优质课、勾股定理在数学中的应用2

E D F C
A
B
在Rt△ADF中，由 勾股定理，可得 AD2=AF2-DF2
AD ( 25 AF DF
2 2
7 2 2 ) ( ) 6 ( cm ) 4 4
7、在Rt△ABC中，如果AC=20cm, 另两边AC：BC=5:3，求另两边长。
解：设AC=5t，BC=3t，（t＞0）， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得
AC BC
2 2
A 5t 20cm C 3t
AB
2 2
2
20 ( 3t ) ( 5 t )
2
2
400 9 t 25 t
2
B
16 t 400
2
t 25
2
t5
∴AC=25cm， BC=15cm
在印度数学家拜斯加罗的著作中， 记载了一个有趣的“荷花问题”:
“平平湖水清可鉴，面上半尺升红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边； 渔人观看忙向前，花李原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 请你用学过的知识回答这个问题。
答案：这个湖的水深是3.75尺。
盛开的水莲 8、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高
出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵 齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问 这里水深多少? A 1 C
x2+22=(x+1)2
2 ┓
H
x ?
B
练习 １.若直角三角形的三边长分别为2,4,x,求 x X的值． x 2 2 4 4
B A c
b C
a
1、在等腰直角三角形ABC 中，已知AC=2， ∠C=90°，则AB= 2 2
解：在Rt△ABC中， AB= 2 2 2 2 8
B

2 2
2
A
C
2 2
(练习)2、在直角三角形ABC， 2 ∠C=90°，AC=1，AB=3，则BC= 2
B
C
A
（试一试）3如图，在５×５的正方形网格中，每个小 正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出 图形： 2 (1) 从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点Ｂ在 格点(即小正方形的顶点)上，且长度为2 ； (2) 画出所有的以(1)中的ＡＢ为边的等腰三角形,使另 一个顶点在格点上,且另两边的长度都 Rt△ABC中，∠C=90°， AC=b,AB=c,BC=a, ∴a2+b2=c2
B
c
b
C
a
2、逆定理：
（文字语言）：如果一个三角形的两条较短边的 平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直 角三角形
（符号语言）：如图，在△ABC中， 如果AC=b,BC=a，AB=c,且 a2+b2=c2 ， ∴△ABC为直角三角形.
S1
勾股定理 在数学中的应用
S2 S3
S1+S2=S3
学习目标：
1、在Rt△中，已知两边的值，求 第三边的值。 2、在Rt△中，已知一边的值，且同时知道 另两边的关系，设未知数，列方程求值。 3、能够把几何中的问题利用勾股定 理来解决。
回顾复习：
1、什么是勾股定理？
(文字语言)在直角三角形中，两条直角边的 平方和等于斜边的平方。
分析 只需利用勾股定理看哪一 个矩形的对角线满足要求． 解 (1) 图1中AB长度为2 2 ． (2) 图2中△ABC、△ABD就 是所要画的等腰三角形．
A B 图1
C A 图2 D B
（一试身手）
4、如图：是由边长为1米的正方形地砖铺设的地面示意图， 求小明沿图中所示的折线A B C所走的路程。（结果 保留根号） (分析)线段AB、BC分别是长为2， 宽为1的长方形的对角线
1、常规计算题型：
在直角三角形中，已知任意两边，利用勾 股定理可求第三边。 有时不是已知直角三角形的两边，而是已 知一边和另两边的关系，利用设未知数，再 结合勾股定理列方程。 （盛开的水莲）
总 结
2、综合型：把勾股定理与平方差
公式、完全平方公式、方程和轴对称等 相结合，运用数形结合思想可以解决许 多难度较大的综合题目，在几何图形， 创造条件，把非直角三角形转化为直角 三角形则是解决问题之根本。
A
B
∴ AC＝10m． ∵ AC² ＋BC² ＝10² ＋24² ＝676＝AB² ， ∴ △ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理） ∴ S阴影部分＝S△ACB－S△ACD
1 ＝ 2 ×10×24－ 1×6×8 2 ＝96（平方米）．
6、在长方形纸片ABCD中，AB=8cm,把 长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点 E处，AE交DC于点F，若AF= 25 cm,则 4 AD的长为（ C ） A、4cm, B、5cm C、6cm D、7cm （分析）根据折叠可知△ACF为等腰三 角形，从而求得DF的长；再放在 Rt△ADF中，利用勾股定理求解。 解：根据折叠的性质可 知∠CAE=∠BAC，又 ∵AB∥DC， ∴∠BAC=∠DCA ∴∠DCA=∠CAE， 25 ∴AF=CF= 4 。 ∴DF=DC-CF 25 7 =AB-CF=8= 4 4
解:如图,当X为斜边时,X=√20 ;
当X为直角边时,X=√12 .
20
12
45
43
2 5 2 5
2
2 3 2 3
2
┏
┏
2.利用勾股定理,分别画出长度为√3厘米和√5厘米 的线段.
解:如网格图,当改变直角三角形两边的长度 时, 就可以得出√3厘米和√5厘米的线段.
3、作业：见课本
A
1米
解：∵ AB 12 2 2
BC 1 2
2 2
5, 5.
B C
∴从A B C所走的路 程为AB+BC= 2 5 米。
5、 如图，已知CD＝６m, AD＝８m， ∠ADC＝90°,BC＝24m,AB＝26m．
C D
求图中阴影部分的面积．
解 在Rt△ADC中，由勾股定理得 AC² ＝AD² ＋CD² ＋8² ＝6² ＝100，