【人教版】2020学年高二数学下学期期末考试试题 理

2020学年度高二第二学期期末考试
数学试题（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U 是实数集R ,集合}{
22M x x x =<->或,{}
2430N x x x =-+<,则图中阴影部分所表示的集合是 （ ）
A ．}12|{<≤-x x
B ．}22|{≤≤-x x
C ．}21|{≤<x x
D ．}2|{<x x
2.下面是关于复数i
i
z ---=
131的四个命题：其中的真命题为（ ）
①在复平面内，复数z 对应的点位于第二象限 ②复数z 的虚部是-2 ③复数z 是纯虚数 ④5=
z
A. ①②
B. ①③
C. ②④
D. ③④
3．设0.2
1
3
12
1log 3,,23⎛⎫
=== ⎪
⎝⎭a b c ,则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知向量a ＝(1，－cos θ)，b ＝(1，2cos θ)且a ⊥b ，则cos2θ等于( ) A ．－1 B ．0 C. 12 D. 2
2
5.在ABC ∆中，角A 、Ｂ、Ｃ所对的边分别是a 、b 、c
，若a =
，B A 2=，则B cos 等于（ ） A ．
33 B ．43 Ｃ．53 Ｄ． 6
3 6．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）
A.18
B.24
C.30
D.36
7. 若下框图所给的程序运行结果为=35S ，那么判断框中应填入的关于k
的条件是( )
俯视图
A.7k =
B.6k ≤
C.6k <
D.6k > 8.若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的 体积等于( )
A.310cm
B.320cm
C.330cm
D.340cm 9.下列说法中，正确的是（ ）
A ．命题“若22
am bm <，则a b <”的逆命题是真命题
B ．命题“存在0,2
>-∈x x R x ”的否定是：“任意0,2
≤-∈x x R x ” C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题 D ．“0b =”是“函数2()f x ax bx c =++是偶函数”的充分不必要条件 10．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(00A ω>>，，||2
π
ϕ≤
)图像的一部分．为了得到
这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图像上所有的点 ( )
A .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变. B .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.
C .向左平移π
6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变.
D .向左平移π
6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.
11.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数
()()ln ||g x f x x =-的零点个数为( )
A ．2
B ．3 C.4 D ．5
12.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x x
e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）
的解集为（ ） A.()0,+∞ B.()
(),03,-∞+∞ C.()(),00,-∞+∞ D.()3,+∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]22
2的定义域是________
14.已知0
(sin cos )a t t dt π
=
+⎰
，则6
1()
ax
x -
的展开式中的常数项为 . 15.函数)1,0(log 1)(≠>+=a a x x f a 的图像恒过定点A ，若点A 在直线02=-+ny mx 上，其中,0>mn 则
n
m 1
1+得最小值为 . 16．已知函数()ln ,0
21,0
x x f x x x >⎧=⎨
+≤⎩若方程()f x ax =有三个不同的实数根，则a 的取值范围是 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17. （本小题共12分）设数列10,10,}{11+==+n n n n a a S n a 项和为的前 9，9991++
+n S a n n （1）求证：{}1+n a 是等比数列； (2)若数列{}n b 满足()()
()
*+∈+⋅+=
N n a a b n n n 1lg 1lg 1
1,
求数列{}n b 的前n 项和n T ；
18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平
面
ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，
且1,,AB AA E F =分别是
1,CC BC 的中点.
（Ⅰ）求证：1B F ⊥平面AEF ； （Ⅱ）求锐二面角1B AE F --的余弦值.
19.某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取n 名学生的笔试成绩（被抽取学生的 成绩均不低于160分,且不高于185分），按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示. （1） 请先求出n 、a 、b 、c 的值，再在答题纸上补全频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试， 第4组中有ξ名学生被考官A 面试，求ξ的分布列和数学期望.
F
E C 1
B 1
A 1
C
B
A
20.（本小题共12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点F 与抛物线2
4y x =的焦点重合，且截抛物线
，倾斜角为45的直线l 过点F . （Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为1F ，问抛物线2
4y x =上是否存在一点M ，使得M 与1F 关于直线l 对称，若存
在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由. 21. （本小题共12分）已知函数()1x
f x e x =-- （Ⅰ）求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；
（Ⅱ）若存在041,ln 3
x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦
，满足10x
a e x -++<成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）当0x ≥时，
2()f x tx ≥恒成立，求t 的取值范围.
选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.作答时请写清题号． 22．(本小题满分10分)选修4—4：极坐标系与参数方程．
在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
(t 为参数)．曲线C 2: 22
40x y y +-=，以坐标原点为
极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点P 的极坐标为(4
π
)．
(I)求曲线C 2的极坐标方程； (Ⅱ)若C 1与C 2相交于M 、N 两点，求
11PM PN
+的值. 23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知()()2f x x m m R =+∈．
(I)当m =0时，求不等式()25f x x +-<的解集；
(Ⅱ)对于任意实数x ，不等式()2
22x f x m --<成立，求m 的取值范围．
2017-2018学年度高二第二学期期末考试
数学试题（理科）答案
一、
选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
CCABB CDBBA BA
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
2⎤⎡⋃--⎦⎣
， 14. 25- 15. 2 16.1
,（0）
e
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17.（本小题共12分）解：（1）依题意，992=a ，故
101
1
12=++a a ， 当n S a n n n 9921+=≥-时， ①
又9991++=+n S a n n ②
②－①整理得：
101
1
n 1n =+++a a ，故{}1+n a 是等比数列，
（2）由（1）知，且()n n n q
a a 10111
1=+=+-，()n a n =+∴1lg ，()11lg 1+=++n a n ()())
1(1
1lg 1lg 11+=+⋅+=
∴+n n a a b n n n
()
11431321211+++⨯+⨯+⨯=
∴n n T n 11141313121211+-++-+-+-
=n n ()
*∈+=N n n n
1
18. （本小题满分12分）
（Ⅰ）连结AF ，∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点，∴AF BC ⊥. 又 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， ∴面ABC ⊥面11BB C C ，
∴AF ⊥面11BB C C ，1AF B F ⊥.
F
E C 1
B 1
A 1
C
B
A
设11AB AA ==
，则1132
B F EF B E =
==. ∴222
11B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥.
又AF
EF F =，∴ 1B F ⊥平面AEF .
（Ⅱ）以F 为坐标原点，,FA FB 分别为,x y 轴建立直角坐标系如图，设11AB AA ==，
则11(0,0,0),(
(0,(0,)2222
F A B E -，
1()222AE =-
-
，1(22
AB =-. 由（Ⅰ）知，1B F ⊥平面AEF ，
∴可取平面AEF
的法向量1(0,2
m FB ==. 设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z
=，
由11
0,0,0,222020,0x y z n AE z n AB z x z ⎧
--+=⎪⎧=-=⎪⎪⇒⇒⎨⎨
=-=⎪⎪
⎩
++=⎪
⎩
∴可取(3,1,n =-.
设锐二面角1B AE F --的大小为θ
，
则03(1)1cos |cos ,|||||
m
n
m n m n θ⨯+-+⨯=<>=
==
. ∴所求锐二面角1B AE F --的余弦值为
6
19. （本小题共12分）【解】：（1）由第1组的
数据可得
100050
.05
==
n ，第2组的频率b =350.0507.0=⨯，
第2组的频数为a =35507.0100=⨯⨯人,
第3组的频率为c =30
0.300100
=,
C
C
频率分布直方图如右:
（2）因为第3、4、5组共有60名学生,
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:
30
6360
⨯=人,… 6分 第4组:
20
6260⨯=人, …7分 第5组:10
6160
⨯=人, …8分
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人. （3）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2 该变量符合超几何分布，
∴
∴分布列是
∴
20. （本小题共12分）解：（Ⅰ）抛物线x y 42
=的焦点为)0,1(F ，准线方程为1-=x ，
∴ 122=-b a ①
又椭圆截抛物线的准线1-=x
，
∴ 得上交点为)22,1(-，∴ 121
1
22=+b
a ② 由①代入②得01224=--
b b ，解得12=b 或2
1
2-=b （舍去）， 从而2122=+=b a
∴ 该椭圆的方程为该椭圆的方程为22
121
x y += （Ⅱ）∵ 倾斜角为45的直线l 过点F ，
∴ 直线l 的方程为)1(45tan -=x y
，即1-=x y ，
由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为)0,1(1-F ，设),(00y x M 与1F 关于直线l 对称，则得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧--+=+-=⨯+-1
2)1(2
01110
000
0x y x y ，解得⎩⎨⎧-==2100y x ，即)2,1(-M ， 又)2,1(-M 满足x y 42
=，故点M 在抛物线上.所以抛物线x y 42
=上存在一点)2,1(-M ，使得M 与1F 关于
直线l 对称.
21. （本小题共12分）
解：(Ⅰ) ()1x
f x e '=- ()12
f e =-
()f x ∴在()()
1,1f 处的切线方程为： ()()211y e e x -+=--
即()11y e x =--
(Ⅱ) 1x a e x <-- 即()a f x < 令()10
x
f x e '=-=
0x =
0x >时， ()0f x '>，0x <时， ()0f x '<
()f x ∴在(),0-∞上减，在()0,+∞上增
又041,ln 3x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦时， ()f x ∴的最大值在区间端点处取到.
()11
111f e e --=-+=
44
4ln 1ln
333f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
()414
41141ln 1ln ln 0
33333f f e e ⎛⎫--=-++=-+> ⎪⎝⎭
()41ln 3f f ⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭ ()f x ∴在41,ln 3⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦上最大值为1e ，
故a 的取值范围是：a <
1
e .
（Ⅲ）由已知得0,x ≥时2
10x
e x tx ---≥恒成立，设()21.x g x e x tx =--- ()'12.
x
g x e tx ∴=--
由(Ⅱ)知1x
e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立， 故()()'212,g x x tx t x ≥-=-从而当120,t -≥
即1
2
t ≤
时，()()'00g x x ≥≥，()g x ∴为增函数，又()00,
g = 于是当0x ≥时，()0,g x ≥ 即2
(),f x tx ≥
12t ∴≤时符合题意。

由()10x e x x >+≠可得()10x
e x x ->-≠，从而当12
t >时，
()()()()'12112,
x x x x x g x e t e e e e t --<-+-=--
故当()0,ln 2x t ∈时，()0g x '<，()g x ∴为减函数，又()00g =，
于是当()0,ln 2x t ∈时，()0,g x < 即
2
()f x tx ≤
故12t >
，不符合题意.综上可得t 的取值范围为1,.2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦。