
7＋15＝0，则S 13＝( )
A ．－39
B ．5
C ．39
D ．65
解析：选D ∵正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 4＋a 10－a 27＋15＝0，
∴a 27－2a 7－15＝0，
解得a 7＝5或a 7＝－3(舍去)， ∴S 13＝
13
2(a 1＋a 7
)＝13a 7＝13×5＝65. 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a 3＝a 6＋4.若S 5<10，则a 2的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，0) C ．(1，＋∞)
D ．(0,2)
解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，∵3a 3＝a 6＋4， ∴3(a 2＋d )＝a 2＋4d ＋4，可得d ＝2a 2－4.
∵S 5<10，∴5(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝5(2a 2＋2d )2＝5(3a 2－4)<10，解得a 2<2.
∴a 2的取值范围是(－∞，2)．
5．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．
解析：由当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得 ⎩⎪⎨⎪
⎧
d <0，a 8>0，a 9<0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，
解得－1<d <－7
8
.
答案：⎝
⎛⎭⎫－1，－7
8 [清易错]
1．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件． 2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
1．(2018·武昌联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 的值为( )
A ．18
B ．19
C ．20
D ．21
解析：选C 由a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.
2．在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *，有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )
A ．2
B ．10 C.52
D.54
解析：选C 由2a n ＋1＝1＋2a n ，可得a n ＋1－a n ＝1
2，
即数列{a n }是以－2为首项，1
2
为公差的等差数列，
则a n ＝n －52，所以数列{a n }的前10项的和S 10＝10×⎝
⎛⎭⎫－2＋522＝52
.
1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1
a n
＝q .
(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －
1.
(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
na 1
，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.
3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n
－m
(n ，m ∈N *)．
(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；
(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)都是等比数列，则{λa n }，⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n b
n (λ≠0)仍然是等比数列；
(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n
＋3k
，…为等比数列，公比为q k . [小题速通]
1．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，
红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
解析：选B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1(1－27)1－2
＝381，解得a 1＝3.
2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6
S 4＝( )
A ．2 B.73 C.3
10
D ．1或2
解析：选B 设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝7
3
.
3．设数列{a n }是等比数列，公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4
a 3的值为( )
A.154
B.152
C.74
D.72
解析：选A 根据等比数列的公式，得S 4a 3＝a 1(1－q 4)1－q a 1q 2＝1－q 4(1－q )q 2＝1－24(1－2)×22＝15
4. 4．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3＋a 5＝8，a 2a 6＝16，则数列{a n }的前2 018项的和为( )
A ．8 064
B ．4
C ．－4
D ．0
解析：选D ∵等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3＋a 5＝8，a 2a 6＝16， ∴a 3a 5＝a 2a 6＝16，
∴a 3，a 5是方程x 2－8x ＋16＝0的两个根， 解得a 3＝a 5＝4， ∴4q 2＝4，
∵q ≠1，∴q ＝－1，∴a 1＝a 3
q 2＝4，
∴数列{a n }的前2 018项的和为 S 2 018＝4[1－(－1)2 018]
1－(－1)
＝0.
5．(2018·信阳调研)已知等比数列{a n }的公比q >0，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.
2
2
C. 2
D ．2
解析：选B 因为{a n }是等比数列，
所以a 5a 7＝a 26＝4a 24，所以a 6＝2a 4，q 2＝a 6
a 4
＝2，又q >0， 所以q ＝2，a 1＝a 2q ＝2
2
.
[清易错]
1．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n
－S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．
2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．
1．设数列{a n }为等比数列，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.1
8 B ．－18
C.578
D.558
解析：选A 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝1
8
.
2．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q ＝________. 解析：当q ≠1时，由题意，a 1(1－q 3)
1－q ＝3a 1q 2，
即1－q 3＝3q 2－3q 3，
整理得2q 3－3q 2＋1＝0，解得q ＝－1
2.
当q ＝1时，S 3＝3a 3，显然成立． 故q ＝－1
2或1.
答案：－1
2
或1
一、选择题
1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋3da 1＋4d ＝24，
6a 1
＋6×52
d ＝48，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 2．(2018·江西六校联考)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－33，则a 2a 8＝( ) A ．3 B.17 C ．9
D ．13
解析：选A 由a 3a 5a 7＝－33，得a 35＝－33，即a 5＝－3，故a 2a 8＝a 25＝3.
3．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 018＝( ) A ．8 B ．6 C ．4
D ．2
解析：选D 由题意得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 018＝a 335×6＋8＝a 8＝2.
4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)，则a 7＝( ) A ．53 B ．54 C ．55
D ．109
解析：选C a 2＝a 1＋2×2，a 3＝a 2＋2×3，……，a 7＝a 6＋2×7，各式相加得a 7＝a 1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.
5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．44 B ．45 C.1
3
×(46－1) D.1
4
×(45－1) 解析：选B 由a n ＋1＝3S n ，得a 2＝3S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝3S n －1，则a n ＋1－a n ＝3a n ，n ≥2，
即a n ＋1＝4a n ，n ≥2，则数列{a n }从第二项起构成等比数列，所以S 6＝a 73＝3×4
5
3
＝45.
6．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，对一切自然数n ，都有S n T n
＝n n ＋1，则
a 5
b 5
等于( )
A.34
B.56
C.910
D.1011
解析：选C ∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5，T 9＝9(b 1＋b 9)
2
＝9b 5， ∴a 5b 5＝S 9T 9＝910
. 7．已知数列{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，若5S 2＝S 4，则log 4a 3的值为( )
A ．1
B ．2
C ．0或1
D ．0或2 解析：选C 由题意得，等比数列{a n }中，5S 2＝S 4，a 1＝1， 所以5(a 1＋a 2)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 即5(1＋q )＝1＋q ＋q 2＋q 3，
q 3＋q 2－4q －4＝0，即(q ＋1)(q 2－4)＝0， 解得q ＝－1或±2，
当q ＝－1时，a 3＝1，log 4a 3＝0. 当q ＝±2时，a 3＝4，log 4a 3＝1. 综上所述，log 4a 3的值为0或1.
8．设数列{a n }是公差为d (d >0)的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12
＋a 13＝( )
A ．75
B ．90
C ．105
D ．120
解析：选C 由a 1＋a 2＋a 3＝15得3a 2＝15，解得a 2＝5，由a 1a 2a 3＝80，得(a 2－d )a 2(a 2
＋d )＝80，将a 2＝5代入，得d ＝3(d ＝－3舍去)，从而a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋30)＝105.
二、填空题
9．若数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －
1a n ＝n 3，则数列{a n }的通项公式为________．
解析：当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －
1a n ＝n 3，
得a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －
2a n －1＝
n －1
3
， 两式相减得3n －
1a n ＝n 3－n －13＝13
，
则a n ＝1
3
n .
当n ＝1时，a 1＝13满足a n ＝1
3n ，
所以a n ＝1
3n .
答案：a n ＝1
3
n
10．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －1，则a n ＝________. 解析：∵S n ＝2a n －1，① ∴S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，② ①－②得a n ＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －1.
∵S 1＝a 1＝2a 1－1，即a 1＝1，
∴数列{a n }为首项是1，公比是2的等比数列， 故a n ＝2n －
1.
答案：2n －
1
11．已知数列{a n }中，a 2n ＝a 2n －1＋(－1)n ，a 2n ＋1＝a 2n ＋n ，a 1＝1，则a 20＝________. 解析：由a 2n ＝a 2n －1＋(－1)n ，得a 2n －a 2n －1＝(－1)n ， 由a 2n ＋1＝a 2n ＋n ，得a 2n ＋1－a 2n ＝n ，
故a 2－a 1＝－1，a 4－a 3＝1，a 6－a 5＝－1，…，a 20－a 19＝1. a 3－a 2＝1，a 5－a 4＝2，a 7－a 6＝3，…，a 19－a 18＝9. 又a 1＝1，累加得：a 20＝46. 答案：46
12．数列{a n }为正项等比数列，若a 3＝3，且a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则此数列的前5项和S 5＝________.
解析：设公比为q (q >0)，由a n ＋1＝2a n ＋3a n －1，可得q 2＝2q ＋3，所以q ＝3，又a 3＝3，则a 1＝13，所以此数列的前5项和S 5＝1
3×(1－35)1－3
＝121
3.
答案：
121
3
三、解答题
13．已知在等差数列{a n }中，a 3＝5，a 1＋a 19＝－18. (1)求公差d 及通项a n ；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n 及使得S n 取得最大值时n 的值． 解：(1)∵a 3＝5，a 1＋a 19＝－18，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，2a 1＋18d ＝－18，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝9，d ＝－2，
∴a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝
n (a 1＋a n )2＝n (9＋11－2n )
2
＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25， ∴n ＝5时，S n 取得最大值．
14．已知数列{a n }满足a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n
2n ＝n 2＋n .
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝(－1)n a n
2，求数列{b n }的前n 项和S n .
解：(1)∵a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n
2
n ＝n 2＋n ，
∴当n ≥2时，a 12＋a 222＋a 3
23＋…＋a n －12n －1＝(n －1)2＋n －1，
两式相减得a n 2n ＝2n (n ≥2)，∴a n ＝n ·2n ＋
1(n ≥2)．
又∵当n ＝1时，a 12＝1＋1，∴a 1＝4，满足a n ＝n ·2n ＋
1.
∴a n ＝n ·2n ＋
1.
(2)∵b n ＝(－1)n a n 2
＝n (－2)n ，
∴S n ＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n ×(－2)n .
－2S n ＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n －1)×(－2)n ＋n (－2)n ＋
1，
∴两式相减得3S n ＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋(－2)4＋…＋(－2)n －n (－2)n
＋1
＝
－2[1－(－2)n ]1－(－2)
－n (－2)n ＋1＝－(－2)n ＋
1
－23－n (－2)n ＋1
＝－(3n ＋1)(－2)n ＋
1＋23，
∴S n ＝－(3n ＋1)(－2)n ＋
1＋2
9
.
高考研究课(一) 等差数列的3考点——求项、求和及判定 [全国卷5年命题分析]
[典例] (1)设n n 1S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )
A ．5
B ．5
C ．7
D ．8
(2)(2016·全国卷Ⅱ)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.
①求b 1，b 11，b 101；
②求数列{b n }的前1 000项和．
[解析] (1)法一：由等差数列前n 项和公式可得
S n ＋2－S n ＝(n ＋2)a 1＋(n ＋2)(n ＋1)2d －⎣⎡⎦⎤na 1＋n (n －1)2d ＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋4n ＋2＝36， 解得n ＝8.
法二：由S n ＋2－S n ＝a n ＋2＋a n ＋1＝a 1＋a 2n ＋2＝36，因此a 2n ＋2＝a 1＋(2n ＋1)d ＝35，解得n ＝8.
答案：D
(2)①设数列{a n }的公差为d ， 由已知得7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n .
b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2. ②因为b n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
0，1≤n ＜10，
1，10≤n ＜100，
2，100≤n ＜1 000，
3，n ＝1 000，
所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893. [方法技巧]
等差数列运算的解题思路
由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知a 1，d ，n ，a n ，S n 中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．
[即时演练]
1．已知数列{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 6＝4S 3，则a 10＝( ) A.17
2 B.19
2 C.910
D.89
解析：选B ∵S 6＝4S 3，公差d ＝1. ∴6a 1＋
6×52×1＝4×⎝⎛⎭
⎫
3a 1＋3×22×1，
解得a 1＝1
2
.
∴a 10＝12＋9×1＝19
2
.
2．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 4－S 2
S 5－S 3
的值为( )
A ．－2
B ．－3
C ．2
D ．3
解析：选D 设{a n }的公差为d ，因为a 1，a 3，a 4成等比数列， 所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，可得a 1＝－4d ， 所以
S 4－S 2S 5－S 3＝a 3＋a 4a 4＋a 5＝－3d
－d
＝3. 3．(2018·大连联考)已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3
＝36.
(1)求d 及S n;
(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5.
因为d >0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．
(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，
故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝5，k ＝4.
即所求m 的值为5，k 的值为4.
[典例] n n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －
1＋a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n ，对任意正整数
n (n >k )总成立，则称数列{a n }是“P (k )数
列”．
(1)证明：等差数列{a n }是“P (3)数列”；
(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，证明：{a n }是等差数列． [思路点拨] (1)利用等差数列的性质“a n －k ＋a n ＋k ＝2a n ”，构造出{a n }是“P (3)数列”需要满足的条件即可证明；(2)根据等差数列定义、通项公式、中项公式即可证明{a n }为等差数列．
[证明] (1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ，
则a n＝a1＋(n－1)d，
从而，当n≥4时，a n－k＋a n＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2a n，k＝1,2,3，
所以a n－3＋a n－2＋a n－1＋a n＋1＋a n＋2＋a n＋3＝6a n，
因此等差数列{a n}是“P(3)数列”．
(2)数列{a n}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，
当n≥3时，a n－2＋a n－1＋a n＋1＋a n＋2＝4a n，①
当n≥4时，a n－3＋a n－2＋a n－1＋a n＋1＋a n＋2＋a n＋3＝6a n.②
由①知，a n－3＋a n－2＝4a n－1－(a n＋a n＋1)，③
a n＋2＋a n＋3＝4a n＋1－(a n－1＋a n)．④
将③④代入②，得a n－1＋a n＋1＝2a n，其中n≥4，
所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.
在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，
所以a2＝a3－d′，
在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，
所以a1＝a3－2d′，
所以数列{a n}是等差数列．
[方法技巧]
等差数列判定与证明的方法
1．(2016·浙江高考)如图，点列{A n}，{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n＋1|＝|A n＋1A n |，A n≠A n＋2，n∈N*，|B n B n＋1|＝|B n＋1B n＋2|，B n≠B n＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若＋2
d n＝|A n B n|，S n为△A n B n B n＋1的面积，则()
A ．{S n }是等差数列
B ．{S 2
n }是等差数列
C ．{d n }是等差数列
D ．{d 2n }是等差数列
解析：选A 由题意，过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，…分别作直线B 1B n ＋1的垂线，高分别记为h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…，根据平行线的性质，得h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…成等差数列，又S n ＝1
2×|B n B n ＋1|×h n ，|B n B n ＋1|为定值，所以{S n }是等差数列．故选
A.
2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；
(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解：(1)设{a n }的公比为q .
由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2
)＝－6. 解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝－2，
q ＝－2.
故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得S n ＝(－2)×[1－(－2)n ]1－(－2)
＝－23＋(－1)n 2n ＋
1
3
. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－4
3＋(－1)n
2n ＋3
－2n ＋
2
3
＝2⎣⎡⎦⎤－2
3
＋(－1)n 2n ＋1
3＝2S n ，
故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．
[典例] (1)n 3610a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( )
A ．8
B ．12
C ．6
D ．4
(2)已知数列{a n }，{b n }为等差数列，前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n
＝3n ＋22n ，则a 7
b 7＝( )
A.4126
B.2314
C.117
D.116
(3)(2018·天水模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.
[解析] (1)由a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，得(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝32，得4a 8＝32，即a 8＝8，m ＝8.
(2)因为{a n }，{b n }为等差数列，且S n T n ＝3n ＋22n
，
所以a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝13(a 1＋a 13)213(b 1＋b 13)2＝S 13T 13＝3×13＋22×13
＝41
26.
(3)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20， ∴40＝10＋S 30－30，∴S 30＝60. [答案] (1)A (2)A (3)60 [方法技巧]
等差数列的性质
(1)项的性质
在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a n
m －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，
a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．
(2)和的性质
在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n . [即时演练]
1．(2018·岳阳模拟)在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135
D ．80
解析：选B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)[(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)]＝40＋3×20＝100.
2．(2018·广州模拟)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则
a 3＋a 5a 4＋a 6
的值是( )
A.
5－1
2
B.
5＋1
2
C.3－52
D.3＋52
解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，1
2a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，
即a 3q 2
＝a 3＋a 3q ，故q 2
－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，所以a 3＋a 5a 4＋a 6＝
a 3＋a 3q 2
a 4＋a 4q 2
＝a 3(1＋q 2)a 4(1＋q 2)＝1q ＝2
5＋1
＝5－12.
3．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 10b 9＋b 12＋
a 11
b 8＋b 13
＝________.
解析：∵数列{a n }和{b n }都是等差数列，
∴a 10b 9＋b 12＋a 11
b 8＋b 13＝a 10＋a 11b 9＋b 12＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝S 20T 20＝7×2020＋3＝14023. 答案：
14023
n n 1311n n 的值为________．
[解析] 法一：用“函数法”解题 由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－2
13a 1.从而S n ＝d 2
n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋49
13
a 1， 因为a 1>0，所以－
a 1
13
<0. 故当n ＝7时，S n 最大． 法二：用“通项变号法”解题 由法一可知，d ＝－
2
13a 1
. 要使S n 最大，则有⎩
⎪⎨⎪⎧
a n ≥0，
a n ＋1≤0，
即⎩⎨
⎧
a 1＋(n －1)⎝⎛⎭
⎫－2
13a 1≥0，a 1
＋n ⎝⎛⎭
⎫－213a 1
≤0，
解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大． [答案] 7 [方法技巧]
求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法
(1)函数法
利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)通项变号法
①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，
a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；
②当a 1<0，d >0时，满足⎩
⎪⎨⎪⎧
a m ≤0，
a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .
[即时演练]
1．(2018·潍坊模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )
A ．S 15
B ．S 16
C ．S 15或S 16
D ．S 17
解析：选A ∵a 1＝29，S 10＝S 20， ∴10a 1＋
10×92d ＝20a 1＋20×19
2
d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝29n ＋n (n －1)
2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.
∴当n ＝15时，S n 取得最大值．
2．已知{a n }是等差数列，a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，当{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n 的值为( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
解析：选B 设数列{a n }的公差为d ， ∵a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，
∴－26＋7d －26＋12d ＝5，解得d ＝3，
∴S n ＝－26n ＋
n (n －1)2×3＝32n 2－552n ＝32⎝⎛⎭⎫n －5562－3 025
24
， ∴{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n ＝9.
3．已知{a n }是各项不为零的等差数列，其中a 1>0，公差d <0，若S 10＝0，则数列{a n }的前n 项和取最大值时，n ＝________.
解析：由S 10＝
10(a 1＋a 10)
2
＝5(a 5＋a 6)＝0， 可得a 5＋a 6＝0，
∴a 5>0，a 6<0，即数列{a n }的前5项和为最大值，∴n ＝5. 答案：5
1．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )
A ．－24
B ．－3
C ．3
D ．8
解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23， 即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，
所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52
×(－2)＝－24.
2．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98
D ．97
解析：选C 法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝9
2
(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.
又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－1，
d ＝1.
∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98. 法二：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝9
2
(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.
在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5.
故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.
3．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．
(1)证明：a n＋2－a n＝λ；
(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．
解：(1)证明：由题设，a n a n＋1＝λS n－1，
a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1.
两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.
由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.
(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1.
令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.
故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.
所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．
4．(2013·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{a n}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
解：(1)设{a n}的公差为d.由题意，a211＝a1a13，
即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，
于是d(2a1＋25d)＝0.
又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2.
故a n＝－2n＋27.
(2)令S n＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．
从而S n＝n
2(a1＋a3n－2)＝
n
2(－6n＋56)＝－3n
2＋28n.
一、选择题
1．(2018·厦门一中测试)已知数列{a n}中，a2＝3
2，a5＝
9
8，且⎩⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
1
a n－1是等差数列，则a7
＝()
A.109
B.1110
C.1211
D.1312
解析：选D 设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1的公差为d ，则1a 5－1＝1a 2－1＋3d ，即198－1＝132
－1＋3d ，解得d ＝2，所以1a 7－1＝1a 2－1
＋5d ＝12，解得a 7＝1312. 2．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )
A ．6斤
B ．9斤
C ．9.5斤
D ．12斤
解析：选A 依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，
设首项a 1＝4，则a 5＝2.
由等差数列的性质得a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝6，
所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．
3．(2018·银川一中月考)在等差数列{a n }中，首项a 1>0，公差d ≠0，前n 项和为S n (n ∈N *)，有下列命题：
①若S 3＝S 11，则必有S 14＝0；
②若S 3＝S 11，则必有S 7是S n 中的最大项；
③若S 7>S 8，则必有S 8>S 9；
④若S 7>S 8，则必有S 6>S 9.
其中正确命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选D 对于①，若S 11－S 3＝4(a 1＋a 14)＝0，即a 1＋a 14＝0，则S 14＝
14(a 1＋a 14)2＝0，所以①正确；
对于②，当S 3＝S 11时，易知a 7＋a 8＝0，又a 1>0，d ≠0，所以a 7>0>a 8，故S 7是S n 中的最大项，所以②正确；
对于③，若S 7>S 8，则a 8<0，那么d <0，可知a 9<0，此时S 9－S 8<0，即S 8>S 9，所以③正确；
对于④，若S7>S8，则a8<0，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，即S6>S9，所以④正确．故选D.
4．(2018·大同模拟)在等差数列{}
a n中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和等于()
A．290 B．300
C．580 D．600
解析：选B由a1＋a2＋a3＝3a2＝3，得a2＝1.
由a18＋a19＋a20＝3a19＝87，得a19＝29，
所以S20＝20(a1＋a20)
2＝10(a2＋a19)＝300.
5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9＝18，a n－4＝30(n>9)，若S n＝336，则n的值为()
A．18 B．19
C．20 D．21
解析：选D因为{a n}是等差数列，所以S9＝9a5＝18，a5＝2，S n＝n(a1＋a n)
2＝
n(a5＋a n－4)
2
＝n
2×32＝16n＝336，解得n＝21.
6．设{a n}是等差数列，d是其公差，S n是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结
论错误的是()
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．当n＝6或n＝7时S n取得最大值
解析：选C由S5<S6，得a1＋a2＋a3＋a4＋a5<a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，即a6>0.同理由S7>S8，得a8<0.又S6＝S7，∴a1＋a2＋…＋a6＝a1＋a2＋…＋a6＋a7，∴a7＝0，∴B正确；∵d ＝a7－a6<0，∴A正确；而C选项，S9>S5，即a6＋a7＋a8＋a9>0，可得2(a7＋a8)>0，由结论a7＝0，a8<0，知C选项错误；∵S5<S6，S6＝S7>S8，∴结合等差数列前n项和的函数特性可知D正确．故选C.
7．等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)<0，则()
A．|a7|>|a8| B．|a7|<|a8|
C．|a7|＝|a8| D．|a7|＝0
解析：选B因为(S8－S5)(S9－S5)<0，
所以(a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8＋a9)<0，
因为{a n}为等差数列，
所以a 6＋a 7＋a 8＝3a 7，
a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)，
所以a 7(a 7＋a 8)<0，
所以a 7与(a 7＋a 8)异号．
又公差d >0，
所以a 7<0，a 8>0，且|a 7|<|a 8|，故选B.
二、填空题
8．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n 1＋3a n
，a 1＝2，则a 20＝________. 解析：由a n ＋1＝a n 1＋3a n
，a 1＝2， 可得1
a n ＋1－1a n
＝3， 所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是以12为首项，3为公差的等差数列． 所以1a n
＝12＋3(n －1)，即a n ＝26n －5， 所以a 20＝
2115. 答案：2115
9．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，则数列{a n }的通项公式为________． 解析：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，
∴a n ＋12
n ＋1＝a n 2n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n 是首项为a 12＝12，公差d ＝12的等差数列， 故a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝12
n ， 即a n ＝n ·2n －
1. 答案：a n ＝n ·2n －
1 10．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 4≠0，且S 8＝3S 4，S 12＝λS 8，则λ＝________. 解析：当S 4≠0，且S 8＝3S 4，S 12＝λS 8时，
由等差数列的性质得：S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，
∴2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，
∴2(3S 4－S 4)＝S 4＋(λ·3S 4－3S 4)，
解得λ＝2.
答案：2
三、解答题
11．已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，a 3＋a 4＝12.
(1)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；
(2)设b n ＝10－a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 1≠b 2，则n 为何值时，S n 最大？S n 最大值是多少？
解：(1)设{a n }的公差为d ，
∵a 1，a 2，a 5成等比数列，
∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，
解得d ＝0或d ＝2a 1.
当d ＝0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a n ＝6，
∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝30；
当d ≠0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝1，d ＝2，
∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25.
(2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0，
由(1)知a n ＝2n －1，
∴b n ＝10－a n ＝10－(2n －1)＝11－2n ，S n ＝10n －n 2＝－(n －5)2＋25. ∴当n ＝5时，S n 取得最大值，最大值为25.
12．(2018·沈阳质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 6＝4，S 5＝－5.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T 5的值和T n 的表达式．
解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋7d ＝4，5a 1＋5×42d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－5，d ＝2， 故a n ＝2n －7(n ∈N *)．
(2)由a n ＝2n －7<0，得n <72
，即n ≤3， 所以当n ≤3时，a n ＝2n －7<0，当n ≥4时，a n ＝2n －7>0.
由(1)知S n ＝n 2－6n ，
所以当n ≤3时，T n ＝－S n ＝6n －n 2；
当n ≥4时，
T n ＝－S 3＋(S n －S 3)＝S n －2S 3＝n 2－6n ＋18.
故T 5＝13，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
6n －n 2，n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4. 13．已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＝a n －1＋2n －
1＋3(n ≥2，n ∈N *)．
(1)证明数列{a n －2n }是等差数列，并求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n 2n ，求b n 的前n 项和S n . 解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1＋3＝a n －1＋2n －2n －1＋3， ∴a n －2n －(a n －1－2n －
1)＝3. 又a 1＝4，∴a 1－2＝2，
故数列{a n －2n }是以2为首项，3为公差的等差数列，
∴a n －2n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1，
∴a n ＝2n ＋3n －1.
(2)b n ＝a n 2n ＝2n ＋3n －12n ＝1＋3n －12n ， ∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1＋22＋⎝⎛⎭⎫1＋522＋…＋⎝
⎛⎭⎫1＋3n －12n ＝n ＋⎝⎛⎭⎫22＋522＋…＋3n －12n ， 令T n ＝22＋522＋…＋3n －12n ，① 则12T n ＝222＋523＋…＋3n －12
n ＋1，② ①－②得，12T n ＝1＋322＋323＋…＋32n －3n －12
n ＋1， ＝1＋3×14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12
－3n －12n ＋1＝52－3n ＋52n ＋1， ∴S n ＝n ＋5－3n ＋52n
.
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋
1－1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3；
(2)求实数λ使⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列，并由此求出a n 与S n ； (3)求n 的所有取值，使S n a n
∈N *，说明你的理由． 解：(1)∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋
1－1， ∴a 2＝2×3＋22－1＝9，a 3＝2×9＋23－1＝25.
(2)∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋
1－1， ∴a n ＋1－1＝2(a n －1)＋2n ＋
1，
∴a n ＋1－12
n ＋1－a n －12n ＝1， 故λ＝－1时，数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n ＋λ2n 成等差数列，且首项为a 1－12＝1，公差d ＝1. ∴a n －12n ＝n ，即a n ＝n ·2n ＋1. ∴S n ＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n )＋n ，
设T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①
则2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋
1，② ①－②得，－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)·2n ＋
1＋2， ∴S n ＝T n ＋n ＝(n －1)·2n ＋
1＋2＋n . (3)S n a n ＝(n －1)·2n ＋1＋n ＋2n ·2n ＋1＝2＋n －2n ＋
1n ·2n ＋1， 结合y ＝2x 及y ＝12x 的图象可知2n >n 2
恒成立， ∴2n ＋1>n ，即n －2n ＋1<0，∵n ·2n ＋1>0，∴S n a n
<2. 当n ＝1时，S n a n ＝S 1a 1
＝1∈N *； 当n ≥2时，∵a n >0且{a n }为递增数列，
∴S n >0且S n >a n ，
∴S n a n >1，即1<S n a n <2，∴当n ≥2时，S n a n
∉N *. 综上可得n ＝1.
高考研究课(二)
等比数列的3考点——基本运算、判定和应用
[全国卷5年命题分析]
[典例] (1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54
，则S n a n ＝( ) A ．4n －1 B ．4n －1
C ．2n －
1 D ．2n －1 (2)(2018·石家庄模拟)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． ①求数列{a n }的通项公式；
②若数列{b n }满足b n ＝1a n
，求数列{b n }前n 项和T n . [解析] (1)设{a n }的公比为q ，
∵⎩⎨⎧ a 1＋a 3＝52，
a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧ a 1＋a 1q 2＝52， (ⅰ)a 1q ＋a 1q 3＝54， (ⅱ)
由(ⅰ)(ⅱ)可得1＋q 2q ＋q 3＝2，∴q ＝12，代入(ⅰ)得a 1＝2， ∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，
∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12
＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ， ∴S n a n
＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n
＝2n －1. 答案：D
(2)①当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13
. 当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1，
两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)，
即6a n ＝9(a n －a n －1)，∴a n ＝3a n －1.
∴数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13
×3n －1＝3n －2. ②∵b n ＝1a n ＝⎝⎛⎭
⎫13n －2， ∴{b n }是首项为3，公比为13
的等比数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13
＝92⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n .
[方法技巧]
解决等比数列有关问题的常用思想方法
(1)方程的思想
等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．
(2)分类讨论的思想
等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝
na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q
. [即时演练]
1．已知数列{a n }是首项a 1＝14的等比数列，其前n 项和为S n ，S 3＝316，若a m ＝－1512
，则m 的值为( )
A ．8
B ．10
C ．9
D ．7
解析：选A 设数列{a n }的公比为q ，
若q ＝1，则S 3＝34≠316，不符合题意，∴q ≠1. 由⎩⎨⎧
a 1＝14，S 3＝a 1(1－q 3
)1－q ＝316，得⎩⎨⎧ a 1＝14q ＝－12，
∴a n ＝14·⎝⎛⎭
⎫－12n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n ＋1. 由a m ＝⎝⎛⎭⎫－12m ＋1＝－1512
， 得m ＝8.
2．(2018·汕头模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.
解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列， ∴S n ＝2n －
1， 又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －2＝2n －
2. 当n ＝1时，a 1＝1，不适合上式．
∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，n ＝1，2n －2，n ≥2. (2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，
∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2(1－4n )1－4
＝2(4n －1)3. ∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋2(4n －1)3＝22n ＋
1＋13.
[典例] (1)n 12n ＋2n ＋1n N *，对数列{a n }有下列命题：
①数列{a n }是等差数列；
②数列{a n ＋1－a n }是等比数列；
③当n ≥2时，a n 都是质数；
④1a 1＋1a 2＋…＋1a n
<2，n ∈N *， 则其中正确的命题有( )
A ．②
B ．①②
C ．③④
D ．②④
(2)已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝a n －12－a n －1
(n ≥2)． ①求证：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n －1为等比数列，并求出{a n }的通项公式； ②若b n ＝2n －1a n
，求{b n }的前n 项和S n . [解析] (1)∵a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，
∴a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，
∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝2为首项、2为公比的等比数列， ∴a n －a n －1＝2n －
1， a n －1－a n －2＝2n －
2， …
a 2－a 1＝21，
累加得：a n －a 1＝21＋22＋…＋2
n －1＝2(1－2n －
1)1－2＝2n －2， ∴a n ＝2n －2＋a 1＝2n －1.
显然①②③中，只有②正确，
又∵1a n ＝12n －1<12n －1(n ≥2)，
∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋12＋122＋…＋12n －1＝1－12n 1－12
<2，故④正确； 综上所述，①③错误，②④正确． 答案：D
(2)①证明：∵数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝a n －12－a n －1
(n ≥2)， ∴1a n
＝2－a n －1a n －1＝2a n －1－1，n ≥2， ∴1a n －1＝2⎝⎛⎭
⎫1a n －1－1，n ≥2， 又1a 1
－1＝2－1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n －1为首项为1，公比为2的等比数列， ∴1a n －1＝2n －1，1a n
＝2n －1＋1， ∴a n ＝12n －1
＋1. ②∵b n ＝2n －1a n ＝2n －112n －1＋1
＝(2n －1)(2n －1＋1)＝(2n －1)·2n －1＋2n －1， ∴S n ＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1＋n 2. 设T n ＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1， 则2T n ＝2＋3×22＋…＋(2n －3)×2n －
1＋(2n －1)×2n ， 两式相减得，－T n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n
＝1＋4(1－2n －1)1－2－(2n －1)×2n ＝(3－2n )×2n －3，
∴T n ＝(2n －3)×2n ＋3， ∴S n ＝T n ＋n 2＝(2n －3)×2n ＋n 2＋3.
[方法技巧]
等比数列的3种判定方法。