2022年浙江省绍兴市诸暨二中高二数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年浙江省绍兴市诸暨二中高二数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 某程序框图如右图所示，该程序运行后，输出的值为（）
. .. .
参考答案：
D
略
2. 已知A（﹣1，﹣1），过抛物线C：y2=4x上任意一点M作MN垂直于准线于N点，则|MN|+|MA|的最小值为（）
A．5 B．C．D．
参考答案：
C
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，数形结合可知，当F、M、A共线时，|MN|+|MA|的值最小为|FA|，再由两点间的距离公式得答案．
【解答】解：如图，由抛物线C：y2=4x，得F（1，0），
又A（﹣1，﹣1），∴|MN|+|MA|的最小值为|FA|=．故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．
3. 函数的定义域为
（A）(0，8] （B）(2，8]
（C）(－2，8] （D）[8，＋∞)
参考答案：
C
略
4. 设函数则不等式f（x）＞f（1）的解集是( )
A．（﹣3，1）∪（3，+∞） B．（﹣3，1）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）
参考答案：
A
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】先求f（1），依据x的范围分类讨论，求出不等式的解集．
【解答】解：f（1）=3，当不等式f（x）＞f（1）即：f（x）＞3
如果x＜0 则 x+6＞3可得 x＞﹣3，可得﹣3＜x＜0．
如果x≥0 有x2﹣4x+6＞3可得x＞3或0≤x＜1
综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞）
故选A．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题．
5. 已知x，y，a，b（）
A 、
B 、
C 、
D 、a+b
参考答案： A
6. 已知
为常数，
最大值为
，最小值为
，且
，则实数
的值为
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
D
7. 下面程序输入
时的运算结果是（ ）
Ａ
Ｂ1 Ｃ
Ｄ２
参考答案： D
8. 设复数，若为纯虚数，则实数（ ）
A ． B. C ． D ．
参考答案： D
9. 设
则“
且
”是“
”的 （ ）
A 、充分而不必要条件
B 、必要而不充分条件
C 、充分必要条件
D 、即不充分也不必要条件
参考答案：
A
10. 在下列命题中，真命题是（ ）
A. “若x=3,则x 2=9”的逆命题
B. “x=1时,x 2－3x+2=0”的否命题
C.若a>b,则 ac 2>bc 2
D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若直线x+y+m=0与圆x 2+y 2=m 相离，则m 取值范围是 ．
参考答案：
m ＞2
【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；转化思想；直线与圆．
【分析】根据直线与圆相离得到圆心到直线的距离d 大于r ，利用点到直线的距离公式列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可确定出m 的范围．
【解答】解：∵x+y+m=0与圆x 2+y 2
=m 相离，
∴圆心到直线的距离d ＞r ，即＞，
解得：m ＞2，
故答案为：m ＞2．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．
12. 椭圆+=1（a ＞b ＞0）上任意两点P ，Q ，若OP⊥OQ，则乘积|OP|?|OQ|
的最小值为
．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】题意可设点P（|OP|cosθ，|OP|sinθ），Q（|OQ|cos（θ±，|OQ|sin（θ±），由
P、Q在椭圆上，即可得出结论．
【解答】解：题意可设点P（|OP|cosθ，|OP|sinθ），Q（|OQ|cos（θ±，|OQ|sin
（θ±），
由P、Q在椭圆上，得： =+，①
=+，②
①+②，得+=+，
∴当|OP|=|OQ|=时，乘积|OP|?|OQ|最小值为．
故答案为：．
13. 如图是某中学高二年级举办的演讲比赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数为 .
参考答案：
去掉一个最高分93分和一个最低分79分后，余下的五个分数依次是：84，84，85，86，87，中位数是85. 14. 若x，y满足约束条件．则
的最大值为．
参考答案：
3
【考点】7C ：简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
由图象知OA的斜率最大，
由，解得，即A（1，3），
则k OA==3，
即的最大值为3．
故答案为：3．
15. 已知方程所表示的圆有最大的面积，则直线的倾斜角_______________．
参考答案：
16. 已知椭圆
的左、右焦点分别为F 1，F 2．P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以PF 1为
底边的等腰三角形，若0°＜∠PF 1F 2＜60°则该椭圆的离心率的取值范围是 ．
参考答案：
（，）
【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】由题意可得 PF 2=F 1F 2=2c ，再由椭圆的定义可得 PF 1 =2a ﹣2c ．设∠PF 2F 1 =θ，则
＜θ＜
π，故﹣1＜cosθ＜，再由cosθ=，求得e 的范围．
【解答】解：由题意可得 PF 2=F 1F 2=2c ，再由椭圆的定义可得 PF 1 =2a ﹣PF 2=2a ﹣2c ． 设∠PF 2F 1 =θ，则
＜θ＜π，∴﹣1＜cosθ＜．
△PF 1F 2中，由余弦定理可得 cosθ=，由﹣1＜cosθ 可得 3e 2+2e ﹣1＞0，e ＞．
由cosθ＜ 可得 2ac ＜a 2，e=＜．综上，＜e ＜， 故答案为 （，）．
【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到cosθ=，且﹣1
＜cosθ＜，是解题的关键．
17. 设函数f （x ）的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意x∈M（M ?D ），有x+t∈D ，且f （x+t ）≥f（x ），则称f （x ）为M 上的t 高调函数．如果定义域为R 的函数f （x ）是奇函数，当x≥0时，f （x ）=|x ﹣a 2
|﹣a 2
，且f （x ）为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是 ．
参考答案：
﹣1≤a≤1
【考点】函数单调性的性质．
【分析】根据分段函数的意义，对f （x ）的解析式分段讨论，可得其分段的解析式，结合其奇偶性，
可得其函数的图象；进而根据题意中高调函数的定义，可得若f （x ）为R 上的4高调函数，则对任意x ，有f （x+4）≥f（x ），结合图象分析可得4≥4a 2；解可得答案． 【解答】解：根据题意，当x≥0时，f （x ）=|x ﹣a 2|﹣a 2，
则当x≥a 2时，f （x ）=x ﹣2a 2， 0≤x≤a 2时，f （x ）=﹣x ，
由奇函数对称性，有则当x≤﹣a 2时，f （x ）=x+2a 2， ﹣a 2≤x≤0时，f （x ）=﹣x ，
图象如图：易得其图象与x 轴交点为M （﹣2a 2，0），N （2a 2，0） 因此f （x ）在[﹣a 2，a 2]是减函数，其余区间是增函数．
f （x ）为R 上的4高调函数，则对任意x ，有f （x+4）≥f（x ），
故当﹣2a 2≤x≤0时，f （x ）≥0，为保证f （x+4）≥f（x ），必有f （x+4）≥0；即x+4≥2a 2； 有﹣2a 2≤x≤0且x+4≥2a 2可得4≥4a 2； 解可得：﹣1≤a≤1；
故答案为﹣1≤a≤1．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知．
（1）求sinB 的值； （2）求c 的值．
参考答案：
【考点】解三角形．
【分析】（1）根据余弦函数在（0，π）的符号，结合cosA=＞0，可得A是锐角，再由同角三角函数关系求出sinA的值，最后利用正弦定理列式，可得sinB的值；
（2）根据余弦定理，列出等式：a2=b2+c2﹣2bccosA，代入已知数据可得关于边c的一元二次方程，然后解这个一元二次方程，可得c的值．
【解答】解：（1）∵△ABC中，cosA=＞0，
∴A为锐角，sinA==…
根据正弦定理，得，
∴，…
∴…
（2）根据余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，
∴9=4+c2﹣2×2c×，
∴3c2﹣4c﹣15=0…
解之得：c=3或c=﹣（舍去），
∴c=3…
19. （8分）求经过点，和直线相切，且圆心在直线上的圆方程．
参考答案：
由题意知：过A（2，－1）且与直线：x+y=1垂直的直线方程为：y=x－3,∵圆心在直线：y=－2x
上，∴由即，且半径，∴所求圆的方程为：．
20. (本小题满分10分)
已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线
的准线上，求此双曲线的方程.
参考答案：
21. 写出命题“若x2﹣3x+2≠0，则x≠1且x≠2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
参考答案：
【考点】21：四种命题．
【分析】根据原命题“若p，则q”，写出它的逆命题若q，则p，否命题若￢p，则￢q与逆否命题若￢q，则￢p，并判断真假性．
【解答】解：∵原命题是“若x2﹣3x+2≠0，则x≠1且x≠2”，
∴它的逆命题是：若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0，是真命题；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
否命题是：若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2，是真命题；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
逆否命题是：若x=1或x=2，则x2﹣3x+2=0，是真命题．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
【点评】本题考查了四种命题之间的关系与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．22. 如图所示，正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、CD、AD的中点，将ABCD沿EF折起，使
FG⊥BG．
（Ⅰ）证明：EB⊥平面AEFD；
（Ⅱ）求二面角G﹣BF﹣E的余弦值．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．
【专题】空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（Ⅰ）设正方体的棱长为2，证明EF⊥面AEB．EB⊥AE，推出EB⊥面AEFB．
（Ⅱ）取EF的中点H，作HO⊥BF，垂足为O，连接GO，说明∠GOH就是所求二面角G﹣BF﹣E的平面角，在Rt△GHO中，求解二面角G﹣BF﹣E的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：设正方体的棱长为2，
在Rt△BGF中，
所以…
∵EF⊥AE，EF⊥EB，∴EF⊥面AEB．
∵AD∥EF，∴AD⊥面AEB，∴AD⊥AB
所以在Rt△BGF中，得…
在△AEB中，又AE=BE=1∴EB⊥AE
又EF⊥EB∴EB⊥面AEFB…
（Ⅱ）解：取EF的中点H，则GH⊥EF，由（Ⅰ）知，EB⊥面AEFB，
所以面EF CB⊥面AEFB，所以GH⊥面EFCB，
作HO⊥BF，垂足为O，连接GO，由三垂线定理知，GO⊥BF，所以∠GOH就是所求二面角G﹣BF﹣E的平面角．…
在Rt△GHO中，GH=1，，
所以，所以
所以二面角G﹣BF﹣E的余弦值为．…
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．。